I начин: Използваме описаните стъпки за изследване на функция:

1. Намираме Дефиниционното множество (ДМ) на квадратна функция:

   ДМ: x (– ∞; + ∞).

2. Изследваме за:
   1. четност или нечетност – Използваме правилото за четност или нечетност:

      f (– x) = (– x)² – 2.(– x) – 3 = x² + 2x – 3 ≠ f (x),

      т.е. f (x) е нито четна, нито нечетна.

   2. периодичност – Нека главният период да е P, тогава:

      f (x + P) = (x + P)² – 2.(x + P) – 3 ≠ f (x),

      т.е. f (x) е непериодична.

3. Изследваме функцията в краищата на ДМ, т.е. изследваме за асимптоти – Намираме границата на f (x) в краищата на ДМ:

   

   т.е. f (x) няма асимптоти.

4. Намираме първата производна и евентуалните екстремуми:

   f ' = 2x – 2.

   1. Решаваме неравенството, за да определим интервалите, при които функцията расте:

      f ' (x) > 0 2x – 2 > 0 x > 1,

      т.е. при x (1; + ∞) функцията f (x) е растяща.

   2. Решаваме неравенството, за да определим интервалите, при които функцията намалява:

      f ' (x) < 0 2x – 2 < 0 x < 1,

      т.е. при x (– ∞; 1) функцията f (x) е намаляваща.

   3. Намираме локалните екстремуми – От стъпки (4.1) и (4.2) следва, че при x = 1 производната f ' (x) сменя знака си (или функцията f (x) от намаляваща се превръща в растяща), т.е. при x = 1 функцията f (x) има локален минимум. Намираме стойността на f (x) в този минимум:

      f_min = f (1) = 1² – 2.1 – 3 = – 4,

      т.е. функцията f (x) има минимум в точка V (1; – 4).

5. Намираме втората производна

   f '' = 2 > 0.

   1. От f '' > 0 следва, че f (x) е изпъкнала функция за всяко x принадлежащо на ДМ и няма инфлексна точка.
   2. Намираме НМС (най-малката стойност) и НГС (най-голямата стойност) – Използваме Свойство 3 на квадратна функция (за улеснение НЕ използваме втората производна, а свойствата на квадратна функция). Старшият коефициент на квадратната функция f (x) е положителен (a > 0), т.е. f (x) има НМС в точката на минимума (x = 1), но няма НГС.



6. Съставяме таблица:
   1. Резултатите от изпълнението на горните стъпки подреждаме в таблица.
   2. Намираме пресечните точки на параболата с координатните оси:
      • Оста Ox – решаваме уравнението f (x) = 0 и получаваме, че точките са A (– 1; 0) и B (3; 0).
      • Оста Oy – при x = 0 получаваме y = – 3, т.е. точката е C (0; – 3).
7. Начертаваме графиката на функцията – Тя е представена на Фиг. Зад. 1.

II начин: Използваме свойствата на квадратна функция:

1. Върхът на параболата е надолу, защото старшият коефициент е положителен (a = 1 > 0).
2. Намираме координатите на върха V на параболата (от Свойство 1):

   x_v = = 1, y_v = 1² – 2.1 – 3 = – 4,

   т.е. върхът на параболата има координати V (1; – 4).

3. Намираме пресечните точки на параболата с координатните оси – От (I начин) получихме, че това са точките A (– 1; 0), B (3; 0) и C (0; – 3).
4. Начертаваме параболата – Тя е представена на Фиг. Зад. 1.

Използваме описаните стъпки за изследване на функция:

1. Намираме Дефиниционното множество (ДМ) на биквадратната функция f (x):

   ДМ: x (– ∞; + ∞).

2. Изследваме за:
   1. четност или нечетност – Използваме правилото за четност или нечетност:

      f (– x) = 0,5(– x)⁴ – 4.(– x)² + 5 = 0,5x⁴ – 4x² + 5 = f (x),

      т.е. f (x) е четна

      Бележка:

      Доказахме, че функцията f (x) е четна, т.е. графиката ѝ е симетрична спрямо ординатната ос Oy и може да продължим изследванията само при неотрицателни стойности на аргумента x. За по-голяма прегледност, ще направим изследванията за всяко x (цялото ДМ).
   2. периодичност – Нека главният период да е P, тогава:

      f (x + P) = 0,5(x + P)⁴ – 4.(x + P)² + 5 ≠ f (x),

      т.е. f (x) е непериодична.

3. Изследваме функцията в краищата на ДМ, т.е. изследваме за асимптоти – Намираме границата на f (x) в краищата на ДМ:

   

   т.е. f (x) няма асимптоти.

4. Намираме първата производна и евентуалните екстремуми:

   f ' = 2x³ – 8x = 2x(x² – 4) = 2x(x – 2)(x + 2).

   1. Решаваме неравенството, за да определим интервалите, при които функцията расте:

      f ' (x) > 0 2x(x – 2)(x + 2) > 0 x (– 2; 0) (2; + ∞),

      т.е. при x (– 2; 0) (2; + ∞) функцията f (x) е растяща.

   2. Решаваме неравенството, за да определим интервалите, при които функцията намалява:

      f ' (x) < 0 x (– ∞; – 2) (0; 2),

      т.е. при x (– ∞; – 2) (0; 2) функцията f (x) е намаляваща.

   3. Намираме локалните екстремуми – От стъпки (4.1) и (4.2) следва, че при x₁ = – 2, x₂ = 0, x₃ = 2 производната f ' (x) сменя знака си, като
      • при x₁ = – 2 и x₃ = 2 функцията f (x) от намаляваща се превръща в растяща, т.е. при x = – 2 и x = 2 функцията f (x) има локален минимум. Намираме стойността на f (x) в тези точки:

        f_min = f (– 2) = 0,5.(– 2)⁴ – 4.(– 2)² + 5 = – 3.

        f_min = f (2) = 0,5.2⁴ – 4.2² + 5 = – 3.

        Т.е. точките на минимума са A (– 2; – 3) и B ( 2; – 3).

      • при x₂ = 0 функцията f (x) от растяща се превръща в намаляваща, т.е. при x = 0 функцията f (x) има локален максимум. Намираме стойността на f (x) в този максимум:

        f_max = f (0) = 0,5.0⁴ – 4.0² + 5 = 5.

        Т.е. точката на максимума е C (0; 5).

5. Намираме втората производна

   f '' = 6x² – 8.

   1. Изследваме за инфлексни точки:
      • От f '' > 0 6x² – 8 > 0 2(x – 2)(x + 2) > 0 x (- ∞; - ) (; + ∞) и тогава f (x) е изпъкнала функция.
      • От f '' < 0 6x² – 8 < 0 x и тогава f (x) е вдлъбната функция.
      • Така доказахме, че при x_1/2 = функцията f (x) има инфлексна точка и пресмятаме:

   2. Намираме НМС (най-малката стойност) и НГС (най-голямата стойност) – В стъпка 1 определихме, че функцията f (x) има ДМ x (– ∞; + ∞) (интервалът е отворен от двете страни). В стъпка 4 видяхме, че f (x) има три локални екстремума (два минимума и един максимум) и затова:
      • НМС (най-малката стойност) е в точките на локалните минимуми, т.е. в точките A (– 2; – 3) и B ( 2; – 3).
      • НГС (най-голямата стойност) е в точката на локален максимум, т.е. в точка C (0; 5).



6. Съставяме таблица:
   1. Резултатите от изпълнението на горните стъпки подреждаме в таблица.
   2. Намираме пресечните точки на параболата с координатните оси:
      • Оста Ox – решаваме биквадратното уравнение f (x) = 0 и получаваме, че точките са четири, решенията на горното уравнение (за прегледност тези точки НЕ сме ги нанесли на Фиг. Зад. 2).
      • Оста Oy – В по-горните стъпки доказахме, че точката на максимума лежи на ординатната ос, т.е. функцията пресича оста Oy в точка C (0; 5).
7. Начертаваме графиката на функцията – Тя е представена на Фиг. Зад. 2.

Използваме описаните стъпки за изследване на функция:

1. Намираме Дефиниционното множество (ДМ) на функцията f (x):

   ДМ: x (– ∞; + ∞).

2. Изследваме за:
   1. четност или нечетност – Използваме правилото за четност или нечетност:

      f (– x) = (– x)⁴ – 2.(– x)³ + 2 = x⁴ + 2x³ + 2 ≠ f (x),

      т.е. f (x) е нито четна, нито нечетна.

   2. периодичност – Нека главният период да е P, тогава:

      f (x + P) = (x + P)⁴ – 2.(x + P)³ + 2 ≠ f (x),

      т.е. f (x) е непериодична.

3. Изследваме функцията в краищата на ДМ, т.е. изследваме за асимптоти – Намираме границата на f (x) в краищата на ДМ:

   

   т.е. f (x) няма асимптоти.

4. Намираме първата производна и евентуалните екстремуми:

   f ' = 4x³ – 6x² = 2x²(2x – 3).

   1. Решаваме неравенството, за да определим интервалите, при които функцията расте:

      f ' (x) > 0 2x²(2x – 3) > 0 x (1,5; + ∞),

      т.е. при x (1,5; + ∞) функцията f (x) е растяща.

   2. Решаваме неравенството, за да определим интервалите, при които функцията намалява:

      f ' (x) < 0 x (–∞; 0) (0; 1,5),

      т.е. при x (– ∞; 0) (0; 1,5) функцията f (x) е строго намаляваща.

      Бележка:

      Ако решим неравенството f ' (x) ≤ 0, то ще намерим интервала x (– ∞; 1,5], при който функцията f (x) е монотонно намаляваща.
   3. Намираме локалните екстремуми – От стъпки (4.1) и (4.2) следва, че при x₁ = 0, x₂ = 1,5 производната f ' (x) сменя знака си, като
      • при x₂ = 1,5 функцията f (x) от намаляваща се превръща в растяща, т.е. при x₂ = 1,5 функцията f (x) има локален минимум. Намираме стойността на f (x) в тази точка:

        f_min = f (1,5) = 1,5⁴ – 2.(1,5)³ + 2 = 0,32.

        Т.е. точката на минимума е V (1,5; 0,32).

      • Функцията няма локален максимум. При x₁ = 0 функцията f (x) НЕ сменя знака си и затова тя няма локален екстремум в тази точка.
5. Намираме втората производна

   f '' = x² – 12x.

   1. Изследваме за инфлексни точки:
      • От f '' > 0 12x² – 12x > 0 12x(x – 1) > 0 x (– ∞; 0) (1; + ∞) и тогава f (x) е изпъкнала функция.
      • От f '' < 0 12x² – 12x < 0 x (0; 1) и тогава f (x) е вдлъбната функция.
      • Така доказахме, че при x = 0 и x = 1 функцията f (x) има инфлексна точка и пресмятаме:

        f (0) = 0⁴ – 2.0³ + 2 = 2.

        f (1) = 1⁴ – 2.1³ + 2 = 1.

   2. Намираме НМС (най-малката стойност) и НГС (най-голямата стойност) – Функцията f (x) има един локален екстремум (един минимум) и затова:
      • НМС (най-малката стойност) е в точките на локалните минимуми, т.е. в точката V (1,5; 0,32).
      • Няма НГС (най-голямата стойност), защото изследваме в ДМ, който е отворен интервал от двете страни.



6. Съставяме таблица:
   1. Резултатите от изпълнението на горните стъпки подреждаме в таблица.
   2. Намираме пресечните точки на параболата с координатните оси:
      • Оста Ox – Вместо да решаваме уравнението f (x) = 0 (уравнението е от по-висока степен), то използваме това, че f_min = f (1,5) = 0,32 > 0, т.е. графиката НЕ пресича абсцисната ос.
      • Оста Oy – В по-горните стъпки доказахме, че инфлексната точка лежи върху ординатната ос, т.е. функцията пресича оста Oy в точка C (0; 2).
      • Ще изчислим две допълнителни точки с координати A (– 1; 5) и B (2; 2).
7. Начертаваме графиката на функцията – Тя е представена на Фиг. Зад. 3.

Използваме описаните стъпки за изследване на функция:

1. Намираме Дефиниционното множество (ДМ) на дробната функция f (x):

   x ≠ 0 ДМ: x (– ∞; 0) (0 + ∞).

2. Изследваме за:
   1. четност или нечетност – Използваме правилото за четност или нечетност:

      f (– x) = f (x),

      т.е. f (x) е нито четна, нито нечетна.

   2. периодичност – Нека главният период да е P, тогава:

      f (x + P) ≠ f (x),

      т.е. f (x) е непериодична.

3. Изследваме функцията в краищата на ДМ, т.е. изследваме за асимптоти – Намираме границата на f (x) в краищата на ДМ:
   • Изследваме за хоризонтална асимптота:

     

     т.е. f (x) има хоризонтална асимптота f (x) = y = 3.

   • Изследваме за вертикална асимптота: От ДМ следва, че функцията НЕ е дефинирана при x = 0, т.е. при x = 0 функцията f (x) е прекъсната и затова ще изследваме около тази точка:

     

     т.е. правата x = 0 е вертикална асимптота.

4. Намираме първата производна и евентуалните екстремуми:

   

   1. От това, че f ' < 0 за всяко x (– ∞; 0) (0; + ∞) следва, че функцията f (x) е само намаляваща в ДМ.
   2. Функцията f (x) няма локални екстремуми, защото f ' ≠ 0 за всяко x ≠ 0.
5. Намираме втората производна
   1. Изследваме за инфлексни точки:
      • От f '' > 0 x > 0 и тогава f (x) е изпъкнала функция.
      • От f '' < 0 x < 0 и тогава f (x) е вдлъбната функция.
      • Така доказахме, че функцията f (x) няма инфлексна точка, защото при x = 0 втората производна сменя знака си, но x = 0 НЕ принадлежи на ДМ.
   2. Функцията f (x) няма НМС (най-малката стойност) и НГС (най-голямата стойност).



6. Съставяме таблица:
   1. Резултатите от изпълнението на горните стъпки подреждаме в таблица.
   2. Намираме пресечните точки на параболата с координатните оси:
      • Оста Ox – Решаваме уравнението f (x) = 0 и намираме, че графиката на функцията пресича абсцисната ос при x = – (за прегледност тази точка НЕ сме я нанесли на Фиг. Зад. 4).
      • Оста Oy – Ординатната ос Oy е вертикална асимптота и графиката на функцията f (x) НЕ я пресича.
7. Начертаваме графиката на функцията – Тя е представена на Фиг. Зад. 4.