Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА
профилирана подготовка

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест - профилирана подготовка – Май 2023 година

ЧАСТ 1

Отговорите на задачите от 1. до 15. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Общото уравнение на права, минаваща през точките с координати (3; – 7) и (– 2, – 2) е:
- А)9x – 5y + 14 = 0
- Б)2x – 5y + 4 = 0
- В)x + y + 4 = 0
- Г)9x + y – 20 = 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула от Начини на задаване на права.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека дадените точки са A (3; – 7) и B (– 2; – 2), тогава x_A = 3, y_A = – 7, x_B = – 2, y_B = – 2.
- Получаваме декартовото уравнение на правата AB (формула 10 от Начини за задаване на права):
  AB: y – y_A = (x – x_A) y + 7 (x – 3) x + y + 4 = 0.
- Верен отговор В).

Свободният член в нормалния вид на полинома f (x) = (x² + x – 2)³ + (2x³ – 1)⁷ е равен на:
- А)– 9
- Б)– 7
- В)1
- Г)2⁷
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула за съкратено умножение и правилото за получаване на коефициентите в триъгълника на Паскал.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека в полинома f (x) да отбележим:
  - A = (x² + x – 2)³.
  - B = (2x³ – 1)⁷.
- Преобразуваме А чрез подходяща формула за съкратено умножение:
  A = [x² + (x – 2)]³ = (x²)³ + 3(x²)²(x – 2) + 3x²(x – 2)² + (x – 2)³ = x⁶ + 3x⁵ – 3x⁴ – 11x³ + 12x – 8, т.е. изразът A има свободен член равен на „– 8“.
- Използваме триъгълника на Паскал или Нютонов бином (формула 12), за да преобразуваме B:
  (2x³ – 1)⁷ = (2x³)⁷ – 7.(2x³)⁶.1 + 21.(2x³)⁵.1² – 35.(2x³)⁴.1³ + 35.(2x³)³.1⁴ – 21.(2x³)².1⁵ + 7.(2x).1⁶ – 1⁷, т.е. изразът B има свободен член равен на „– 1“.
- Тогава сборът от свободните членове на двата израза е:
  – 8 – 1 = – 9.
- Верен отговор А).

Правоъгълникът ABCD със страни AB = 3 cm и AD = 5 cm е завъртян на около по-голямата си страна. Обемът на полученото ротационно тяло е:
- А)15π cm²
- Б)11,25π cm²
- В)75π cm²
- Г)45π cm²
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте твърдение (14) за обем на прав кръгов цилиндър.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Полученото ротационно тяло е прав кръгов цилиндър с радиус r = AB = 3 cm и височина h = BC = 5 cm, и използваме твърдение (14), за да намерим отговора:
  V = πr²h = π.3².5 = 45π cm².
- Верен отговор Г).

Хоризонталната асимптота на функцията f (x) е:
- А)x = –
- Б)y =
- В)y = –
- Г)x =
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От видове асимптоти знаем, че хоризонталната асимптота на функция е границата на f (x) при x → ± ∞.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме Дефиниционното Множество на дробната функция f (x):
  5 – 3x ≠ 0 ДМ: x ≠ .
- Хоризонталната асимптота е границата при x → ± ∞:
- Верен отговор В).

Случайната величина X има биномно разпределение Bi (12; p). Ако дисперсията на X е 1,92, то стойността на p може да е:
- А)0,2
- Б)0,35
- В)0,49
- Г)0,71
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Отбележете вероятността за условен неуспех с q и намерете отговора, като използвате даденото и биномно разпределение (формула 9).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От даденото биномно разпределение Bi (12; p) следва, че n = 12.
- От определението за биномно разпределение следва, че вероятността за условен неуспех е q = 1 – p.
- По условие за дисперсията имаме DX = 1,92, използваме формула (9) и решаваме полученото квадратно уравнение:
  DX = npq 1,92 = 12.p.(1 – p) 25p² – 25p + 4 = 0, p₁ = , p₂ = = 0,2.
- Отговорът p₂ = 0,2 го има в отговорите.
- Верен отговор А).

Критерии за оценяване

Дадени са векторите , за които 3 и 45°. Дължината на вектора е:
- А)9
- Б)3
- В)3
- Г)6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули от действия с вектори.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула за скаларен квадрат на вектор (формула 9):
- Намираме скаларното произведение на два вектора (формула 7):
- Намираме дължината на вектор (формула 10) и използваме формула (2) за съкратено умножение:
- Верен отговор В).

Спрямо правоъгълна координатна система разглеждаме точката с координати (2; 3) и права, зададена с уравнението 3x – 4y + 11 = 0. Какво е разстоянието между тях:
- А)
- Б)
- В)1
- Г)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулата за разстояние от точка до права (формула 26).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека да е дадена точката M (2; 3), тогава координатите на тази точка са: x₀ = 2, y₀ = 3:
- Дадено е общото уравнение на правата q: 3x – 4y + 11 = 0, тогава A = 3, B = – 4, C = 11.
- Използваме формула (26), за да намерим разстоянието от т. М до правата q:
  d = = 1.
- Верен отговор В).

В правилна четириъгълна призма ABCDA₁B₁C₁D₁ диагоналите AC₁ и A₁C са взаимноперпендикулярни. Да се намери острият ъгъл между BD₁ и B₁C₁?
- А)30°
- Б)45°
- В)60°
- Г)90°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Основният ръб на призмата нека да е a.
2. Докажете, че ACC₁A₁ е квадрат и последователно изразете чрез а отсечките: CC₁, CD₁, BD₁.
3. Докажете, че търсеният ъгъл е (BD₁, B1C₁) = φ и го намерете, като в подходящ триъгълник приложите косинусова теорема.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- По условие ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна четириъгълна призма, т.е. основата ѝ ABCD е квадрат със страна AB = a и диагонали BD = AC.
- За ΔABC (ABC = 90°) прилагаме теоремата на Питагор:
  AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a² AC = a.
- Тогава BD = AC = a.
- По условие ACC₁A₁ е правоъгълник с перпендикулярни диагонали (AC₁ A₁C), т.е. ACC₁A₁ е квадрат и CC₁ = AC = a.
- Намираме ъгъла между кръстосаните прави BD₁ и B₁C₁:
  - Намираме успоредна права на B₁C₁ и това е BC. Точка В е общата точка между BD₁ и BC (виж Бележката от ъгъл между кръстосани прави), т.е. (BD₁, B₁C₁) = D₁BC = φ.
  - За ΔCC₁D₁ (CC₁D₁ = 90°) прилагаме теоремата на Питагор:
    CD₁² = CC₁² + C₁D₁² = ( a)² + a² = 3a² CD₁ = a.
  - За ΔDBD₁ (BDD₁ = 90°) прилагаме теоремата на Питагор:
    BD₁² = BD² + DD₁² = ( a)² + ( a)² = 4a² BD₁ = 2a.
  - За ΔBCD₁ прилагаме косинусова теорема и Таблица 1:
- Верен отговор В).

Функцията y (x) = е растяща в интервала:
- А)x (– ∞; 1) [2; 5)
- Б)x [2; 5)
- В)x (1; 2] [5; + ∞)
- Г)x (1; 2]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящо Свойство на логаритмична функция, когато основата ѝ е между 0 и 1.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме Дефиниционното Множество на логаритмична функция:
  – x² + 4x + 5 > 0 | . (– 1) x² – 4x – 5 < 0, x₁ = – 1, x₂ = 5 ДМ: x (– 1; 5).
- Нека да отбележим g (x) = – x² + 4x + 5 и изследваме логаритмичната функция y (x) при x (– 1; 5).
- Основата на функцията y (x) е между 0 и 1, т.е. логаритмичната функция ще расте, ако квадратната функция g (x) – намалява.
- Изследваме квадратната функция g (x) в интервала x (– 1; 5):
  - Графиката на функцията g (x) е парабола с връх нагоре, защото старшият ѝ коефициент е отрицателен.
  - Намираме x-тата координата на върха на параболата:
    x_v = – = 2.
  - От Свойство 2 на квадратна функция следва, че квадратната функция намалява в интервала x [2; 5).
- Верен отговор Б).

Намерете границата
- А)0
- Б)
- В)1
- Г)2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Преобразувайте числителя, като използвате това, че 1 = sin и Тригонометрична формула (7.2).
2. Използвайте подходящи теореми и основна граница от формула (12), за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Имаме неопределеност .
- От Таблица №1 следва, че sin = 1.
- Прилагаме Тригонометрична формула (7.2):
  1 – sin 2x = sin – sin 2x = .
- Намираме границата като използваме подходящи Теореми и основната граница от формула (12):
- Верен отговор А).

За кои стойности на параметъра p редицата a_n = е растяща?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте условието за монотонност, т.е. намерете първата производна и решете неравенството (a_n) ' > 0.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме правилото за намиране на първа производна на частно:
- От условието за монотонност следва, че редицата расте, ако е изпълнено неравенството (a_n) ' > 0, т.е.:
- Верен отговор Б).

Най-голямата стойност на функцията f (x) = cos x + за x [– π; π] е:
- А)– – 1
- Б) – 1
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящо правило за намиране на най-голяма стойност.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме първата производна:
  f ' = – sin x + .
- Определяме точките, в които функцията може да има локален екстремум, т.е. точките, в които първата производна се анулира:
  - f ' = 0 – sin x + = 0 sin x = .
  - От Таблица №1 определяме, че ъгълът, при който това уравнение е изпълнено е α = . Тогава решенията му са:
    (A): x = + 2kπ, но x [– π; π] x = .
    
    (B): x = π – + 2kπ = + 2kπ, но x [– π; π] x = .
- Изследваме знака на втората производна в тези две точки на екстремум:
  - f '' = – cos x.
  - При x = получаваме:
    < 0.
  - Това означава, че при x = дадената функция f (x) има локален максимум.
  - При x = получаваме:
    > 0.
  - Това означава, че при x = дадената функция f (x) има локален минимум.
- Намираме отговора:
- Верен отговор В).

Множеството на функционални стойности на y (x) = (x + 1)²(x – 2)⁴ при x [1; 4] е:
- А)y [0; 16]
- Б)y [4; 400]
- В)y [0; 4]
- Г)y [0; 400]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте това, че множеството на функционални стойности (ФМ) на дадената функция е интервалът от числа, намиращи се между най-малката стойност (НМС) и най-голямата стойност (НГС) на тази функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме това, че множеството на функционални стойности (ФМ) е интервалът от числа, намиращи се между най-малката стойност (НМС) и най-голямата стойност (НГС), т.е.:
  ФМ [НМС; НГС].
- Използваме правилото за намиране на първа производна на произведение:
  f ' = 2(x + 1)(x – 2)⁴ + 4(x – 2)³(x + 1)² = 2(x + 1)(x – 2)³(x – 2 + 2x + 2) = 6x(x + 1)(x – 2)³.
- Изследваме знака на първата производна, за да определим интервалите, в които дадената функция расте:
  f ' ≥ 0 6x(x + 1)(x – 2)³ ≥ 0 x [– 1; 0] [2; + ∞).
- Нанасяме резултатите в таблица:
- От таблицата се вижда, че в интервала x [1; 4] функцията y (x) има:
  - само един минимум, като това става при x = 2. Този минимум ще е най-малката ѝ стойност:
    НМС y (x) = y_min = y (2) = (2 + 1)²(2 – 2)⁴ = 0.
  - Най-голямата стойност ще бъде в краищата на интервала [1; 4]:
    y (1) = (1 + 1)²(1 – 2)⁴ = 2².(– 1)⁴ = 4.
    
    y (4) = (4 + 1)²(4 – 2)⁴ = 5².2⁴ = 400.
    
    НГС y (x) = y (4) = 400.
- Намираме отговора:
  ФМ [0; 400].
- Верен отговор Г).

Функцията f (x) = 3x⁴ + 4x³ – 6x² – 12x + 7:
- А)има локален екстремум само при x = 1
- Б)има локален екстремум само при x = – 1
- В)има локален екстремум само при x = 1 и x = – 1
- Г)няма локални екстремуми
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящо правило за намиране на локален екстремум.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме първата производна:
  f ' = 12x³ + 12x² – 12x – 12.
- Изследваме знака на първата производна, за да определим интервалите, в които дадената функция расте:
  f ' ≥ 0 12x³ + 12x² – 12x – 12 ≥ 0 | : 12 x³ + x² – x – 1 ≥ 0 x²(x + 1) – (x + 1) ≥ 0 (x + 1)(x² – 1) ≥ 0 (x + 1)(x – 1)(x + 1) ≥ 0 (x + 1)²(x – 1) ≥ 0 , но (x + 1)² > 0 за x x – 1 ≥ 0 x ≥ 1.
- Нанасяме резултатите в таблица:
- От таблицата се вижда, че функцията f (x) има само един екстремум и той е при x = 1.
- Верен отговор А).

Две урни имат следния състав: в първата – 6 бели, 4 червени и 15 черни топки, във втората – 15 бели, 2 червени и 8 черни топки. След последователно вадене на топка от едната и от другата се оказва, че първо е извадена червена, а след това бяла топка. Каква е вероятността ваденето на топките да е станало първо от втората, а след това от първата урна, при условие че двете последователности на вадене са равновъзможни?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула за класическа вероятност.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Отбелязваме събитията:
  - A₁ = {Да се извади 1 червена топка от урна 1}.
  - B₁ = {Да се извади 1 бяла топка от урна 1}.
  - A₂ = {Да се извади 1 червена топка от урна 2}.
  - B₂ = {Да се извади 1 бяла топка от урна 2}.
- В урна 1 имаме общо 25 топки (това са всички възможни случаи n = 25) от които:
  - 4 са червени (това са благоприятните случаи m = 4). Използваме формулата за класическа вероятност (формула 7), за да намерим вероятностите за случване на събитие A₁:
  - 6 са бели (това са благоприятните случаи m = 6). Използваме формулата за класическа вероятност (формула 7), за да намерим вероятностите за случване на събитие B₁:
- В урна 2 имаме общо 25 топки (това са всички възможни случаи n = 25) от които:
  - 2 са червени (това са благоприятните случаи m = 4). Отново използваме формулата 7, за да намерим вероятностите за случване на събитие A₂:
  - 15 са бели (това са благоприятните случаи m = 15). Отново използваме формулата 7, за да намерим вероятностите за случване на събитие B₂:
- Използваме правилото за умножение, за да намерим вероятността да извадим 1 червена топка от урна 1 и след това 1 бяла топка от урна 2:
  P (A₁) . P (B₂)
- Отново използваме правилото за умножение, за да намерим вероятността да извадим 1 бяла топка от урна 1 и след това 1 червена топка от урна 2:
  P (A₂) . P (B₁)
- Вероятността да сме избрали първо урна 2 (червена топка), а след това урна 1 (бяла топка) е:
- Верен отговор Б).

Условията на останалите задачи и указание за решенията им, може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове профил, 2022 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура