Лого за уроци по математика

Самоподготовка по Математика

Вие сте тук:   || Приложение на производните–теория || Основни типове задачи 


Приложение на производните.

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

Зад. №1: Да се изследва относно изпъкналост, вдлъбнатост и инфлексна точка, функцията f(x) = x3 – 3x.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • Намираме първата и втората производни
    • f ' = 3x2 – 3.
    • f '' = 6x.
  • При x < 0 функцията е вдлъбната, защото f''(x) < 0.
  • При x > 0 функцията е изпъкнала, защото f''(x) > 0.
  • При x = 0 функцията има инфлексна точка (0, 0), защото в тази точка функцията променя знака си.

Зад. №2: Да се изследва относно изпъкналост, вдлъбнатост и инфлексна точка, функцията f(x) = x4 – 2x.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • Намираме първата и втората производни
    • f ' = 4x3 – 2.
    • f '' = 12x2.
  • За всяко x ≠ 0 имаме f''(x) > 0. Следователно дадената функция е само изпъкнала.

Зад. №3:
Да се намерят всички стойности на параметъра a , при които функцията y = (a + 1) x + a – 5 е строго намаляваща за всяко х.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • Намираме първата производна, т.е. y ' = a + 1.
  • Функцията е строго намаляваща когато y ' < 0, т.е. a + 1 < 0 или a < –1.

Зад. №4: Намерете всички стойности на реалния параметър a , за които функцията е растяща в интервала (2, +∞).
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте това, че една функция е растяща за f(x1) < f(x2), ако x1 < x2.
  • Избираме произволни стойности на х от интервала (2, +∞).Например x1 = 3; x2 = 4.
  • Намираме стойността на функцията y за тези стойности, т.е. y(3) = 3(a – 1); y (4) = = 2(a – 1).
  • Функцията y е растяща, ако е изпълнено y(3) ≤ y(4), т.е. 3(a – 1) ≤ 2(a – 1) a ≤ 1 или a (–∞; 1].

Зад. №5: Да се намери първата производна на функцията f(x) = |x|.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Разпишете модула и намерете първата производна.
  • Разписваме модула и функцията изглежда по следния начин f (x) =
  • Намираме първата производна, т.е. f ' (x) =

    Бележка: Забележете, че първата производна на функцията не съществува при х = 0, т.е. f ' (x) = не съществува, защото = 1, т.е. лявата и дясната граница при x → 0 не съвпадат. Казваме, че функцията f (x) = |x|, при x = 0 има лява производна – 1 и дясна производна 1, но производна няма.

  • При x = 0 имаме f(x) = 0. Такава точката с координати (0; 0) се нарича рогова точка. В роговата точка графиката има „лява” допирателната с ъглов коефициент k = – 1 и „дясна” допирателна с ъглов коефициент k = 1, но допирателна няма.

Зад. №6: Намерете локалните екстремуми на функцията y = x3 – 3x2 – 9x + 6.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

I начин:

  • ДМ: всяко x.
  • Намираме първата производна, т.е. f ' = 3x2 – 6x – 9.
  • Определяме критичните точки, като приравним първата производна на нула, т.е. 3x2 – 6x – 9 = 0 или x1 = 3, x2 = –1.
  • Определяме вида на екстремумите като намерим втората производна и определим какъв знак има в екстремалните точки: f '' = 6x – 6
    • f '' (3) = 6.3 – 6 = 12 > 0. Следователно функцията в тази точка има min. Намираме стойността на този локален минимум, като заместим във функцията, т.е. ymin = f (3) = 33 – 3.32 – 9.3 + 6 = – 21.
    • f '' (–1) = 6.(–1) – 6 = – 12 < 0. Следователно функцията в тази точка има max. Намираме стойността на този локален максимум, като заместим във функцията, т.е. ymax = f(–1) = (–1)3 – 3.(–1)2 – 9.(–1) + 6 = 11.
  • Търсените стойности са: ymin = f (3) = – 21; ymax = f(–1) = 11.

II начин:

  • ДМ: всяко x.
  • Намираме първата производна, т.е. : f ' = 3x2 – 6x – 9.
  • За да определим вида на локалните екстремуми, изследваме знака на първата производна в критичните точки (трета стъпка II правило), т.е. решаваме неравенството f ' (x) = 3x2 – 6x – 9 > 0. Резултатите нанасяме в таблицата:

    От таблицата виждаме, че при x = –1 имаме локален max, а при x = 3 имаме локален min. Стойността на max и min намираме, като заместим във функцията: ymin = f (3) = 33 – 3.32 – 9.3 + 6 = – 21 и ymax = f (–1) = (–1)3 – 3.(–1)2 – 9.(–1) + 6 = 11.

  • Търсените стойности са: ymin = f (3) = – 21; ymax = f(–1) = 11.

Зад. №7: Намерете най-голямата и най-малка стойност на функция в интервала x [–2; 2].
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • ДМ: 4 – x2 ≥ 0 x [–2; 2].
  • Намираме първата производна, т.е. f ' = .

    Бележка: Първата производна не е дефинирана при x = 2 и x = – 2. Затова тези точки са критични точки (рогови точки), и въпреки че първата производна не е дефинирана в тях, трябва да изследваме за екстремум (защото те принадлежат на ДМ).

  • За да определим има ли функцията локални екстремуми, изследваме знака на първата производна в критичните точки (трета стъпка II правило), т.е. решаваме неравенството f ' = – ≥ 0 –x ≥ 0 x ≤ 0. Резултатите нанасяме в таблицата:

  • От таблицата се вижда, че функцията f(x) има един екстремум при x = 0 и той е max. Затова намираме ymax = f (0) = = 2; f (–2) = = 0; f (2) = = 0.
  • Следователно y = ymax = 2; y = f (±2) = 0.

Зад. №8: Намерете най-голямата и най-малка стойност на функция .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • ДМ: всяко x и затова изследваме дадената функция в този интервал
  • Нека да положим g(x) = –x2 + 2x –2. Дадената функция е показателна с основа по-малка от 1 и затова използваме Свойство 3 на показателна функция и получаваме , т.е. трябва да изследваме функцията g(x) за НМС и НГС.
  • g(x) е квадратна функция и затова графиката ѝ е парабола с върха нагоре, т.е. g(x) ще има само max. Този максимум се определя от върха на параболата, т.е. xv = – = 1; gmax = g (1) = –12 + 2.1 – 2 = –1.
  • Тогава = = 5. Функцията y няма най-голяма стойност.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Учебен център „Солема” разработи Програма за Самоподготовка по Математика, която е достъпна онлайн. Опитайте да се подготвите сами. Ако не успеете, обадете ни се на имейла. Ние ще ви помогнем.

Виж подробности »


Тестове за Самоподготовка

Към всяка тема от учебника имаме разработени тестове. Опитайте се да ги решите сами. Ако не успеете, обадете ни се на имейла. Ние ще ви помогнем.

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

тестове по математика

Тестове от изпити


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Физика от Матура


Решили сме тестовете давани на Матура по Физика и НВО (национално външно оценяване) по Физика през последните няколко години.

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка по математика за 7 клас   http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm   http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm   http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Свържете се с нас:

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание