• Намираме първата и втората производни
  • f' = 3x² – 3
  • f' = 6x
• При x < 0 функцията е вдлъбната (защото f''(x) < 0)
• При x > 0 функцията е изпъкнала (защото f''(x) > 0).
• При x = 0 функцията има инфлексна точка (0, 0), защото в тази точка функцията променя знака си.

• Намираме първата и втората производни
  • f' = 4x³ – 2
  • f' = 12x²
• За всяко x ≠ 0 имаме f''(x) > 0. Следователно дадената функция е само изпъкнала.

• y' = a + 1
• Функцията е строго намаляваща когато y' < 0, т.е. a + 1 < 0 или a < –1

• Избираме произволни стойности на х от интервала (2, +∞).Например x₁ = 3; x₂ = 4
• Намираме стойността на функцията y за тези стойности, т.е. y(3) = 3(a – 1);
• Функцията y е растяща, ако е изпълнено y(3) ≤ y(4), т.е. 3(a – 1) ≤ 2(a – 1) a ≤ 1 или a (–∞; 1]

• Разписваме модула и функцията изглежда по следния начин
• Намираме първата производна, т.е.

  Бележка: Забележете, че първата производна на функцията не съществува при х = 0, т.е. не съществува, защото , т.е. лявата и дясната граница при x → 0 не съвпадат. Казваме, че функцията
  f (x) = |x|, при x = 0 има лява производна – 1 и дясна производна 1, но производна няма.

• При x = 0 имаме f(x) = 0. Тогава точката с координати (0; 0) се нарича рогова точка. В роговата точка графиката има „лява” допирателната с ъглов коефициент
  k = – 1 и „дясна” допирателна с ъглов коефициент k = 1, но допирателна няма.

I начин:

• ДМ.: всяко x;
• Намираме първата производна, т.е. f' = 3x² – 6x – 9;
• Определяме критичните точки, като приравним първата производна на нула, т.е.
  3x² – 6x – 9 = 0 или x₁ = 3, x₂ = –1.
• Определяме вида на екстремумите като намерим втората производна и определим какъв знак има в екстремалните точки: f'' = 6x – 6
  • f''(3) = 6.3 – 6 = 12 > 0. Следователно функцията в тази точка има min. Намираме стойността на този локален минимум, като заместим във функцията, т.е. y_min = f (3) = 33 – 3.32 – 9.3 + 6 = – 21;
  • f''(–1) = 6.(–1) – 6 = – 12 < 0. Следователно функцията в тази точка има max. Намираме стойността на този локален максимум, като заместим във функцията, т.е. y_max = f(–1) = (–1)3 – 3.(–1)2 – 9.(–1) + 6 = 11.
• Търсените стойности са: y_min = f (3) = – 21; y_max = f(–1) = 11.

II начин:

• ДМ.: всяко x;
• Намираме първата производна, т.е. : f' = 3x² – 6x – 9;
• За да определим вида на локалните екстремуми, изследваме знака на първата производна в критичните точки (трета стъпка II правило), т.е. решаваме неравенството f'(x) = 3x² – 6x – 9 > 0. Резултатите нанасяме в таблицата:
  

      От таблицата виждаме, че при x = –1 имаме локален max, а при x = 3 имаме локален min. Стойността на max и min намираме, като заместим във функцията:
  y_min = f (3) = 33 – 3.32 – 9.3 + 6 = – 21 и y_max = f(–1) = (–1)3 – 3.(–1)2 –
  9.(–1) + 6 = 11.

• Търсените стойности са: y_min = f (3) = – 21; y_max = f(–1) = 11.

• ДМ.: 4 – x₂ ≥ 0 x[–2; 2];
• Намираме първата производна, т.е. ;

  Бележка: Първата производна не е дефинирана при x = 2 и x = – 2. Затова тези точки са критични точки (рогови точки), и въпреки че първата производна не е дефинирана в тях, трябва да изследваме за екстремум (защото те принадлежат на ДМ.).

• За да определим има ли функцията локални екстремуми, изследваме знака на първата производна в критичните точки (трета стъпка II правило), т.е. решаваме неравенството . Резултатите нанасяме в таблицата:
  
• От таблицата се вижда, че функцията f(x) има един екстремум при x = 0 и той е max. Затова намираме
• Следователно .

• ДМ.: всяко x и затова изследваме дадената функция в този интервал;
• Нека да положим g(x) = –x₂ + 2x –2. Дадената функция е показателна с основа по–малка от 1 и затова използваме Свойство 3 на показателна функция и получаваме , т.е. трябва да изследваме функцията g(x)за НМС и НГС;
• g(x) е квадратна функция и затова графиката е парабола с върха нагоре, т.е. g(x) ще има само max. Този максимум се определя от върха на параболата, т.е. ;
• Тогава . Функцията y няма най–голяма стойност