Прави и равнини

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Стереометрия

Основни задачи

ОЗ 1:: Докажете, че всеки околен ръб на правилна триъгълна пирамида е перпендикулярен на кръстосания с него основен ръб на пирамидата.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте Теоремата за трите перпендикуляра.

Нека CM е околен ръб, а AB – основен ръб и трябва да докажем, че CM AB:

ABCM – правилна триъгълна пирамида ΔABC е равностранен.
Нека точка D е среда на AB, тогава CD – височина и т. O – медицентър на ΔABC, т.е. MO е височина на пирамидата.
Ортогоналната проекция на CM в равнината на основата (ABC) на пирамидата е CO.
Но CD AB и от Теоремата за трите перпендикуляра следва, че CM AB.

ОЗ 2:

Дадена е триъгълна пирамида ABCM. Докажете, че ако едно от следните три твърдения е вярно, то са вери и останалите две.

а) Околните ръбове са равни, т.е. AM = BM = CM.

б) Ортогоналната проекция на M в равнината (ABC) е центърът на описаната окръжност около основата, т.е. около ΔABC.

в) Правите AM, BM, CM сключват равни ъгли с равнината (ABC), т.е. околните ръбове сключват равни ъгли с равнината на основата.

Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.

Предполагаме, че околните ръбове са равни, т.е. твърдение а) е вярно. Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABC).
Ще докажем б):
ΔAOM ≅ ΔBOM ≅ ΔCOM – по ІV признак, защото: 1) AM = BM = CM – по условие ; 2) MO – обща; 3) O = 90° AO = BO = CO, т.е. точка O е център на описаната около ΔABC окръжност.
Доказваме в):
- AO, BO и CO са проекциите съответно на AM, BM и CM в равнината на основата, затова (AM, ABC) = OAM, (BM, ABC) = OBM, (CM, ABC) = OCM.
- От ΔAOM ≅ ΔBOM ≅ ΔCOM OAM = OBM = OCM.
По подобен начин се доказва, че ако е изпълнено б) следват а) и в) или, ако е изпълнено в) следват а) и б).

ОЗ 3:: Дадена е четириъгълна пирамида ABCDM с връх M, като AM = BM = CM = DM. Докажете, че ако O е ортогоналната проекция на върха M в равнината на основата, то OA = OB = OC = OD, т.е. четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност.

Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.

Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABCD).

I начин:

ΔAOM ≅ ΔBOM ≅ ΔCOM ≅ ΔDOM – по ІV признак, защото: 1) AM = BM = CM = DM – по условие ; 2) MO – обща; 3) O = 90° AO = BO = CO = DO, т.е. точка O е център на описаната около ABCD окръжност.

II начин:

По условие AM = CM ΔACM – равнобедрен, но MO – височина в този триъгълник MO е и медиана, т.е. AO = CO.
По условие BM = DM ΔBDM – равнобедрен, но MO – височина в този триъгълник MO е и медиана, т.е. BO = DO.
ΔAOM ≅ ΔBOM – по ІV признак, защото: 1) AM = BM – по условие ; 2) MO – обща; 3) O = 90° AO = BO.
Така доказахме, че AO = BO = CO = DO = R, т.е. окръжност с радиус R е описана около четириъгълника ABCD.

ОЗ 4:: Дадена е триъгълна пирамида ABCM. Ортогоналната проекция на върха M върху равнината на основата е центърът на вписаната в триъгълника ABC окръжност. Докажете, че двустенните ъгли с ръбове AB, BC и CA са равни.

Използвайте Теоремата за трите перпендикуляра, за да намерите проекциите на околните ръбове в равнината на основата.
Намерете линейните ъгли съответстващи на двустенните ъгли.
Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.

Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABC), а допирните точки до AB, BC и AC на вписаната в основата окръжност, са съответно точките D, K и N.
Тогава OD = OK = ON = r и OD AB, OK BC и ON AC.
Но проекциите на MD, MK и MN са съответно OD, OK и ON. От Теоремата за трите перпендикуляра MD AB, MK BC, MN AC.
Затова за двустените ъгли имаме:
(ABM, ABC) = ODM, (BCM, ABC) = OKM, (ACM, ABC) = ONM.
ΔODM ≅ ΔOKM ≅ ΔONM – по І признак, защото: 1) OD = OK = ON = r; 2) MO – обща; 3) O = 90° ODM = OKM = ONM = φ.

ОЗ 5:: Дадена е четириъгълна пирамида ABCDM основата на която ABCD е четириъгълник, описан около окръжност с център O. Ортогоналната проекция на върха M върху равнината на основата е точка O. Докажете, че двустенните ъгли с ръбове AB, BC, CD и DA са равни.

Използвайте Теоремата за трите перпендикуляра, за да намерите проекциите на околните ръбове в равнината на основата.
Намерете линейните ъгли съответстващи на двустенните ъгли.
Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.

Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABCD), а допирните точки до AB, BC, CD и AD на вписаната в основата окръжност са съответно P, K, Q и L.
Тогава OP = OK = OQ = OL = r и OP AB, OK BC, OQ CD и OL AD.
Но проекциите на MP, MK, MQ и ML са съответно OP, OK, OQ и OL. От Теоремата за трите перпендикуляра MP AB, MK BC, MQ CD, ML AD.
Затова за двустените ъгли имаме:
(ABM, ABC) = OPM, (BCM, ABC) = OKM, (CDM, ABC) = OQM. (ADM, ABC) = OLM.
ΔOPM ≅ ΔOKM ≅ ΔOQM ≅ ΔOLM – по І признак, защото: 1) OP = OK = OQ = OL = r; 2) MO – обща; 3) O = 90° OPM = OKM = OQM = OLM = φ.

ОЗ 6:: Дадена е правилна триъгълна пирамида. Намерете двустенните ъгли (ъглите между съседни стени) на пирамидата, ако основния ръб е a, а околния ръб – b.

Използвайте Теоремата за трите перпендикуляра, за да намерите проекциите на околните ръбове в равнината на основата.
Намерете линейните ъгли съответстващи на двустенните ъгли.
Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.

Върни се в теорията

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура