• Oпределение – Съединение се нарича група от елементи на дадено крайно множество.
• Видове съединения:
  • Съединение без повторение – съединение, което се състои от различни елементи.

    Например: Групата от числа 1, 2, 3 или 7, 8, 5 са две съединения с различни елементи. Нито едно от числата в двете групи не се повтаря.
  • Съединение с повторение – при този вид съединение някои елементи могат да се повтарят.

    Например: Групата от числа 1, 1, 3 или 2, 2, 1 са две съединения с повтарящи се елементи. В първата група се повтаря елемента 1, а във втората – елемента 2.
  Бележка:

  Ще разглеждаме само съединения с не повтарящи се елементи.

• Правило за събиране – Ако елементът А може да бъде избран по N начина, а друг елемент В – по М начина, то кой да е елемент А или В от групата може да бъде избран по N + M начина.

  Например: Виж Зад. 1.
• Правило за умножение – Ако елементът А може да бъде избран по N начина и при всеки избор на А елементът В може да бъде избран по М начина, то изборът на наредената двойка (A, B) може да стане по N.M начина.

  Например: Виж Зад. 2.

• Oпределение – Наредена група, която съдържа всички дадени елементи точно по един път.
• По какво се различават пермутациите – Пермутациите имат еднакви елементи, но се различават само по подредбата им.

Примери:

• Числата 1 и 2 образуват две различни пермутации: (1,2) и (2,1), защото се използват всичките два елемента, но подредбата им е различна.
• Числата 1, 2 и 3 образуват шест различни пермутации: (1,2,3), (1,3,2), (3,1,2), (2,1,3), (2,3,1) и (3,2,1), защото се използват всичките три елемента, но са подредени по различен начин.
• Виж още Зад. 3 и Зад. 4.
• Формула – Броят на всички пермутации от n елемента се означава с P_n и се намира по формулата:
  (1): P_n = n(n – 1)(n – 2) … 3.2.1 = n!.

• Oпределение – Наредена група от k различни елемента (k-ти клас) избрани измежду дадените n елемента, като k ≤ n.
• По какво се различават вариациите – Две вариации се различават една от друга или по един различен елемент или ако имат еднакви елементи, но подредени по различен начин.

Примери:

• С цифрите 1, 2 и 3 могат да се съставят следните различни двуцифрени числа: 12, 21, 13, 31, 23, 32. Виждаме, че първата и втората наредена двойка от числа имат еднакви елементи, но са подредени по различен начин. Затова, тези двойки са две различни вариации. Първата и последната двойка от числа се състои от различни елементи и затова са две различни вариации.
• Виж още от Зад. 5 до зад. 7.
• Формула – Броят на вариациите на n елемента от k-ти клас се означава V_n^k и се намира по формулата:
  (2): V_n^k = n(n – 1)(n – 2) … (n – k + 1) = .

• Oпределение – Наредена група от k различни елемента (k-ти клас) избрани измежду дадените n елемента, като редът на елементите в групата е без значение, като k ≤ n.
• По какво се различават комбинациите – Две комбинации се различават една от друга само ако имат по един различен елемент, без значение в какъв ред са те (за разлика от вариациите, където редът на елементите има значение).

Примери:

• Нека да вземем числото 123. Ако разместим (пермутираме) елементите на това число, получаваме P₃ = 3! = 3.2.1 = 6 съединения. Това са числата 123, 132, 213, 231, 312, 321. Ако имаме три топки (имаме еднакви елементи) номерирани с цифрите 1, 2 и 3, то без значение от реда на изтегляне на топките (първо – топка с число 1, след това – топка с число 2 и накрая – топка с число 3 или в някакъв друг ред, то сме взели и трите топки) имаме само една комбинация.
• От примера за вариации видяхме, че с цифрите 1, 2 и 3 може да съставим шест двуцифрени числа, защото от формулата за вариации (формула 2) следва, че при n = 3 и k = 2 получаваме: V₃² = 3.2 = 6 вариации. Нека сега да имаме три топки и се питаме по колко начина може да изберем две от тях. В случая няма значение редът на избирането на топките (дори е по-добре да мислим, че двете топки се избират едновременно), затова свеждаме задачата до позната задача. Предполагаме, че редът на избиране на топките има значение. Възможните начини за избор са V₃² = 3.2 = 6. При това предположение изборът (първо – на топка 1, а после – на топка 2) е различен от избора (първо – на топка 2, а после – на топка 1). В конкретната задача подредбата на двете топки няма значение, т.е. изборът (топка 1 и топка 2) и изборът (топка 2 и топка 1) дават един и същи резултат, избират се две еднакви топки. Това означава, че намереният брой е два пъти по-голям от търсения брой в задачата, т.е. имаме = 3 начина да изберем две топки от общо три.
• Виж още от Зад. 8 до зад. 11.
• Формула – Броят на комбинациите на n елемента от k-ти клас се означава C_n^k и се намира по формулата:
  (3): .

• Събитие – Резултатът от проведен опит или наблюдение.
• Видове събития:
  • Достоверно събитие – Събитие, което винаги се случва. Например: Достоверно събитие е водата да се превърне в лед, ако я поставим във фризера.
  • Невъзможно събитие – Събитие, което никога няма да се случи. Например: Невъзможно събитие е при хвърлянето на един зар да се падне 7.
  • Несъвместими събития – Събитията A и B се наричат несъвместими, когато НЕ могат да се случат едновременно. Например: При хвърлянето на един зар НЕ могат да се случат едновременно двете събития: събитие А = „броят на точките да е 2“ и събитие В = „броят на точките да е нечетно число“.
  • Съвместими събития – Събитията A и B се наричан съвместими, когато могат да се случат едновременно. Например: При хвърлянето на един зар могат да се случат едновременно двете събития: събитие А = „броят на точките да е 2“ и събитие В = „броят на точките да е четно число“.
  • Противоположно събитие – Събитие, което се случва тогава и само тогава, когато НЕ се случва събитието А. Означава се с .
• Oпределение за вероятност – Вероятност р за настъпване на едно събитие А наричаме отношението на броя m на благоприятните случаи на А към броя n на всички възможни случаи, т.е.
• Основни свойства на вероятностите:
  • Вероятността на достоверното събитие е равна на 1 (или 100%).
  • Вероятността на невъзможното събитие е равна на 0 (или 0%).
  • Вероятността на кое да е събитие А е между 0 и 1, т.е. 0 ≤ p (A) ≤ 1 (или 0% ≤ p (A) ≤ 100%).
• Вероятност на сума от несъвместими събития – Вероятността на обединението на две несъвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития, т.е.
  (5): p (A B) = p (A) + p (B).
• Вероятност на сума от съвместими събития – Вероятността на обединението на две съвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития минус вероятността на сечението им, т.е.
  (6): p (A B) = p (A) + p (B) – p (A ∩ B).
• Вероятност на противоположно събитие – Вероятността на противоположното събитие е равна на единица минус вероятността на събитието А, т.е.
  (7): p () = 1 – p (A).

• Когато данните не се повтарят
  (8): , където x₁, x₂, …, x_n са стойностите на данните, n – броят им, – средната стойност.

  Пример: Средната стойност на множеството от данни 3, 5, 1, 5 е

  = 3,5.

  Бележка:

  Независимо от това, че имаме повтарящи се данни (числото 5 се среща на две места), може да използваме формула (8).
• Когато има повтарящи се данни – Ако стойностите на данните са x₁, x₂, …, x_n, броят на повторенията (честотите) на всяка от данните е f₁, f₂, …, f_n, а броят на всички данни е n, то използваме формулата:
  (9): .

• Статистически ред – Данните са подредени по големина, като най-често се започва от най-малката, т.е. при статистическият ред данните се подреждат по възходящ ред.
• Oпределение – Стойността, която се намира в средата на статистическия ред.
• Намиране на медианата при нечетен брой данни – когато броят на данните е нечетен, то медианата е равна на числото намиращо се в средата на редицата.

  Пример: Медианата на множеството от данни 2, 2, 4, 7, 7 е числото 4, защото:

  1. Данните са подредени по възходящ ред.
  2. Броят на членовете е нечетен.
  3. Числото 4 е централен член (преди него и след него има еднакъв брой членове).
• Намиране на медианата при четен брой данни – когато броят на данните е четен, то медианата е равна на средноаритметичното на двата централни члена в редицата.

  Пример: Медианата на множеството от данни 2, 2, 2, 4, 7, 7 е числото 3, защото:

  1. Данните са подредени по възходящ ред.
  2. Броят на членовете е четен.
  3. Числото 3 е средното аритметично на двата централни члена 2 и 4.
• Практическо правило за определяне на медианата – Ако данните са много е удобно да използваме следното
  Правило:

  В някои случаи е трудно да се определи кое правило трябва да се използва. Може да се ръководите от следното:

  1. Подреждаме данните във възходящ ред.
  2. Изчисляваме номера на медианата №_Ме по формулата
     , където n е броят на данните.
     • Ако n е нечетно число, номерът №_Ме ще е цяло число и ще имаме един централен член с този номер.
     • Ако n е четно число, номерът №_Ме няма да е цяло число и ще имаме два централни члена, чиито номера съответстват на двете цели числа, обграждащи №_Ме.
  3. Намираме медианата.
     • Ако n е нечетно число, то медианата е равна на централния член.
     • Ако n е четно число, то медианата е равна на средното аритметично на двата централни члена.

Oпределение – Стойността, която се среща най-често в данните (понякога тя се нарича средна величина на гъстотата).