1. Ако a < b, то b > a.

   ПРИМЕР: Ако –3 < 5, то 5 > –3.

2. Ако a < b и b < c, то a < c.

   ПРИМЕР: Ако –3 < 5 и 5 < 9, то –3 < 9.

3. Еднопосочните неравенства събираме почлено, т.е. събираме поотделно левите и десните им страни, като в резултата поставяме същия знак, както е в условието, т.е.
   

   ПРИМЕР:
   

   Бележка:

   Еднопосочните числови неравенства могат само да се събират, НО НЕ МОГАТ ДА СЕ ИЗВАЖДАТ.
4. Ако към двете страни на вярно числово неравенство прибавим (или извадим) едно и също число, то отново се получава вярно неравенство, т.е.

   Ако: a < b | + c, то a + c < b + c или a < b | – c, то a – c < b – c.

   ПРИМЕР: –4 < 5 | + 3 – 1 < 8 или – 4 < 5 | – 3 – 7 < 2.

5. Ако двете страни на вярно числово неравенство умножим (или разделим) с:
   • положително число, се получава вярно неравенство.

     Т.е. Ако c > 0 и a < b | . c, то a.c < b.c.

     ПРИМЕР: –4 < 5 | . 3 – 12 < 15.

   • отрицателно число и сменим посоката на неравеството, се получава вярно неравенство.

     Т.е. Ако c < 0 и a < b | . c, то a.c > b.c.

     ПРИМЕР: – 4 < 5 | . (– 3) 12 > –15.

Т₁ (теорема за прехвърляне) – Всеки член на неравенството може да се прехвърли от едната страна на неравенството в другата му страна с обратен (противоположен) знак.

ПРИМЕР: 3x –5 < 1 3x < 1 + 5.

Т₂ (теорема за заместване) – В едно неравенство всеки израз може да се замести с тъждествено равен на него израз.

ПРИМЕР: –2(x + 1) < x –2x –2 < x.

Т₃ (теорема за умножение или делене с число) – Ако двете страни на неравенството се умножат или разделят c:

• положително число, т.е. c > 0, се получава неравенство, еквивалентно на даденото.

  ПРИМЕР: 8x > 2|:2 4x > 1.

• отрицателно число, т.е. c < 0 и се смени посоката на неравенството, се получава неравенство, еквивалентно на даденото.

  ПРИМЕР: – 2x < 5|.(–1) 2x > –5.

1. Ако имаме скоби ги разкриваме.
2. Ако имаме знаменател привеждаме под общ знаменател и двете страни на неравенството.
3. Прехвърляме неизвестните от едната страна на неравенството, а известните от другата страна и извършваме приведение.
4. Продължаваме в зависимост от коефициента a:
   • Ако числото a > 0, при неравенство ax > b решенията са x > , а при неравенство ax < b решенията са x < .
   • Ако числото a < 0, при неравенство ax > b решенията са x < , а при неравенство ax < b решенията са x > .
   • Ако числото a = 0 неравенствата приемат вида 0x > b или 0x < b), тогава решаването на неравенството става чрез разсъждения, при които се проверява дали съответното числово неравенство е вярно, или не е вярно.

     Например:

     а) Неравенството е 0x > 5. Числовото неравенство 0 > 5 не е вярно. Следователно неравенството няма решение.

     б) Неравенството е 0x < 9. Числовото неравенство 0 < 9 е вярно. Следователно всяко х е решение на неравенството.

     в) Неравенството е 0x ≥ 0. Числовото неравенство 0 ≥ 0 е вярно. Следователно неравенството има решение за всяко х.

Решена Зад.№6

Ще решим Зад. 23 от изпита през 2016 г.

Т₁ – В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл.

Т₂ – В триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.

Теорема признак 1: Триъгълник със страни a, b и c съществува, ако всяка страна е по-малка от сбора на другите две.

Теорема признак 2: Триъгълник със страни a, b и c съществува, ако всяка страна е по-голяма от разликата на другите две.

Теореми свойства:

1. В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две, т.е.
   a < b + c
   b < a + c
   c < a + b.
   Бележка:

   Достатъчно е тази проверка да се направи само за най-голямата страна в триъгълника.
2. Всяка страна е по-голяма от разликата на останалите две, т.е.
   a > c – b
   b > c – a
   c > b – a.
   Бележка:

   Достатъчно е тази проверка да се направи само за най-малка страна в триъгълника.

Решена Зад.№8 и Зад.№9