Логаритмични уравнения. Логаритмични неравенства

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Логаритмични уравнения и неравенства

Съдържание на темата:

Логаритмична функция.
Графика на логаритмичната функция.
Свойства на логаритмичната функция.
Логаритмични уравнения.
Начини за решаване на логаритмични уравнения.
Логаритмични неравенства.
Начини за решаване на логаритмични неравенства.

ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНССТест върху логаритъм

Теория

I. Логаритмична функция

О – Функция от вида y = log_ax, където a е положително число, различно от 1, а x – променлива по – голяма от 0, се нарича логаритмична функция, т.е.
(1): y = log_a x, ДМ:
Като имаме предвид формула (11) се оказва, че логаритмичната функция е обратна на показателната функция.

II. Графика на логаритмична функция

На Фиг. 1 са представени графиките на обратните функции: y = a^x и y = log_ax, когато a > 1.
На Фиг. 2 са представени графиките на обратните функции: y = a^x и y = log_ax, когато 0 < a < 1.
Виждаме, че те са симетрични спрямо ъглополовящата на I и III квадрант.

III. Свойства на логаритмична функция

Свойство 1 – Графиката на функцията минава през точките с координати: (1; 0) и (a; 1), т.е. log_a1 = 0 и log_aa = 1.
Свойство 2 – Графиката е разположена в I и IV квадрант ("надясно" от оста Oy) т.е.,
x > 0.
Свойство 3 – Ако a (0; 1), то логаритмичната функция е намаляваща (Фиг. 2), като:
- При 0 < x < 1 log_ax > 0, т.е. стойностите на функцията са положителни (графиката е над абсцисната ос).
- При x > 0 log_ax < 0, т.е. стойностите на функцията са отрицателни (графиката е под абсцисната ос);
- Най-голямата и най-малка стойност на функцията в даден интервал [p; q] се намира от
  (2):
Свойство 4 – Ако a (1; +∞), то логаритмичната функция е растяща (Фиг. 1), като:
- При 0 < x < 1 log_ax < 0, т.е. стойностите на функцията са отрицателни (графиката е под абсцисната ос).
- При x > 1 log_ax > 0, т.е. стойностите на функцията са положителни (графиката е над абсцисната ос).
- Най-голямата и най-малка стойност на функцията в даден интервал [p; q] се намира от
  (3):
  Бележки:
  1. Формулите от (4) до (14) са в сила, когато: A>0 (в (5) и (11) A≠1), B>0, a>0 и a≠1, b>0 и b≠1.
  2. Основната формула за смяна на основата (4) често се използва и във вида
    (4.1): log_ba.log_aA = log_bA.
  3. Формула (6) може да се запише за всяко А:
    (6.1): log_a Aⁿ = n.log_a |A|.
Свойство 5 – Всяка права успоредна на оста Ох пресича графиката на функцията
y = log_ax само в една точка. Следователно логаритмичната функция е обратима.

IV. Логаритмични уравнения

О – Уравнение, в което неизвестното се намира под знака на логаритъм, се нарича логаритмично уравнение.

V. Начини за решаване на логаритмични уравнения

(16): log_af(x) = b a^b = f(x), където ДМ:
(17): log_af(x) = log_ag(x) f(x) = g(x), където ДМ:

Бележка:
При решаването на уравнения (16) и (17) може и да не се търси ДМ, но при намирането на корените задължително се проверява кои от тях са решение на даденото уравнение.

VI. Логаритмични неравенства

О – Неравенство, при което неизвестното се намира под знака на логаритъм, се нарича логаритмично неравенство.

VII. Решаване на логаритмични неравенства

(18): Неравенство от вида log_af(x) < b, където ДМ:
Решаването му зависи от вида на основата:
Ако 0 < a < 1, то от log_a f(x) < b следва f(x) > a^b, т.е. знакът на неравенството се променя.

Ако a > 1, то от log_a f(x) < b следва f(x) < a^b, т.е. знакът на неравенството не се променя.
(19): Неравенство от вида log_af(x) < log_ag(x), където ДМ:
Решаването му зависи от вида на основата:
Ако 0 < a < 1, то от log_a f(x) < log_a g(x) следва f(x) > g(x), т.е. знакът на неравенството се променя.

Ако a > 1, то от log_a f(x) < log_a g(x) следва f(x) < g(x), т.е. знакът на неравенството не се променя.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура