Технически университет - тест по математика, 2009 г

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – София
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юли 2009 година

ПЪРВА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Ако 140% от a е равно на 60% от b, то е равно на:
- А)
- Б)
- В)1
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Превърнете даденото в равенство и от него изразете търсеното отношение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Превръщаме даденото в равенство:
  .
- Верен отговор Г).

Ако a = , b = , c = , то е вярно че:
- А)b < c < a
- Б)a < b < c
- В)a < c < b
- Г)a = b = c
- Д)a < b = c
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете тангенс от 315°.
2. Използвайте това, че при равни степенни показатели по-голяма дроб е тази която има по-малък знаменател.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Сравняваме числата:
- Верен отговор Б).

Ако x₁ и x₂ са корени на уравнението 12x² – 7x – 12 = 0, то стойността на израза + 2x₁.x₂ е:
- А)–
- Б)5
- В)
- Г)– 9
- Д)–
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формулите на Виет получаваме:
  x₁ + x₂ = ; x₁.x₂ = – 1.
- Преобразуваме дадения израз, за да приложим формулите на Виет:
- Верен отговор Д).

Решение на уравнението 3^{x – 1} – 27^{x + 1} = 0 е:
- А)0
- Б)– 1
- В)– 2
- Г)2
- Д)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете показателното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме показателното уравнение:
  3^{x – 1} – 27^{x + 1} = 0 3^{x – 1} = 27^{x + 1} 3^{x – 1} = 3^{3(x + 1)} x – 1 = 3x + 3, т.е. x = – 2.
- Верен отговор В).

Броят на членовете на аритметичната прогресия: –1, log₃3⁵, 11, ..., 491 е равен на:
- А)83
- Б)81
- В)38
- Г)103
- Д)82
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Определете a₁, a_n и d на аритметичната прогресия и след това използвайте Теорема за общия член на аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От дадената аритметична прогресия намираме:
  a₁ = – 1, a_n = 491 и d = log₃3⁵ – (– 1) = 5 + 1 = 6.
- Прилагаме теорема 1:
  a_n = a₁ + (n – 1).d 491 = –1 + (n – 1).6, т.е. n = 83.
- Верен отговор А).

Стойността на числения израз cotg18° cotg12° – (cotg18° + cotg12°) е равна на:
- А)1
- Б)–
- В)
- Г)
- Д)– 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи тригонометрични формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Ако (x, y) е решение на системата , то частното е равно на:
- А)
- Б)2
- В)–
- Г)– 4
- Д)– 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете системата чрез полагане.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Решение на уравнението log₃ (x – 7) = – log₃ (x – 4) е числото:
- А)3
- Б)9
- В)
- Г)8
- Д)12
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете логаритмичното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ.:
  x (7; +∞).
- С помощта на подходящи формули преобразуваме логаритмите до логаритми с основа 3 и прилагаме формула (17):
  log₃ (x – 7) = – log₃ (x – 4) log₃ (x – 7) = log₃ 4 – log₃ (x – 4) log₃ (x – 7) + log₃ (x – 4) = log₃ 4 log₃ (x – 7)(x – 4) = log₃ 4 (x – 7)(x – 4) = 4 x² – 11x + 24 = 0, x₁ = 3 ∉ ДМ., x₂ = 8 ДМ.
- Верен отговор Г)

Най-голямото цяло решение на неравенството |5 – x| > 2|5 – x| – 3, е числото:
- А)5
- Б)4
- В)8
- Г)2
- Д)7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте даденото неравенство в неравенство от вида |f(x)| < c и го решете по формула (3).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото неравенство до неравенство от основен вид:
  |5 – x| > 2|5 – x| – 3 2|5 – x| – |5 – x| < 3 |5 – x| < 3.
- Използваме формула (3):
  x (2; 8).
- Най-голямото цяло число принадлежащо на този интервал е числото 7.
- Верен отговор Д).

Ако графиката на първата производна на функцията f (x) има вида, посочен на чертежа, то f (x) има екстремум за:
- А)x = 0
- Б)x = 0 и x = 3
- В)x = 3
- Г)x = 0, x =1,5 и x = 3
- Д)x =1,5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Една функция има локален екстремум тогава, когато първата ѝ производна сменя знака си.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Една функция има локален екстремум тогава, когато първата ѝ производна сменя знака си.
- От графиката се вижда, че при x < 3, f ' (x) = y > 0, а при x > 3, f ' (x) = y < 0, т.е. при x = 3 първата производна променя знака си.
- Верен отговор В).

Медианата на следните данни от извадка 5, 10, 2, 10, 10, 1, 3, 2, 3, 7, 11, 8, 3, 2 е:
- А)
- Б)3
- В)10
- Г)4
- Д)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определението за медиана.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Подреждаме данните по големина: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10, 11.
- Намираме медианата: Данните са четен брой, затова намираме средноаритметичното от числата по-средата, т.е. 3 + 5 = 8 и 8 : 2 = 4.
- Верен отговор Г).

Колко трицифрени числа могат да се образуват от цифрите 2, 0, 5, 6, така че във всяко трицифрено число да не се повтаря нито една цифра:
- А)18
- Б)24
- В)4
- Г)6
- Д)30
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Избирате 3 цифри от общо 4 като реда има значение, затова търсите вариации на 4 елемента от 3 клас.
2. Но няма число започващо с нула, затова от така получените вариации трябва да изключите всички трицифрени числа започващи с 0.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Избираме 3 цифри от общо 4 като реда има значение, затова търсим вариации на 4 елемента от 3 клас, т.е. V₄³ = 4.3.2 = 24 е броя на всички трицифрени числа.
- Но няма число започващо с нула, затова от така получените трицифрени числа трябва да изключим трицифрените числа започващи с 0, т.е. V₄³ – V₃² = 24 – 6 = 18.
- Верен отговор А).

В ромб ABCD с остър ъгъл BAD = α, височината му BH пресича диагонала AC в точка M . Ако sinα = , то отношението BM : MH е :
- А)2 : 3
- Б)3 : 2
- В)2 : 1
- Г)3 :
- Д) : 3
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От основното тригонометрично равенство намерете cos α.
2. Спуснете височината BH към страната CD и от получения правоъгълен ΔBCH намерете cos α.
3. Използвайте свойство на ъглополовяща в ΔBCH.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

Медицентърът на равнобедрен ΔABC (AC = BC) лежи върху вписаната в триъгълника окръжност. Ако AB = a, то периметърът на ΔABC е:
- А)6a
- Б)3a
- В)2a
- Г)4a
- Д)12a
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Нека т. Н е допирната точка на окръжността до основата на триъгълника и щом т. М – медицентър и тя лежи на окръжността, то MH = 2r и MC = 4r.
2. Като използвате свойство на ъглополовяща в триъгълник, от ΔAHC намерете АС.
3. Като използвате, че триъгълник АВС е равнобедрен намерете периметъра му.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ΔABC – равнобедрен и СН – медиана СН – височина и ъглополовяща.
- ΔABC – описан т. О лежи на ъглополовящата СН, т.е. OH = r или MH = 2r.
- т. М – медицентър CM = 2MH = 4r и OC = CM + MO = 4r + r = 5r.
- АО – ъглополовяща в ΔAHC, т.е.:
- P_ΔABC = AB + AC + BC = a + a + a = 6a.
- Верен отговор А).

Тото играта „5 от 35” се състои в изтегляне по случаен начин на пет различни числа измежду числата {1, 2, ..., 35}. Вероятността и петте изтеглени числа да са нечетни е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Всички възможни случаи n – понеже избирате 5 числа от общо 35 и подредбата има значение, то намерете броя на вариациите на 35 елемента от 5 клас.
2. Благоприятните случаи m – от дадените числа нечетните са 18 затова намерете броя на вариациите на 18 елемента от 5 клас.
3. Намерете вероятността по формула (7).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме всички възможни случаи n – понеже избираме 5 числа от общо 35 и подредбата има значение, то всички възможни случаи са броя на вариациите на 35 елемента от 5 клас, т.е. V₃₅⁵ = 35.34.33.32.31.
- Намираме благоприятните случаи m – в числата от 1 до 35 нечетните са 18, но по условие се иска всички изтеглени числа да са нечетни, затова благоприятните случаи са броя на вариациите на 18 елемента от 5 клас, т.е. V₁₈⁵ = 18.17.16.15.14.
- Намираме вероятността:
- Верен отговор В).

Осните сечения на прав кръгов конус имат прав ъгъл при върха му, а радиусът на основата му е R. Отношението на радиусите на описаната и вписаната спрямо конуса сфера е:
- А)1 +
- Б) – 1
- В)
- Г)2
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. По определение осно сечение е сечение което минава по оста на тялото. В нашият случай това е равнобедреният правоъгълен ΔABC.
2. Вписаната сфера се разглежда като вписана в ΔABC окръжност k₂ с радиус r_В, а описаната сфера – като описана около ΔABC окръжност k₁ с радиус r_O = R = AO, защото ΔABC е правоъгълен и центърът на описаната окръжност лежи на хипотенузата на триъгълника.
3. От питагорова теорема изразявате АС чрез R и намирате r_B по формулата r_B = p – AB, където р е полупериметъра на ΔABC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Осното сечение е сечение, което минава по оста на тялото.
- Осното сечение на конуса от Фиг. 1 е равнобедрения правоъгълен ΔABC.
- Вписаната и описаната сфера се разглеждат като вписана и описана окръжност около осното сечение ΔABC (Фиг. 2).
- Радиусът на описаната окръжност k₁ е r_O = R = AO.
- Радиусът на вписаната окръжност k₂ е r_B.
- Намираме отношението между двата радиуса:
  - Нека AC = BC = x.
  - Прилагаме питагорова теорема за ΔABC:
    AB² = AC² + BC² (2R)² = x² + x² 4R² = 2x² x = R.
  - Окръжността k₂ е вписана в ΔABC – правоъгълен и от формула (9) получаваме:
  - Намираме търсеното отношение:
- Верен отговор А).

В правоъгълен трапец с остър ъгъл α и лице 20 cm² е вписана окръжност. Лицето на кръга в cm², определен от тази окръжност, е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)π.sin α
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Изразете радиуса на вписаната в трапеца окръжност като използвате това, че ако окръжност е вписана в трапец, то сборът на две срещуположни страни е равен на сбора на другите две срещуположни страни.
2. Използвайте формулата S_кръг = π.r².
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

Разликата от най-голямата и най-малката стойност на функцията f (x) = –x² – x – 1 в затворения интервал [–1, 2] е:
- А)–
- Б)
- В)–
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Определете координатите на върха на параболата и посоката на този връх.
2. Ако върхът на параболата е в разглеждания интервал, то в тази точка имаме НГС или НМС (зависи от посоката на върхът).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Функцията f (x) е квадратна. Графиката ѝ е парабола с връх нагоре, защото a = – 1.
- Най-голямата стойност (НГС) ще бъде при върха на параболата:
  [– 1; 2] НГС = .
- Намираме най-малката стойност (НМС):
  - f (– 1) = – (–1)² – (– 1) – 1 = – 1.
  - f (2) = – 2² – 2 – 1 = – 7.
  - f (2) < f (– 1) НМС = f (2) = – 7.
- НГС – НМС = – – (– 7) = .
- Верен отговор Г).

Даден е равностранен триъгълник със страна a = . През точка M, лежаща на страната AB, успоредно на страните AC и BC, са прекарани прави, пресичащи тези страни съответно в точки K и L. Ако лицето на ΔKLM е cm², то дължината на отсечката KL е:
- А) cm
- Б) cm
- В) cm
- Г) cm
- Д) cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете ъгъл KML.
2. Намерете КМ и ML.
3. От косинусова теорема за триъгълник KML намерете търсената страна KL.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

В един клас има 20 момчета и 10 момичета. На класа са предоставени три безплатни билета за футболен мач. Начините, по които могат да се разпределят билетите, така че на мача да отидат трима ученика, от които точно две момчета, са:
- А)10
- Б)2100
- В)1900
- Г)20
- Д)3800
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете броя на групите момчетата с раздадени билети и понеже се избират 2 момчета от общо 20, то търсеният брой е равен на комбинациите на 20 елемента от 2 клас.
2. Броя на групите момичетата с раздадени билети се намира като комбинации на 10 елемента от 1 клас;
3. Начините, по които могат да се раздадат билетите, по исканият начин, се намира по правилото за умножение.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме броя на групите от момчета с раздадени билети: Избират се 2 момчета (защото точно две момчета трябва да има в групата) от общо 20 като подредбата няма значение, затова търсеният брой е равен на комбинациите на 20 елемента от 2 клас, т.е. .
- В групата трябва да има само едно момиче, а момичетата се избират от 10, затова момичетата получават билети по начина.
- Начините по които в групата има трима ученика, от които точно 2 момчета са C₂₀².C₁₀¹ = 190.10 = 1900.
- Верен отговор В).

Условията на задачите от ВТОРА ЧАСТ може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2008 г. 2010 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура