Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия
Съдържание на темата:
I. Линейно независими вектори
Решени задачи
- Зад. №1:
- (Матура-профил, 26.05.2022): Векторите са линейно независими. Да се намери стойността на x, за която векторите и са колинеарни.
- Векторите са колинеарни, ако съществува число λ, такова че да е изпълнена формула (1):
- От определението за линейно независими вектори (формула 3) следва, че това равенство е изпълнено, ако имаме системата:
- Зад. №2:
- а) Векторите са линейно независими. Да се намерят числата x, y и z, така че да имаме .
б) Векторите са линейно независими. Да се намерят числата x, y и z, така че сборът на векторите да бъде равен на .
а)
- В равенството заместваме с дадените вектори:
- Използваме определението за линейно независими вектори (формула 3) и намираме, че x = – 2, y = – 1, z = 3.
б)
- Изпълняваме условието и заместваме с дадените вектори:
- Използваме определението за линейно независими вектори (формула 3) и намираме, че x = 4, y = – , z = 3.
II. Действия с вектори
Решени задачи
- Зад. №1:
- Дадени са векторите , за които = 3 и = 45°. Да се намери дължината на вектора .
- Използваме формула от скаларно произведение на вектор (формула 9):
- Използваме формула от скаларно произведение на вектор (формула 7) и Таблица 1:
- Използваме формула от скаларно произведение на вектор (формула 10) и формула (2) за съкратено умножение:
III. Операции с вектори, зададени с координати
Решени задачи
- Зад. №1:
- Даден е триъгълник с върхове A (3; – 4), B (3; 1) и C (15; – 4). Да се намерят:
а) Координатите на векторите: .
б) Дължините на страните на ΔABC.
в) Косинусите на ъглите на триъгълника.
а) Използваме Координати на вектор в равнината (формула 13):
- (3 – 3; 1 + 4) (0; 5).
- (15 – 3; – 4 – 1) (12; – 5).
- (15 – 3; – 4 + 4) (12; 0).
б) Използваме Дължина на отсечка (формула 21):
в) Използваме Координати на косинуса на ъгъла между два вектораи (формула 22) и полученото в подточки а) и б):
- Зад. №2:
- Дадени са точките A (2; 4), B (6; 8) и C (11; 13).
а) Да се намери отношението, на което т. B дели отсечката AC.
б) Да се намери отношението, на което т. C дели отсечката AB.
в) Да се докаже, че тези точки лежат на една права.
а) Използваме Делене на отсечка в дадено отношение (формула 26):
- Използваме формулата за Координати на вектор в равнината (формула 13):
(6 – 2; 8 – 4) (4; 4).
(11 – 6; 13 – 8) (5; 5).
- Използваме формулата за Дължина на отсечка (формула 21):
- Използваме формулата за Делене на отсечка в дадено отношение (формула 26):
- Така доказахме, че съществува число λ = , на което т. B дели отсечката AC (като т. В е между точките А и С).
б) По аналогичен начин:
- Използваме (формула 13):
(11 – 2; 13 – 4) (9; 9).
(6 – 11; 8 – 13) (– 5; – 5).
- Използваме (формула 21):
- Използваме (формула 26):
- Така доказахме, че съществува число λ = , на което т. C дели отсечката AB (като т. С е извън точките А и В, и то от страната на т. В).
в) В подточка а) и б) доказахме, че за дадените три точки съществува число, за което е изпълнена формула (26), т.е. дадените три точки лежат на една права.
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година: