Логаритмични уравнения. Логаритмични неравенства

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте Свойство 3 на Логаритмичната функция.

Дадената функция е логаритмична с основа a = 0 < a < 1, т.е. функцията y е намаляваща. Затова ще използваме (2) от Свойствата на Логаритмичната функция и ще я изследваме за най-малката стойност в интервала на ДМ.

Намираме ДМ.: –x² + 4x – 3 > 0 x (1; 3).
Полагаме f(x) = –x² + 4x – 3. Графиката на тази функция е парабола с върха нагоре (защото a = – 1). Затова максималната ѝ стойност е във върха на параболата, т.е. при x_v = и затова имаме
.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формула (16) от Логаритмични уравнения и неравенства.

Намираме Дефиниционното множество
ДМ: 4x – x² > 0 x (0; 4).
Решаваме логаритмичното уравнение по формула (16):
log_0,5 (4x – x²) = – 2 4x – x² = x² – 4x + 4 = 0 (x – 2)² = 0 x = 2.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходяща формула от формули (4) до (14).

Намираме Дефиниционното множество
ДМ: (x² – 4)² > 0 x_1/2 ≠ ± 2.
Решаваме логаритмичното уравнение по формула (16):
log₃ (x² – 4)² = 2 (x² – 4)² = 3² (x² – 7)(x² – 1) = 0

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формули от (4) до (11), за да преобразувайте даденото уравнение до уравнение от вида (17).

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формули от (5) до (7), за да определите основата на всички логаритми да е равна на 3.
Положете log₃x = y ≠ 0 и решете полученото квадратно уравнение.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Преобразувайте даденото уравнение с помоща на формулите (13) и (6) до уравнение от вида (16).

Намираме Дефиниционното множество:
ДМ: x (0; +∞).
Използваме формули (13) и (6), за да преобразуваме логаритмичното уравнение до уравнение от вид (16):
log₅ 5 + log₅ x = 5log₅ x – 1 5log₅ x – log₅ x = 1 + 1 log₅ x = x = x = .

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Преобразувайте даденото логаритмично уравнение до квадратно и разгледайте случаите:

Квадратното уравнение да има един корен.
Квадратното уравнение да има два корена, като числото – 1 е между тях.

ДМ_a:
Решаваме даденото уравнение: lg(ax) = 2lg(x + 1) lg(ax) = lg(x + 1)² ax = (x + 1)², т.е. получаваме квадратното уравнение
(А): f(x) = x² – (a – 2)x + 1 = 0.
Даденото уравнение ще има точно едно решение, когато квадратното уравнение (А) има:
1. едно решение – Това е възможно при
  - D = (a – 2)² – 4 = a² – 4a = 0; a₁ = 0, a₂ = 4
  - При a₁ = 0 не е изпълнено ax>0, следователно a₁ = 0 не е решение на даденото уравнение;
  - При a₂ = 4 е изпълнено ax>0. Тогава даденото уравнение има вида
    lg(4x) = lg(x + 1)
    и има точно един корен, който е x = 1, следователно a₂ = 4 е решение на даденото уравнение.
2. има две решения, но единият корен е по-малък от – 1, т.е. числото – 1 е между двата корена. Това е възможно, когато е изпълнено 1.f(– 1) < 0 (– 1)² – (– 1)(a – 2) + 1 < 0 1 + a – 2 + 1 < 0 a < 0.
От (1) и (2) следва, че даденото уравнение има точно едно решение при
a (– ∞; 0) {4}.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Преобразувайте даденото логаритмично неравенство до неравенство от вида (18).

Намираме Дефиниционното множество.
ДМ: .
Преобразуваме даденото неравенство използвайки свойствата на логаритмите и получаваме логаритмично неравенство с основа по-голяма от 1. Затова използваме формула (18)
> 0 (11 – 15x)(2x – 1) > 0
x ДМ.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Решението започнете от най–външния логаритъм, като приложите формула (18).

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Разгледайте случайте:

Когато основата е между нула и единица.
Когато основата е по-голяма от единица.

Намираме Дефиниционното множество:
ДМ: > 0 (2x + 4)(x – 1) > 0 x (–∞; –2) (1; +∞).
Основата зависи от неизвестното, затова разглеждаме два случая:
От (1) и (2) следва, че решенията на даденото неравенство са x (1; 4].