Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Геометрия

Взаимно положение на права и окръжност. Ъгли свързани с окръжност

Съдържание на темата:

Взаимно положение на права и окръжност
Ъгли свързани с окръжност
Взаимно положение на две окръжности
Общи допирателни на две окръжности

Теория

I. Взаимно положение на права и окръжност

Окръжност

Oпределение за окръжност – Фигура, състояща се от всички точки, които са на едно и също разстояние r от дадена точка O (Фиг. 1).
Елементи на окръжността:
- Център – Например, на Фиг. 1 центърът е точка O.
- Радиус r – Разстоянието от центъра до произволна точка на окръжността. Например, на Фиг. 1 радиусът е ON = OM = r.
- Диаметър d – Отсечка, минаваща през центъра и свързваща две точки от окръжността. Например, на Фиг. 1 диаметърът е NM = d = 2r.
Начин за означаване – обикновено се означава с k (O; r).

Хорда

Отсечка, свързваща две произволни точки от окръжността. Например, правата AB на Фиг. 1.

Бележка:

Диаметърът d = MN (Фиг. 1) на окръжността е вид хорда, която минава през центъра на окръжността.

Секуща (секателна)

Права, която има две общи точки с окръжността. Например, правата AB на Фиг. 3.

Допирателна

Права, която има една обща точка с окръжността, като общата точка се нарича допирна точка. Например, правата ЕВ на Фиг. 3 е допирателна към окръжността, като допирната точка е т. Е.

Теореми

За хорда и диаметър:
Теорема 1: Ако диаметър е перпендикулярен на хорда в окръжност, то той разполовява хордата и съответната ѝ дъга, т.е. (Фиг. 1):

Теорема 2: Нека AB, CD, PG са хорди, които се пресичат в точка М (Фиг. 2) и нека PG е перпендикулярна на диаметъра EF, то:

(2): AM.MB = MD.CM = PM² = GM².

Следствие 1: Ако е дадена хорда в окръжност, то центърът на тази окръжност лежи на симетралата на хордата (или симетралата на хорда в окръжност минава през центъра на окръжността). Например: Ако AB е хорда (Фиг. 1), то NM е симетралата на тази хорда.
За допирателни:
Теорема 3: Допирателната е винаги перпендикулярна на радиуса на окръжността. Например, на Фиг. 3 ЕВ OE.

Теорема 4: Ако правите ЕВ и DB (Фиг. 3) са допирателни и се пресичат във външна точка B на окръжността, то ОВ е ъглополовяща на EBD и

(3): EB = DB.

Теорема 5: Ако точка B (Фиг. 3) е външна за окръжността, правите АВ и CB са секущи, а ЕВ допирателна, то:

(4): FB.AB = GB.CB = EB².

Бележка:

За извод на първото и третото равенство от формула (4) виж Зад. 3, а за извод на първото и второто равенство виж Зад.4.

Решени задачи

II. Ъгли свързани с окръжност

Централен ъгъл

Върхът му O е в центъра на окръжността, а раменете му са секателни. За този ъгъл имаме (Фиг. 4):

Следствие 1: На равни централни ъгли съответстват равни хорди и обратното, на равни хорди отговарят равни централни ъгли.

Следствие 2: На равни дъги отговарят равни хорди и обратното, на равни хорди отговарят равни дъги.

Вписан ъгъл

Върхът му C лежи на окръжността, а раменете му са секателни. За него имаме (Фиг. 4):

Следствие 1: Всички вписани ъгли в една и съща окръжност, чиито рамене отсичат едни и същи дъги, са равни.

Следствие 2: Вписани ъгли чиито рамене минават през краищата на диаметър, са прави.

Периферен ъгъл

Върхът му C лежи на окръжността, едното му рамо е допирателно, а другото рамо пресича окръжността. За този ъгъл имаме (Фиг. 4):

Ъгъл между две хорди AB и CD, чийто връх е вътрешна точка за окръжността

Ъгъл между две секателни AB и CB, чийто връх е външна точка за окръжността

Бележка:

Формула (9) може да се приложи и когато едната или двете прави от AB и CB са допирателни.

Решени задачи

III. Взаимно положение на две окръжности

Правата свързваща центровете на две окръжности. Например, на Фиг. 5 са дадени окръжностите k₁ (O₁; r) и k₂ (O₂; R), като r < R. Разстоянието между техните центрове се отбелязва с d = O₁O₂ и се нарича тяхна централа.

Взаимно положение на две окръжности

Взаимното положение на двете окръжности k₁ (O₁; r) и k₂ (O₂; R) се определя от числото d и от радиусите r и R на окръжностите.

Концентрични окръжности.
- Определение – Окръжности, на които центровете им съвпадат.
- Чертеж – Фиг. 6.
- Брой на общите им точки – Двете окръжности нямат общи точки.
- Критерий – d = 0.
Едната окръжност е вътрешна за другата.
- Чертеж – Фиг. 7.
- Брой на общите им точки – Двете окръжности нямат общи точки.
- Критерий – d < R – r.
Вътрешно допирателни окръжности.
- Чертеж – Фиг. 8.
- Брой на общите им точки – Двете окръжности имат 1 обща точка.
- Допирна точка – Общата точка на двете окръжности. На Фиг. 8 т. Т е допирната точка на двете окръжности.
- Критерий – d = R – r.
Пресичащи се окръжности.
- Чертеж – Фиг. 9.
- Брой на общите им точки – Двете окръжности имат 2 обща точка.
- Критерий – R – r < d < R + r.
Външно допирателни окръжности.
- Чертеж – Фиг. 10.
- Брой на общите им точки – Двете окръжности имат 1 обща точка.
- Допирна точка – Общата точка на двете окръжности. На Фиг. 10 т. Т е допирната точка на двете окръжности.
- Критерий – d = R + r.
Непресичащи се окръжности, външни една за друга.
- Чертеж – Фиг. 11.
- Брой на общите им точки – Двете окръжности нямат общи точки.
- Критерий – d > R + r.

IV. Общи допирателни на две окръжности

Определение

О – Прави, които се допират до двете окръжности.

Видове обща допирателна до две окръжности

Обща външна допирателна – Двете окръжности са в една и съща полуравнина спрямо общата им допирателна (Фиг. 12).
Обща вътрешна допирателна – Двете окръжности са в различни полуравнини спрямо общата им допирателна (Фиг. 13).

Общи допирателни на две окръжности в зависимост от положението на окръжностите

Едната окръжност е вътрешна за другата (или са концентрични окръжности):
- Чертеж – Фиг. 14.
- Брой общи вътрешни допирателни – Двете окръжности нямат общи вътрешни допирателни.
- Брой общи външни допирателни – Двете окръжности нямат общи външни.
Вътрешно допирателни окръжности:
- Чертеж – Фиг. 15.
- Брой общи вътрешни допирателни – Двете окръжности нямат общи вътрешни допирателни.
- Брой общи външни допирателни – Двете окръжности имат 1 обща външна допирателна.
Пресичащи се окръжности:
- Чертеж – Фиг. 16.
- Брой общи вътрешни допирателни – Двете окръжности нямат общи вътрешни допирателни.
- Брой общи външни допирателни – Двете окръжности имат 2 общи външни допирателни.
Външно допирателни окръжности:
- Чертеж – Фиг. 17.
- Брой общи вътрешни допирателни – Двете окръжности имат 1 обща вътрешна допирателна.
- Брой общи външни допирателни – Двете окръжности имат 2 общи външни допирателни.
Непресичащи се окръжности, външни една за друга:
- Чертеж – Фиг. 18.
- Брой общи вътрешни допирателни – Двете окръжности имат 2 общи вътрешни допирателни.
- Брой общи външни допирателни – Двете окръжности имат 2 общи външни допирателни.