Лого за уроци по математика
физика-атом

Самоподготовка по Физика
за кандидат-студенти и матура


Профилирана подготовка – Модул 1, Тема 6: Флуиди

Съдържание на темата:

  1. Понятие за флуид
  2. Механика на флуиди
    Вижте подточките
  3. Атомно-молекулен строеж на флуид
  4. Сили, действащи на частиците на флуид
  5. Движение на идеален флуид
    Вижте подточките
  6. Уравнение за непрекъснатост
    Вижте подточките
  7. Закон на Бернули
  8. Формула на Торичели
  9. Тръба на Вентури
  10. Движение на реален флуид
    Вижте подточките
  11. Ламинарно и турбулентно движение на флуид
    Вижте подточките
  12. Формула на Поазьой
  13. Движение на твърдо тяло във флуид. Закон на Стокс
    Вижте подточките

Тестови задачи от изпити:

Софийски университетМатура


Теория

I. Понятие за флуид.

В някои случаи течностите и газовете притежават общи свойства, например те заемат формата на съда и могат да текът (да не забравяме, че течностите и газовете имат и различни свойства. Например газовете нямат свой собствен обем, а заемат обема на съда, в който са поставени, докато течностите при определени външни условия (температура и налягане) заемат точно определен обем). Когато изучаваме общите свойства, течностите и газовете се наричат с общо название флуид.

II. Механика на флуиди:

Механиката на флуидите обхваща два раздела:

  • Статика на флуиди – Изучават се течностите и газовете, които са в покой (равновесие).
  • Динамика на флуиди – Динамиката на флуидите изучава особеностите при движение на флуидите.

III. Атомно-молекулен строеж на флуид.

В механиката флуидите се разглеждат като непрекъснати среди, т.е. НЕ се отчита техният вътрешен строеж. Затова под частици на флуид разбираме НЕ отделна молекула, а малки обеми от течността или газа, в който се съдържат голям брой молекули.

IV. Сили, действащи на частиците на флуид:

  • Неподвижен флуид – Ако флуидът е неподвижен, то на всеки малък обед (частица) от флуида му действат силата на тежестта G и силите на натиск (хидростатично налягане) от страна на останалата част от флуида. Да не забравяме, че в течности и газове действа и изтласкваща сила или сила на Архимед, която е следствие от различното хидростатично налягане в горната и долната повърхност на тялото.
  • Движещ се флуид – Ако два съседни слоя от флуида се движат с различни скорости, между тях възникват сили на вътрешно триене.
  • Бележка:
    Движението на флуидите се извършва под действието на тези три вида сили и затова може да приложим принципите на механиката. В повечето случай това е много трудна задача. Затова при изучаване движението на флуидите се използват опростени модели, които ще разгледаме по-надолу.

V. Движение на идеален флуид:

  • Хомогенен флуид – Флуид, чиято плътност е еднаква във всички негови точки.
  • Несвиваем флуид – Флуид, който не променя плътността си под действието на външни сили.
    Бележка:
    Въпреки че НЕ съществуват вещества, които са напълно несвиваеми, течението на много течности е такова, че изменението на плътността е много малко и може да се пренебрегне.
  • Невискозен флуид – Всички слоеве от флуида се движат с една и съща скорост, т.е. между слоевете НЕ възникват сили на триене.
  • Идеален флуид – Опростен модел на флуид, който е абсолютно несвиваем и невискозен, няма изменение на температурата на флуида, няма топлообмен между слоевете във флуида.
  • Токови линии (Фиг. 1):
    • Определение – Мислената линия, във всяка точка от която скоростта на частицата на флуида съвпада с допирателната към нея.
    • Посока на токовите линии – Посоката на токовите линии съвпада с посоката на скоростта.
    • Гъстота на токовите линии – Гъстотата на токовите линии на дадено място (т.е. броят на линиите, които преминават през повърхност с лице единица, перпендикулярна на скоростта) е пропорционална на големината на скоростта на това място.
  • Токова тръба (Фиг. 2) – Такава част от флуида, която е ограничена от токовите линии, прекарани през всички точки на даден затворен контур. Знаем, че скоростите на частиците на флуида са насочени по допирателната към токовата тръба, то те НЕ я пресичат и в токовата тръба флуидът тече така, както би текъл по гладка тръба със същата форма.
  • Стационарно движение на флуид – Движението на флуид е стационарно, ако токовите линии НЕ се изменят с течение на времето. При стационарното движение всяка частица, която преминава през произволно избрана точка от пространството има една и съща скорост, т.е. всяка частица флуид, която преминава през тази точка, има една и съща скорост. Само при стационарните движения токовите линии съвпадат с траекторията на движение на частиците.
    Бележка:
    Ние ще разглеждаме само стационарни движения на флуид.

VI. Уравнение за непрекъснатост.

На Фиг. 3 е показана много тясна токова тръба с променливо напречно сечение, по която тече идеален флуид. Произволно избираме две напречни сечения S1 и S2.

  • Пресмятаме масата на флуида преминал през сечение S1 – Частиците от флуида, които преминават през сечение S1, се движат със постоянна скорост v1 и за малък интервал от време Δt изминават път Δl1 = v1.Δt, т.е. през сечение S1 за време Δt ще премине флуид с обем V1 = S1.Δl1 = S1.v1.Δt и от познатата формула m = ρV, където ρ е плътността на несвиваемия флуид, намираме, че за време Δt през сечение S1 ще се втича флуид с маса

    Δm1 = ρ.S1.Δl1 = ρ.S1.v1.Δt.

  • Пресмятаме масата на флуида преминал през сечение S2 – Частиците от флуида, които преминават през сечение S2, се движат със постоянна скорост v2 и за малък интервал от време Δt изминават път Δl2 = v2.Δt, т.е. през сечение S2 за време Δt ще премине флуид с обем V2 = S2.Δl2 = S2.v2.Δt и от познатата формула m = ρV, където ρ е плътността на несвиваемия флуид, намираме, че за време Δt през сечение S2 ще се премине флуид с маса

    Δm2 = ρ.S2.Δl2 = ρ.S2.v2.Δt.

  • Закон за запазване на масата – Тъй като флуидът е несвиваем, от закона за запазване на масата следва, че масата на флуида преминал през сечение S1 е равна на масата на флуида преминал през сечение S2, т.е.:

    Δm1 = Δm2 ρ.S1.v1.Δt = ρ.S2.v2.Δt S1.v1 = S2.v2.

  • Уравнение за непрекъснатост – Така доказахме, че за несвиваем флуид, произведението от скоростта v на частиците в дадено напречно сечение на токовата тръба и площта S на това сечение остава постоянна по цялата дължина на тръбата, т.е.:

    (1): S.v = const (S1.v1 = S2.v2).

  • Извод от уравнението за непрекъснатост (формула 1) – От уравнението за непрекъснатост (формула 1) следва, че на местата, където токовата тръба се стеснява, скоростта на флуида нараства, а в широките части на тръбата флуидът ще се движи с по-малка скорост.

VII. Закон на Бернули

    Закон на Бернули
  • Закон на Бернули за стационарен поток на идеален флуид, течащ по токова тръба с произволна форма – На Фиг. 4 е представена токова тръба с произволна форма на стационарно движещ се идеален флуид. За малък интервал от време Δt обемът флуид, затворен между две произволно взети напречни сечения S1 и S2 на тръбата, ще се придвижи по посока на токовите линии, при което сечение S1 се премества на разстояние Δl1 = v1.Δt, а сечение S2 – на разстояние Δl2 = v2.Δt. Тъй като флуидът е несвиваем, оцветените в светлосиньо обеми от Фиг. 4 са равни. Върху целия разглеждан обем от флуида действат сила на тежестта и силата на натиск. Ако с p1 и p2 отбележим наляганията на флуида върху сеченията S1 и S2, h1 и h2 височините на токовата тръба спрямо нулевото ниво, ρ – плътността на флуида, то след прилагане на закона за запазване на енергията получаваме:

    (2): p1 + ρv12 + ρgh1 = p2 + ρv22 + ρgh2,

    където ρgh = gh е потенциалната енергия на единица обем от флуида (хидростатичното налягане), а ρv2 – кинетичната енергия на единица обем на флуида (динамичното налягане).

  • Закон на Бернули за две произволни точки, лежащи на една и съща токова линия – Сумата от статичното налягане ρ, кинетичната енергия на единица обем ρv2 (динамичното налягане) и потенциалната енергия на единица обем ρgh (хидростатичното налягане) на идеален флуид има една и съща стойност за всички точки от една токова линия (или остава постоянна величина по цялата дължина на токовата тръба), т.е.:

    (3): p + ρ v2 + ρgh = const.

    Бележка:
    Законът на Бернули (формула 2) има смисъл на закон за запазването на енергията при идеални флуиди.
  • Закон на Бернули за хоризонтална тръба – Формула (2) може да се запише и ако токовата тръба е хоризонтална. Тогава h1 = h2 и уравнение (2) добива вида:

    (4): p1 + ρv12 = p2 + ρv22.

    Бележка:
    От формула (4) следва, че, ако v1 > v2, то p1 < p2, т.е. там, където скоростта е по-голяма, налягането е по-малко и обратно. Фактът, че налягането се понижава в областите, където скоростта е по-голяма, намира приложение в различни устройства: водоструйни помпи, пулверизаторите, работата на карбуратора и др.

VIII. Формула на Торичели

Скоростта v, с която изтича една течност от отвор, който се намира на разстояние h под нивото на течността в даден съд (Фиг. 5), е

(5): v = .

IX. Тръба на Вентури

Закона на Бернули намира приложения при измерване скоростта v на флуид с плътност ρ, който тече по хоризонтална тръба 1 (тръбопровод). За целта се използва така наречената тръба на Вентури. Опростена схема на такъв уред е показана на Фиг. 6. По дължината на тръбопровода се монтира специален участък с две различни по големина калибрирани сечения S1 и S2. В тези две сечения се измерва статичното налягане p1 и p2.

Тръба на Вентури

Нека сечението S1 е равно на сечението на тръбопровода 1, тогава скоростта v1 ще е равна на търсената скорост v в тръбопровода 1. От уравнението за непрекъснатост (формула 1) се определя, че скоростта v2 в тясната тръба 2 ще е v2 = v1 и я заместваме в уравнението на Бернули (формула 4):

p1 + .

От това уравнение получаваме търсената скорост v = v1 на флуида в хоризонталната тръба 1:

X. Движение на реален флуид:

  • Реален флуид – Движещ се флуид, при който между слоевете му възникват сили на вътрешно триене.
  • Сили на вътрешно триене – Когато два слоя от реален флуид се движат един спрямо друг, между тях възникват тангенциални сили на взаимодействие, които се стремят да забавят слоя, движещ се с по-голяма скорост, и да ускорят слоя с по-малка скорост. Възникването на силите на вътрешно триене се обяснява с това, че движещите се с различни скорости слоеве обменят молекули. При това тези от по-бързо движещия се слой предават на по-бавния определен импулс, вследствие на което последният започва да се движи по-бързо. Молекулите от по-бавния слой пък получават от по-бързия слой определен импулс, което води до неговото забавяне.
  • Закон на Нютон – На Фиг. 7 са показани две еднакви успоредни пластинки, всяка с площ S, разделени от тънък слой флуид. Долната пластинка е неподвижна (v = 0), а върху горната пластинка действа външна сила и тя ще се движи спрямо долната със скорост v. Разликата в големините на скоростите на двете пластинки е Δv = v – 0 = v. Опитът показва, че за такова движение на горната пластинка е необходимо от страна на най-близкия до нея слой да ѝ действа сила с големина F = f, която е правопропорционална на площта S на пластинките и на разликата Δv в техните скорости, и е обратнопропорционална на разстоянието Δy между двете пластинки:

    (7): F = ηS .

    Силата F се нарича сила на вътрешно триене, а уравнението от формула (7) представлява законът на Нютон за силата на вътрешно триене.

    Тъй като частиците на флуида, които са в непосредствена близост до пластинките, прилепват към тях, законът на Нютон всъщност изразява тангенциалната сила на взаимодействие между два съседни слоя на флуида, които се движат с различни скорости. Тази скорост може да се разглежда като линейна скорост (Фиг. 7).

  • Вискозитет:
    • Определение – Във формула (7) коефициентът на пропорционалност η се нарича коефициент на вътрешно триене (или вискозитет) на флуида. Например маслата имат голям вискозитет, а водата – малък. Газовете имат много малък вискозитет.
    • От какво зависи вискозитета – Вискозитетът зависи от вида на флуида и от температурата. Например при повишаване на температурата вискозитетът η на течностите намалява, докато този на газовете нараства.
    • Мерна единица за вискозитет – Тя се получава от закона на Нютон (формула 7) и е паскал по секунда:

      (8): = Pa.s (паскал по секунда).

    • Градиент на скоростта – Във формула (7) величината се нарича градиент на скоростта. Градиентът на скоростта характеризира бързината, с която се изменя скоростта в дадено направление (направление y – направлението, в което скоростта се променя най-бързо).
    • Нютонови флуиди – Флуиди, за които е в сила закона на Нютон (формула 7). При нютоновите флуиди вискозитетът η е константа и НЕ зависи от приложените към флуида сили (механичните напрежения). Примери за нютонови флуиди са водата и въздухът.
      Бележка:
      При ненютоновите флуиди вискозитетът зависи от силите (напреженията). Например смес от нееднородни течности, кетчуп, шампоан, паста за зъби и др. Кръвта също е ненютонов флуид.

XI. Ламинарно и турбулентно движение на флуид:

  • Ламинарно движение:
    • Определение – Движение, при което частиците на флуида остават в отделни слоеве, които не се смесват помежду си, т.е. флуидът се движи ламинарно, ако се движи на слоеве.
    • Кога се наблюдава ламинарно движение – Името произлиза от латинската дума lamina, която означава „пластинка, плоскост, слой“. За да се наблюдава ламинарно движение скоростта на флуида в дадена тръба трябва да е малка.
    • Картина на токовата тръба при ламинарно движение – Ламинарното движение е стационарно, т.е. то е устойчиво и картината на токовите линии НЕ се променя с течение на времето.
    • Обяснение на ламинарното движение – Когато идеален флуид се движи по тръба с постоянно сечение (Фиг. 8 – а), скоростта на флуида е една и съща по цялото сечение.

      Когато вискозен флуид тече по цилиндрична тръба (Фиг. 8 – б), частиците на флуида, които са в контакт със стените на тръбата, полепват по нея и са неподвижни. Ако мислено разделим флуида на тънки цилиндрични слоеве, те ще се хлъзгат един спрямо друг, движейки се с различни скорости. Колкото по-далече се намира един слой от стените на тръбата, толкова по-голяма е неговата скорост. Максимална е скоростта vmax на частиците, които се движат в слой по оста на тръбата.

    • Закон за изменение на скоростта на вискозен флуид – Ако имаме ламинарно движение на вискозен флуид по дълга цилиндрична тръба, която има радиус R, то скоростта v на флуида на разстояние r от оста на тръбата, е:

      (9): v = vmax .

    • Средна скорост – Важна характеристика на движението на флуид е неговата средна скорост vср. Средната скорост vср. е равна на такава постоянна скорост, еднаква за всички частици на флуида, при която през напречното сечение на тръбата за единица време би преминал същият обем флуид, както при реалното движение на флуид, за което отделните слоеве се движат с различни скорости.

      Доказва се, че за ламинарно движение по цилиндрична тръба средната скорост е два пъти по-малка от максималната скорост, т.е.:

      (10): vср. = vmax.

  • Турбулентно движение:
    • Определение – Движение, при което частиците на флуида се движат по сложни, пресичащи се траектории, които непрекъснато се изменят с времето.
    • Кога се наблюдава турбулентно движение – При достатъчно големи скорости на флуидите слоевете (от ламинарното движение) започват да се смесват и движението се превръща в турбулентно. При турбулентното движение ролята на вътрешното триене намалява.
    • С какво се характеризира турбулентното течение (движение) – Турбулентните течения се характеризират с по-големи загуби, спрямо ламинарните. Освен, че се отделя топлина в резултат от вътрешното триене, при турбулентните течения се излъчват звукови вълни, т.е. такова движение може да се съпровожда от звуков шум.
    • Критична скорост – Скоростта, при която ламинарното движение преминава в турбулентно.
    • Число на Рейнолдс – Английският физик Рейнолдс предложил критерий, посредством който може да се определи дали течението на един флуид е ламинарно или турбулентно. Той е въвел безразмерната величина:

      (11): Re = .

      Както се вижда от формула (11) числото на Рейнолдс Re зависи от плътността ρ на флуида, от неговата средна скорост vср., от радиуса R на тръбата (когато тя е цилиндрична) и от вискозитета η на флуида.

      За всяко течение на флуид по тръба съществува критична стойност на числото на Рейнолдс, под която течението е ламинарно, а над нея – турбулентно. Критичната стойност на числото на Рейнолдс обикновено се определя експериментално. Ако имаме течение на вода по кръгла цилиндрична тръба, то критичната стойност на числото на Рейнолдс е приблизително равна на 2200.

XII. Формула на Поазьой.

Обемът вискозен флуид (обемният поток Q), преминал през напречното сечение на цилиндрична тръба, е пропорционален на разликата в налягането Δp в двата края на тръбата и четвъртата степен на нейния радиус R и обратно пропорционален на дължината L на тръбата и на вискозитета η на флуида:

(12): Q = .

Формулата на Поазьой е установена опитно и е в сила за ламинарен поток, но с приближение може да се прилага и за някои турбулентни движения на флуид, например за движението на кръвта в кръвоносната система на човека и животните.

Бележка:
От формулата (12) се вижда, че обемният поток Q силно зависи от радиуса R на тръбата (имаме R4). Тази силна зависимост на Q от R дава възможност чрез съкращаване на мускулите, обвиващи кръвоносните съдова, лесно да се регулира потокът на кръвта.

От друга страна, например поради атеросклерозата еластичността на кръвоносните съдове се намалява, а отлагането на холестерол върху стените им води до намаляване на техния вътрешен радиус. За да се поддържа нормално кръвообращение, трябва да се увеличи разликата в налягането , което води до претоварване на сърцето.

XIII. Движение на твърдо тяло във флуид. Закон на Стокс:

  • Закон на Стокс:
    • Определение – Големината на силата на вътрешно триене Fc е правопропорционална на скоростта v на тялото и на вискозитета η на флуида и зависи от размерите и формата на тялото.
    • Формула – За сферично тяло с радиус r, което се движи със скорост v във флуид с вискозитет η, силата на вътрешно триене Fc е равна на:

      (13): Fc = 6πηrv.

    • Кога се прилага закона на Стокс – Тази сила на вътрешно триене действа на тяло, което се движи с не големи скорости във флуида.
    • Приложения на закона на Стокс – Законът на Стокс има разнообразни приложения. Например, ако частица свободно пада във вискозна среда, то може да се изчисли постоянната скорост, която тя ще достигне при това си падане (ще я изчислим по-надолу). Освен това, ако се измери тази постоянна скорост, то може да се определи радиусът r на частицата (прашинка, капка или др.) и вискозитетът η на флуида.
  • Челно съпротивление.

    Когато тяло се движи във флуид, възниква сила на челно съпротивление (изпитва съпротивление), която е насочена в противоположна на скоростта на тялото посока и се стреми да забави движението му.

    • Причини за възникване на челно съпротивление:
      • Съществуването на вътрешно триене (тангенциалните сили на вътрешно триене) – Когато тялото се движи с малки скорости вискозитетът на флуида се проявява непосредствено чрез вътрешното триене. Слоят на флуида, който се намира непосредствено до тялото, прилепва до него и се движи заедно с него. Съседният слой се движи с различна от нула скорост спрямо тялото, а по-отдалечените слоеве се движат с все по-големи скорости. На движещите се един спрямо друг слоеве действат сили на вътрешно триене, а те противодействат на тялото със сила, която е една от причините за челното съпротивление. В този случай силата на челно съпротивление се намира от закона на Стокс.
      • При увеличаване на скоростта на тялото вискозитетът започва да определя челното съпротивление. Най често това се изразява чрез появата на вихри зад движещото се тяло. Част от механичната енергия на тялото преминава в енергия на вихрите, а тя под действие на силите на триене се превръща във вътрешна енергия на средата.
    • Формула за челно съпротивление – Нютон експериментално е установил, че големината на силата на челно съпротивление Fx е пропорционална на квадрата на скоростта v на тялото:

      (14): Fx = CxρSv2,

      където: ρ – плътността на флуида, S – площта на напречното сечение на тялото с равнина, перпендикулярна на неговата скорост, Cx – коефициент на челно съпротивление (безразмерен числов коефициент), чиято стойност зависи от формата на тялото. Тела със заоблена и удължена форма имат малък коефициент на челно съпротивление Cx, а тела с остри ръбове имат големи стойности на Cx.

  • Подемна сила – Подемната сила възниква при движение на несиметрично тяло, например крило на самолет. При движението на въздуха около крилото се увеличава скоростта на въздуха над крилото и се намалява скоростта му под крилото. Това води (от закона на Бернули) до разлика в налягането под и над крилото. Под крилото налягането е по-голямо. Тази разлика в наляганията обуславя появата на вертикална (подемна) сила Fy. Големината на подемната сила се намира по подобна формула на формулата за челно съпротивление (формула 14):

    (15): Fy = CyρSv2,

    където Cy е коефициент на подемната сила (безразмерен числов коефициент), чиято стойност зависи от формата на крилото и неговата ориентация.

  • Определяне скоростта на сферично тяло, падащо с постоянна скорост във флуид.

    Нека да имаме сферична прашинка с радиус r и плътност ρ, която да пада с постоянна скорост v0 във въздух с плътност ρ0 и вискозитет η (Фиг. 9). На прашинката действат три сили:

    Бележка:
    Тук НЕ отчитаме действието на изтласкващата сила, защото плътността на въздуха ρ0 е много по-малка от плътността на прашинката ρ. Ако прашинката пада във водна среда, изтласкващата сила играе много важна роля.

    Големините на силите G и FA НЕ зависят от скоростта. Само големината на силата на вътрешно триене Fc зависи пропорционално от скоростта v. Отначало скоростта v на прашинката нараства, докато достигне максималната си скорост v0, когато равнодействащата на трите сили стане равна на нула. След това прашинката ще пада с постоянна скорост v = v0 = const (ще се движи равномерно). Като отчетем посоките на силите, може да запишем II принцип на механиката:

    (16): G – FA – Fc = 0 ρπr3g – ρ0πr3g – 6πηrv0 = 0.

    От това уравнение може да определим постоянната скорост v0 на прашинката:

    (17): v0 = .

    Бележка:
    Ако знаем постоянната скорост v0, то от уравнение (16) може да се определи вискозитета η на флуида или радиуса r на прашинката.
  • Вискозитет на кръвта: Скорост на утаяване на еритроцитите – За медицински изследвания и диагностика се използва метод, които се нарича скорост на утаяване на еритроцитите (СУЕ). Когато кръвната плазма е неподвижна, поради по-голямата плътност на кръвните клетки (еритроцити), те започват да се утаяват. Един еритроцит се разглежда като малко сферично тяло с плътност ρe, а плътността на кръвната плазма е ρк. Във формула (17) заместваме ρ = ρe и ρ0 = ρк, и получаваме формула, с която определяме скоростта v0 на утаяване на еритроцитите (СУЕ):

    (18): v0 = .

    Бележка:
    Ускорено утаяване на еритроцитите се наблюдава при всички състояния, съпровождащи се с възпаление, деструкция на съединителната тъкан, тъканни некрози, малигнни процеси, имунни нарушения и др.

    Обикновено се следи скоростта, с която се движи разделителната повърхност между формените елементи на кръвта и кръвната плазма, а не на отделен еритроцит. Колкото е по-голям вискозитетът на кръвта, толкова (СУЕ) ще бъде по-малка.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

Реклама


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама