Разлагане на многочлени на множители

Самоподготовка по Математика за
7 клас

Съдържание на темата:

Първа част
Втора част

Теория

Тест – 7 клас

ПЪРВА ЧАСТ

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Критерии за оценяване

Вярното разлагане на израза 16x²y³ – 8xy² – 12x³y⁴ е:
- А)4x²y²(4y – 2 – 12xy²)
- Б)xy(16xy² – 8y² – 12xy²)
- В)4xy²(4xy – 2 – 3x²y²)
- Г)4xy²(4xy – 2y – 3x²y²)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изнесете общ множител пред скоба.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Изнасяме общ множител пред скоба:
  16x²y³ – 8xy² – 12x³y⁴ = 4xy²(4xy – 2 – 3x²y²).
- Верен отговор В).

Вярното разлагане на многочлена x⁴y⁵ – 2x⁴y⁶ на множители е:
- А)x⁴y⁴(1 – 2y)
- Б)x⁴y⁴(2y⁴ – 1)
- В)– x⁴y⁴(2y² – 1)
- Г)– x⁴y⁵(2y – 1)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изнесете общ множител пред скоба.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Изнасяме общ множител пред скоба:
  x⁴y⁵ – 2x⁴y⁶ = – x⁴y⁵(–1 + 2y) = – x⁴y⁵(2y –1).
- Верен отговор Г).

Изразът 9a² – 12a + 4 в разложен вид е:
- А)(3a + 2)(3a – 2)
- Б)(2 – 3a)²
- В)(3a + 2)²
- Г)(3a + 4)(3a + 1).
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители с помощта на формулата (a – b)².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители с помощта на формула (2):
  9a² – 12a + 4 = (3a)² – 2.3a.2 + 2² = (3a – 2)² = (2 – 3a)².
- Верен отговор Б).

Изразът x² – в разложен вид е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)не се разлага
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители с помощта на формулата a² – b².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители с помощта на формула (5):
- Верен отговор А).

Многочленът (2x – 4)² – (– 4)² се разлага на множители:
- А)4x² – 16x
- Б)4x(x – 4)
- В)2x(x – 4)
- Г)не се разлага
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители с помощта на формулата a² – b².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители с помощта на формула (5):
  (2x – 4)² – (– 4)² = (2x – 4 – 4)(2x – 4 + 4) = (2x – 8)2x = 4x(x – 4).
- Верен отговор Б).

Разлагането на многочлена 3a(a – 1) + 2(a – 1) на множители е:
- А)(a – 1)(3a – 2)
- Б)(a – 1)(2 – 3a)
- В)(a + 1)(2 – 3a)
- Г)(a – 1)(2 + 3a)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изнесете общ множител пред скоба.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Изнасяме общ множител пред скоба:
  3a(a – 1) + 2(a – 1) = (a – 1)(3a + 2).
- Верен отговор Г).

Кое разлагане на многочлена 15ab + 2 – 3a – 10b на множители е вярно?
- А)(3a + 2)(5b – 1)
- Б)(3a + 2)(1 + 5b)
- В)(1 – 5b)(2 – 3a)
- Г)(3a – 2)(5b + 1)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители чрез групиране, като групирате Първо с Трето, и Второ с Четвърто.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме чрез групиране, като от Първо и Трето изнасяме 3a, а от Второ и Четвърто изнасяме – 2:
  15ab + 2 – 3a ̵ 10b = 3a(5b – 1) – 2(5b – 1) = (5b – 1)(3a – 2).
- От двете скоби изнасяме – 1 и получаваме верен отговор B).

Изразът 5x(x – y) + y(y – x) в разложен вид е:
- А)(5x – y)(y – x)
- Б)(5x – y)(x – y)
- В)(5x + y)(x – y)
- Г)(5x + y)(y – x)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От вторият едночлен изнесете – 1;
2. Изнесете пред скоба израза (x – y).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители чрез изнасяне на общ множител пред скоба:
  5x(x – y) + y(y – x) = 5x(x – y) – y(x – y) = (x – y)(5x – y).
- Верен отговор Б).

Кое от посочените равенства е тъждество?
- А)(9x – 5)² = 81x² – 25
- Б)(3x + 8)² = 3x² + 48x + 64
- В)(x – 5)(x² + 5x + 25) = x³ – 125
- Г)(x – y)³ = 9 – y³
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула за съкратено умножение.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Само отговор В) отговаря на формулите за съкратено умножение (формула 7).

Стойността на израза 47² – 2.47.53 + 53² е равна на:
- А)6
- Б)36
- В)100
- Г)10 000
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители с помощта на формулата (a – b)².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители с помощта на формула (2):
  47² – 2.47.53 + 53² = (47 – 53)² = (–6)² = 36.
- Верен отговор Б).

Критерии за оценяване

Многочленът x⁶y⁶ – 2x³y³ + 1 е:
- А)точен куб
- Б)точен квадрат
- В)сбор от квадрати
- Г)разлика от кубове
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулата (a – b)².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме формула (2):
  x⁶y⁶ – 2x³y³ + 1 = (x³y³)² – 2x³y³ + 1= (x³y³ – 1)².
- Верен отговор Б).

Изразът 3x² – 6x + 3 се разлага на множители:
- А)(3 – 3x)²
- Б)3(1 + x)²
- В)3(1 – x)²
- Г)(3x + 1)²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Изнесете 3 пред скоба.
2. Използвайте формула (2).
3. Използвайте формула (8).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Изнасяме общ множител пред скоба и прилагаме формула (8):
  3x² – 6x + 3 = 3(x² – 2x + 1) = 3(x – 1)² = 3(1 – x)².
- Верен отговор В).

Стойността на израза е:
- А)–
- Б)–
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители числител и знаменател като използвате формули (1) и (5).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители числител и знаменател с помощта на формули (1) и (5):
  = – .
- Верен отговор А).

Разлагането на многочлена (a – 4)² – 9(a + 2)² на множители е:
- А)(2a – 1)(a + 5)
- Б)– 4(a + 5)(2a + 1)
- В)4(a + 5)(1 + 2a)
- Г)4(a – 5)(1 + 2a)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители като използвате формула (5).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители като използваме формулата a² – b²:
  (a – 4)² – 9(a + 2)² = (a – 4 – 3a – 6)(a – 4 + 3a + 6) = (–2a – 10)(4a + 2) = –4(a + 5)(2a + 1).
- Верен отговор Б).

Разлагането на многочлена x² + 2xy + y² – 64 на множители е:
- А)(x + y + 8)²
- Б)(x + y – 8)(x + y + 8)
- В)(x – y – 8)(x – y + 8)
- Г)(x + y – 8)²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Групирайте 1, 2 и 3, и приложете подходяща формула.
2. За да разложите на множители приложете формулата a² – b².
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Групираме Първо, Второ и Трето събираемо, и прилагаме формула (1):
  x² + 2xy + y² – 64 = (x + y)² – 64.
- Разлагаме на множители с помощта на формулата a² – b²:
  (x + y)² – 64 = (x + y)² – 8² = (x + y – 8)(x + y + 8).
- Верен отговор Б).

Изразът (x + 5)³ – 36(x + 5) НЕ е тъждествено равен на:
- А)(x + 5)[(x + 5)² – 36]
- Б)(x + 5)(x + 5 – 6)(x + 5 + 6)
- В)(x + 5)(x – 1)(x + 11)
- Г)(x + 5)(x² + 10 – 11)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Изнесете пред скоба еднаквите многочлени.
2. Приложете формулата a² – b².
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Изнасяме пред скоба общия множител (x + 5) и получаваме отговор А), т.е.:
  (x + 5)³ – 36(x + 5) = (x + 5)[(a + 5)² – 6²].
- Прилагаме формулата a² – b² и получаваме отговор Б), т.е.:
  (x + 5)[(a + 5)² – 6²] = (x + 5)(x + 5 – 6)(x + 5 + 6).
- Извършваме приведение в скобите и получаваме отговор В), т.е.:
  (x + 5)(x + 5 – 6)(x + 5 + 6) = (x + 5)(x – 6)(x + 11).
- Само отговор Г) не може да се получи при тъждествени преобразования. Това е търсеният отговор.
- Верен отговор Г).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачи 17. – 20. запишете на съответните места в листа с отговори.

Ако a – b = 3 и a.b = 10, колко е стойността на израза a² + b²?

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте формула (14).

Вижте решение
Решение:
- Прибавяме и изваждаме едно и също число (числото 2ab) и прилагаме формула (2):
  a² + b² = a² – 2ab + b² + 2ab = (a – b)² + 2ab.
- Заместваме с даденото a – b = 3 и a.b = 10:
  (a – b)² + 2ab = 3² + 2.10 = 9 + 20 = 29.
- Отговор a² + b² = 29.
Критерии за оценяване

За верен отговор – 8 точки.

Намерете числената стойност на израза при x = – 13.

Вижте упътване
Упътване:
1. Преобразувайте числителя по формулата a³ – b³.
2. Заместете с дадената стойност на х.
Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме числителя с формула (7):
  = 3 – x.
- Заместваме с x = – 13:
  3 – (–13) = 3 + 13 = 16.
- Отговор: Търсената стойност е 16.
Критерии за оценяване

За верен отговор – 5 точки.

Дадени са многочлените:

(A): x² – 9, (B): 4x³ – 4, (C): 3x² + 18x + 27, (D): (x + 1)² – 4 и (E): (x – 2)³ + (2 – x)².

В таблицата по-долу срещу множителите (x + 3) и (x – 1) запишете онези многочлени, в чието разлагане съответният израз може да участва.

Множител	Многочлени
x + 3
x – 1

Вижте упътване

Вижте решение

Критерии за оценяване

Ако 2x + y = 5 и 4x² + y² = 17, намерете стойността на израза xy.

Вижте упътване

Упътване:

Повдигнете на квадрат двете страни на израза 2x + y = 5 и от полученото равенство намерете x.y.

Вижте решение
Решение:
- Повдигнете на квадрат двете страни на израза 2x + y = 5 и получаваме:
  (2x + y)² = 5² 4x² + 4xy + y² = 25 4xy + (4x² + y²) = 25 4xy + 17 = 25 4xy = 8 xy = 2.
- Отговор: Търсената стойност е 2.
Критерии за оценяване

За верен отговор – 7 точки.

ВТОРА ЧАСТ

Отговорите на задачи 21. и 22. запишете на съответните места в листа с отговори.

На мястото на Q поставете едночлени така, че равенството да е тъждество:
(4x + Q)(Q – Q + Q) = Q + 27y³.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте формула (6).

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото равенство:
  (4x + Q)(Q – Q + Q) = Q + 27y³ (4x + Q)(Q – Q + Q) = (4x)³ + (3y)³.
- Използваме формула (6):
  (4x + Q)(Q – Q + Q) = (4x)³ + (3y)³ (4x + 3y)(16x² – 12xy + 9y²) = 64x³ + 27y³.
Критерии за оценяване
- За всяка вярна стойност на Q по 1 точка.
- Общо 5 точки.

Даден е израза: .
а) Преобразувайте израза А като тези преобразования ги запишете в листа с отговори.

б) Намерете числената стойност на израза А.

Вижте упътване
Упътване:
1. За първата дроб приложете формула (7).
2. За второто събираемо приложете формула (5).
Вижте решение

Решение:

а) Използваме формули (7) и (5):

б) Намираме числената стойност на А:

A .

Критерии за оценяване
- За правилно приложени формули (7) и (5) – по 1 точка.
- За съкращенията в първата дроб и получаване на израз за А – 1 точка.
- За получаване на стройността A = – 2 точки.
- Общо 5 точки.

На задачи 23. и 24. запишете пълните решения с необходимите обосновки.

Намерете числената стойност на израза A = при .

Вижте упътване

Упътване:

Разложете израза А на множители като използвате комбинация от различните методи.

Вижте решение

Решение:

Критерии за оценяване
- За намиране на x = 16 – 5 точки.
- За получаване на A = – 3 точки.
- За получаване на A = 7 – 2 точки.
- Общо 10 точки.

Ако x = , намерете стойността на израза B = .

Вижте упътване

Упътване:

Разложете израза B на множители като използвате комбинация от различните методи.

Вижте решение
Решение:
- Намираме х като използваме формулата a² – b² и правим приведение:
  x = = 40.
- Преобразуваме В като използваме формула a³ – b³ и съкращаваме получената дроб:
  B = = 2x – 1.
- При x = 40 намираме B:
  B = 2.40 – 1 = 80 – 1 = 79.
- Търсената стойност е B = 79.
Критерии за оценяване
- За намиране на x = 40 – 3 точки.
- За получаване на B = 2x – 1 – 5 точки.
- За намиране числената стойност на В – 2 точки.
- Общо 10 точки.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура