• Права теорема (Фиг. 1)
  (1): Ако AB || CD, то .
• Следствие:
  (2): Ако AB || CD, то .

  Доказателство:

  • От Фиг. 1 OD = OB + BD; OC = OA + AC.
  • Използваме формула (1):
• Обратна теорема на Талес (Фиг. 1):
  (3): Ако , то AB || CD.

• Определение – Ако ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁ (Фиг. 2), то A = B = C и = k, където k е коефициент на подобие.
• І признак – Ако два ъгъла от един триъгълник са съответно равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни, т.е. (Фиг. 2):
  (4): Ако A = A₁ и B = B₁ ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.
• ІІ признак – Ако две страни от един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тях са равни, то триъгълниците са подобни, т.е. (Фиг.2):
  (5): Ако и B = B₁ ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.
• ІІІ признак – Ако страните на един триъгълник са съответно пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни, т.е. (Фиг.2):
  (6): Ако ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.
• ІV признак (само за правоъгълни триъгълници) – Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако катет a и хипотенуза c от един триъгълник Δ са съответно пропорционални на катет a₁ и хипотенуза c₁ от друг триъгълник Δ₁, т.е.:
  

Ако ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, то:

Теорема 1 – Ако А = 30° (Фиг. 3), то

(10): BC = AB (или AB = 2BC).

Теорема 2 – Ако е изпълнено (10) следва, че А = 30°.

Теорема 1 – Ако m_c = CO е медиана към хипотенузата c = AB (Фиг. 4) в ΔABC (C = 90°), то

(11): m_c = CO = AB (или AB = 2CO).

Теорема 2 – Ако в произволен триъгълник медианата към едната страна е равна на половината от нея, то ъгълът срещу тази страна е прав, т.е. На Фиг. 4, ако AO = BO = CO, то C = 90°.

Виж Фиг. 3.

(12): a² + b² = c².

• Правоъгълен триъгълник – Ако
  (13): a² + b² = c² γ = 90°.
• Тъпоъгълен триъгълник – Ако
  (14): a² + b² < c² γ > 90°.
• Остроъгълен триъгълник – Ако
  (15): a² + b² > c² γ < 90°.

Ако CD = h_c (Фиг. 3) е височина, а AD = b₁ и BD = a₁ са проекциите съответно на катетите b и a върху хипотенузата c, то:

(16): a² = c.a₁;

(17): b² = c.b₁;

(18): h_c² = a₁.b₁;

(19): h_c.c = a.b.

В правоъгълният триъгълник ΔABC (Фиг. 4) хипотенузата АВ е диаметър на описаната окръжност, т.е.:

(20): c = AB = 2R.

• Права АС е допирателна до окръжност тогава и само тогава, когато е перпендикулярна на радиуса r в общата точка на правата и окръжността (Фиг. 5), т.е.
  Ако АС – допирателна до к AC r, където r = OM.
• Допирателните от външна точка към окръжността са равни (Фиг. 5), т.е.
  Ако АM и АP – допирателни AM = AP.

• Радиус на вписана окръжност – Ако точките M и N са допирните точки на окръжността до правоъгълния ΔABC (Фиг. 5), т. О – център на вписаната окръжност, а т. С – връх с прав ъгъл, то ONCM – квадрат, т.е.
  (21): OM = ON = CM = CN = r.
• Връзка между радиусът на вписаната окръжност и страните на триъгълника – Ако с p отбележим полупериметъра на триъгълника, то за r имаме изпълнено (Фиг. 5)
  (22): r = p – c = .

Виж Фиг. 3.

Виж Фиг. 3.

О – Отсечка, която съединява средите на две от страните на триъгълник. На Фиг. 6, ако точките M, N и P са среди съответно на страните AC, BC и AB, то MN, PM и PN са средни отсечки в ΔABC.

T₁ – Права, минаваща през средата на една от страните на триъгълник и е успоредна на втора страна, то тя минава през средата на третата страна (Фиг. 6), т.е.
(28): т. M – среда на АС и MN || AB следва, че т. N е среда на ВС.

T₂ – Всяка средна отсечка в триъгълник е успоредна на една от страните му и е равна на половината от нея (Фиг. 6), т.е.
(29): MN – средна отсечка MN = AB (или AB = 2MN).

О – В геометрията, медианата е отсечката в триъгълника, която свързва всеки негов връх със средата на срещуположната му страна. Всеки триъгълник има точно 3 медиани (Фиг. 7), съответно на броя върхове.

• Определение – Медианите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича медицентър.
• Теорема – Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, считано от върха на триъгълника. Например: На Фиг. 7, ако AA₁ е медиана и т. M е медицентър, то
  (30): AM : MA₁ = 2 : 1.
• Следствие – Ако медианата е CC₁, а т. М – медицентър на триъгълника (Фиг. 7), то:

  CM = CC₁, MC₁ = CC₁.

  Бележка:

  За извод виж ОЗ.4.1.

При стандартните обозначения за страните на триъгълник, ако m_a е медианата към страната a имаме формулата:

(31): 4m_a² = 2(b² + c²) – a².

Ако са дадени трите медиани и една от страните на триъгълник, имаме формулата:

(32): 9a² = 4(2m_b² + 2m_c² – m_a²).

О – Отсечките, които делят съответния ъгъл на две равни части. В триъгълник има точно 3 ъглополовящи, съответно на броя върхове (Фиг. 8).

Вътрешните ъглополовящи на всеки триъгълник се пресичат в една точка (на Фиг. 8 това е т. L), която е център на вписаната в триъгълника окръжност.

Ако AA₁ = l_a е ъглополовяща на A (Фиг. 8), то:

(33): .

(34): AA₁² = AB.AC – BA₁.A₁C.

(35): AA₁² = AB.AC – .

• Всяка точка от ъглополовящата на ъгъл се намира на равни разстояния от раменете на ъгъла.
• В равнобедрен триъгълник медианата, ъглополовящата и височината през върха срещу основата съвпадат и лежат върху симетралата на основата, т.е. медиана, ъглополовяща, височина и симетрала към основата съвпадат.
• В равностранен триъгълник медианата, ъглополовящата и височината през всеки връх съвпадат и лежат върху симетралата на съответната страна, т.е. медиана, ъглополовяща, височина и симетрала към всяка страна съвпадат.

Височините на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър.

• При остроъгълен триъгълник – Ортоцентърът (т. Н) е вътрешна точка за триъгълника (Фиг. 9).
• При правоъгълен триъгълник – Ортоцентърът (т. Н) съвпада с върха на правия ъгъл (Фиг. 10).
• При тъпоъгълен триъгълник – Ортоцентърът (т. Н) е външна точка за триъгълника (Фиг. 11).

Симетралите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на описаната около триъгълника окръжност. На чертежите центърът на описаната окръжност е отбелязан с т. О, като на Фиг. 12 ΔABC е остроъгълен, на Фиг. 13 ΔABC е правоъгълен и на Фиг. 14 ΔABC е тъпоъгълен.

О – Окръжността, която минава през върховете на триъгълник, се нарича описана около триъгълника, а триъгълникът се нарича вписан в окръжността.

T – Симетралите на трите страни на триъгълник се пресичат в центъра на описаната около триъгълника окръжност (точка О).

Центърът на описаната около триъгълник окръжност е на различно место:

• Ако ΔABC е остроъгълен, т. О е вътрешна за триъгълника (Фиг. 15).
• Ако ΔABC е правоъгълен, т. О е среда на хипотенузата (Фиг. 16).
• Ако ΔABC е тъпоъгълен, т. О е външна за триъгълника (Фиг. 17).

За всеки произволен триъгълник, ортоцентърът Н, медицентърът М и центърът О на описаната окръжност (пресечната точка на симетралите на страните) лежат на една права, като НМ = 2МО.

В триъгълник разгледахме четири характерни точки:

1. Медицентър – Трите медиани се пресичат в една точка, която е медицентър M на триъгълника.
2. Център на вписаната окръжност – Трите вътрешни ъглополовящи се пресичат в една точка, която е център L на вписаната в триъгълника окръжност.
3. Център на описаната окръжност – Трите симетрали се пресичат в една точка, която е център O на описаната около триъгълника окръжност.
4. Ортоцентър – Трите височини се пресичат в една точка, която е ортоцентър H на триъгълника.

Тези четири точки се наричат забележителни точки в триъгълника.

• Точките 1 и 2 – Медицентърът и центърът на вписаната окръжност са винаги вътрешни за триъгълника.
• Точките 3 и 4 – Центърът на описаната около триъгълника окръжност и ортоцентърът са вътрешни за остроъгълния триъгълник, лежат върху хипотенузата (точка 3) или връх в правоъгълния триъгълник (точка 4) и са външни за тъпоъгълния триъгълник.
• В равностранен триъгълник – Четирите точки съвпадат.
  Бележка:

  Ако две от забележителните точки в един триъгълник съвпадат, триъгълникът е равностранен.

• В равнобедрен триъгълник – Четирите точки лежат върху височината (или медианата или ъглополовящата или симетралата) към основата на триъгълника, но НЕ съвпадат.

Виж Фиг. 20.

• Височина в равностранен триъгълник със страна a:
  (46): h = a.
• Лице:
  (47): S = a².