Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия
Съдържание на темата:
I. Аналитична геометрия – Окръжност
Решени задачи
- Зад. №1:
- Окръжност k с уравнение 2x2 + 2y2 + 4x – 12y + 14 = 0 минава през точка A (– 3; 4).
а) Намерете координатите на центъра и радиуса на окръжността k, и напишете нормалното ѝ уравнение.
б) Намерете нормалното уравнение на окръжност k1, която е концентрична на дадената окръжност.
в) Намерете координатите на пресечните точки на окръжността k1 с абсцисната ос и ординатната ос.
а) Използвайте формули от уравнение на окръжност (формула (2) и (3)).
б) Използвайте определението за концентрични окръжности и полученото в подточка а).
в) Използвайте това, че окръжността ще пресече абсцисната ос в точка с y координата равна на нула, а ординатната ос – в точка с x координата равна на нула.
а)
- Освобождаваме се от коефициентите пред най-високите степени на неизвестните:
2x2 + 2y2 + 4x – 12y + 14 = 0 | : 2 x2 + y2 + 2x – 6y + 7 = 0.
- Съпоставяме това уравнение с уравнението на окръжност от формула (3) и намираме:
- 2 = – 2α α = – 1.
- – 6 = – 2β β = 3.
- 7 = α2 + β2 – R2 = (– 1)2 + 32 = R2 R2 = 3, т.е. R = .
- Така намерихме, че дадената окръжност k е с център O (– 1; 3) и радиус R = .
- Заместваме във формула (2) и получаваме нормалното уравнение на дадената окръжност
k: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 3.
б)
- От определението за концентрични окръжности следва, че щом k1 и k са концентрични, то те имат един и същи център, т.е. окръжността k1 има център O (– 1; 3).
- Заместваме във формула (2) и намираме нормалното уравнение на окръжността k1:
k1: (x + 1)2 + (y – 3)2 = R2.
- Радиусът R на k1 го намираме от условието, че A (– 3; 4) k1:
k1: (– 3 + 1)2 + (4 – 3)2 = R2 R2 = 5.
- Записваме отговора:
k1: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 5.
в)
- Намираме пресечните точки на окръжността k1 с абсцисната ос Ox – Абсцисната ос Ox има уравнение y = 0. Решаваме системата от формула (6):
x2 + 2x + 5 = 0.
Това квадратно уравнение няма решение, защото D < 0, т.е. окръжността k1 НЕ пресича абсцисната ос.
- Намираме пресечните точки на окръжността k1 с ординатната ос Oy – Ординатната ос Oy има уравнение x = 0. Решаваме системата от формула (6):
y2 – 6y + 5 = 0.
Това квадратно уравнение има решение y1 = 1 и y2 = 5, т.е. окръжността k1 пресича ординатната ос в две точки (Фиг. Зад. 1): P (0; 1) и Q (0; 5).
- Зад. №2:
- Дадените уравнения са съответно на окръжност и права. Да се намерят общите им точки или да се докаже, че няма такива:
а) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 1 и x – 2y – 3 = 0.
б) (x + 3)2 + (y – 5)2 = 13 и 2x – 3y = – 8.
в) (x – 2)2 + 4(y – 1)2 = 1 и x – y + 2 = 0.
а)
- Използваме системата от Общи точки между права и окръжност (формула 6) и я решаваме чрез заместване:
- Правата пресича окръжността в две точки с координати и (1; – 1), т.е. правата е секуща на окръжността.
б)
- Отново решаваме системата чрез заместване:
- Правата пресича окръжността в една точка с координати (3; 2), т.е. правата е допирателна на окръжността.
в)
- Отново решаваме системата чрез заместване:
- Това квадратно уравнение няма решение, защото D < 0, т.е. правата и окръжността нямат общи точки или правата е външна на окръжността.
- Зад. №3:
- (Матура-профил, 26.05.2023): В правоъгълна координатна система Oxy е дадена окръжност с център O1 с координати O1 (1; 2). Точка B с координати B (5; – 1) лежи на окръжността. Правата с уравнение y = 3x + 4 пресича окръжността в точки A и C, като точката C лежи в първи квадрант.
а) Определете координатите на точки A и C.
б) Определете скаларното произведение и големината на BCA.
а)
- Намерете уравнението на окръжността.
- Използвайте Зад. 2, за да намерите координатите на точките.
б) Използвайте формула от Координати на скаларно произведение (формула 18) и формула от Координати на косинуса на ъгъла между два вектора (формула 22).
а)
- Точка O1 (1; 2) е център на окръжността и от уравнението на окръжността (формула 2) получаваме:
k: (x – 1)2 + (y – 2)2 = R2.
- Ще намерим R по два начина:
I начин: Точка B (5; – 1) лежи на окръжността и заместваме с нейните координати:
(5 – 1)2 + (– 1 – 2)2 = R2 R2 = 25 R = 5.
II начин: Използвайте формула от Дължина на отсечка (формула 21):
- Тогава уравнението на окръжността е:
k: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25.
- Използваме системата от Общи точки между права и окръжност (формула 6) и я решаваме чрез заместване:
- По условие т. С лежи в първи квадрант, т.е. координатите на търсените точки са A (– 2; – 2) и С (1; 7).
б)
- Използваме формула от Координати на вектор в равнина (формула 13), за да намерим координатите на вектора :
- По подобен начин намираме координатите на вектора :
(xB – xC; yB – yC) (5 – 1; – 1 – 7) (4; – 8).
- Използваме формула (18), за да намерим координатите на скаларното произведение:
– 3.4 + (– 9).(– 8) = 60.
- Т.е. 60.
- Използваме формула (22):
II. Аналитична геометрия – Елипса
Решени задачи
- Зад. №1:
- Дадена е права с уравнение y = 2x – 9. Намерете пресечните точки на тази права с елипсата = 1.
- Координатите на всяка обща точка на две линии са решения на системата от уравненията на двете линии, т.е. изпълняват уравненията и на двете линии.
- Решаваме системата:
13x2 – 108x + 207 = 0 x1 = 3, y1 = – 3,
- Пресечните точки на правата с елипсата имат координати (3; – 3) и .
III. Аналитична геометрия – Хипербола
Решени задачи
- Зад. №1:
- а) Намерете уравнението на хипербола с реална ос Ox, имагинерна ос Oy и която минава през точките A (– 6 ; 3) и B (3; – 1,5).
б) Намерете дължините на осите, фокусното разстояние и ексцентрицитета на хиперболата.
в) Намерете уравненията на асимптотите на хиперболата.
г) Намерете пресечните точки на хиперболата с окръжността k: x2 + y2 = 6.
а) Използвайте формула от Канонично уравнение на хипербола (формула 15).
б) и в) Използвайте подходящи формули от Елементи на хипербола.
г) Използвайте упътването на Зад. 1.
а)
- Преобразуваме формула от Канонично уравнение на хипербола (формула 15) до вида:
b2x2 – a2y2 = a2b2.
- От условието, че хиперболата минава през точките A (– 6 ; 3) и B (3; – 1,5), т.е. координатите им изпълняват горното уравнение, съставяме системата и я решаваме:
- Заместваме във формула (15) и получаваме уравнението на хиперболата:
= 1.
б)
- В подточка а) за хиперболата получихме, че a = 6 и b = 3.
- От формула (14) получаваме:
c2 = a2 + b2 = 36 + 9 = 45 c = .
- Намираме реалната ос:
A1A2 = 2a = 2.6 = 12.
- Намираме имагинерната ос:
B1B2 = 2b = 2.3 = 6.
- Намираме фокусното разстояние:
F1F2 = 2c
- Намерете ексцентрицитета:
e = .
в) Използваме формула (13) и полученото в подточка б):
- n: y
- m: y = – x.
г) Координатите на всяка обща точка на две линии са решения на системата от уравненията на двете линии, т.е. изпълняват уравненията и на двете линии.
- Решаваме системата:
- Т.е. дадените хипербола и окръжност нямат обща точка.
Върни се нагоре Начало Предходен
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година: