Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА
общообразователна подготовка

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест - общообразователна подготовка – Май 2022 година

МОДУЛ 1

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Стойността на израза е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (4) и формула (5).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Последователно използваме формула (4) и след това формула (5):
- Верен отговор В).

Корените x₁ и x₂ на кое от дадените уравнения изпълняват условието x₁.x₂ + 3(x₁ + x₂) = 5?
- А)x² + 2x + 1 = 0
- Б)x² – 2x – 1 = 0
- В)x² + 2x – 1 = 0
- Г)x² – 2x + 1 = 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За отговор А) използваме формулите на Виет:
- За отговор Б) отново използваме формулите на Виет:
- Другите отговори не ги проверяваме.
- Верен отговор Б).

Точките M и P са среди съответно на страните AB и AC в ΔABC. Векторът , изразен чрез векторите и , е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Теорема 2 за средна отсечка в триъгълник и намерете вектора .
2. Съберете векторите и по правилото на триъгълника.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

Точка M от страната AC на ΔABC е такава, че CM : MA= 2 : 3. Права през M, успоредна на AB, пресича BC в точка N. Ако MN = 6cm, то дължината на страната AB е равна на:
- А)9 cm
- Б)10 cm
- В)12 cm
- Г)15 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете подобни триъгълници и за тази двойка използвайте подходящо свойство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От даденото отношение записваме: CM = 2x, MA = 3x.
- Тогава:
  AC = CM + MA = 2x + 3x = 5x.
- ΔABC ~ ΔMNC (по I признак), защото: 1) BAC = NMC (като кръстни ъгли на (AB || MN) AC); 2) С – общ.
- За тези подобни триъгълници използваме формула (3):
- Верен отговор Г).

В куба ABCDA₁B₁C₁D₁ мярката на ъгъла между правите AB и CD₁ e:
- А)0°
- Б)45°
- В)60°
- Г)90°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете проекцията на CD₁ в равнината (ABB₁A₁).
2. Докажете, че (AB, CD₁) = ABA₁ и го намерете.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Построяваме BA₁ || CD₁.
- Тогава ъгълът между кръстосаните прави е:
  (AB, CD₁) = ABA₁.
- ΔABA₁ (BAA₁ = 90°, AB = AA₁) е правоъгълен и равнобедрен ABA₁ = 45°.
- Верен отговор Б).

Критерии за оценяване

Множеството от решенията на уравнението = 1 – x е:
- А)∅
- Б){1}
- В)(– ∞; 1]
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете ирационалното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме ирационалното уравнение:
- Верен отговор В).

Уравнението (x – 4)x² = (x – 4)(2x + 1)
- А)няма корени
- Б)има един корен
- В)има два корена
- Г)има три корена
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете уравнение от вида (11).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото уравнение до уравнение от вид (11):
  (x – 4)x² = (x – 4)(2x + 1) (x – 4)x² – (x – 4)(2x + 1) = 0 (x – 4)(x² – 2x – 1) = 0.
- Това уравнение се разпада на уравненията:
  - x – 4 = 0 x₁ = 4.
  - x² – 2x – 1 = 0 x₂ = 1 – , x₃ = 1 + .
- Верен отговор Г).

Множеството от решенията на неравенството 1 е:
- А)(4; + ∞)
- Б)(– 3; 4)
- В)(– ∞; – 3)
- Г)(– ∞; – 3) (4; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приведете дробното неравенство в основен вид и го решете по метода на интервалите.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Привеждаме дробното неравенство до основен вид (5):
- Използваме метода на интервалите:
  - Нулираме числител:
    x – 4 = 0 x = 4.
  - Нулираме знаменател:
    x + 3 = 0 x = – 3.
  - Нанасяме на числовата ос и определяме знаците на интервалите:
  - Решенията са:
    x (– ∞; – 3) (4; + ∞).
- Верен отговор Г).

Всички решения на неравенството са числата от интервала:
- А)
- Б)(– ∞; 8)
- В)
- Г)(8; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете логаритмичното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (18):
  - Намираме ДМ: x > 0.
  - За основата имаме (0; 1) и решението на неравенството е:
    .
  - Използваме формулата (5):
    x (8; + ∞).
- Верен отговор Г).

В ΔABC страната AB = 10 cm. Окръжност с център точка C и диаметър 14 cm се допира до правата AB. Лицето на ΔABC е равно на:
- А)17,5 cm²
- Б)35 cm²
- В)70 cm²
- Г)140 cm²
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От условието „Окръжност с център точка C и диаметър 14 cm се допира до правата AB“ следва, че радиусът на окръжността е равен на височината на ΔABC и използвайте формула (1).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Щом окръжност k (C, r = 7 cm) с център т. С и радиус r = 7 cm се допира до АВ, то височината CD = h на ΔABC е равна на радиуса, т.е. CD = r = 7 cm.
- Използваме формула (1):
  S_ΔABC = = 35 cm².
- Верен отговор Б).

В трапец ABCD през точка М от бедрото AD е построена права, успоредна на основите, която пресича диагонала АС и бедрото ВС съответно в точки N и P. Ако AM = 2MD и AB = 3CD, то отношението MN : NP e:
- А)1 : 2
- Б)2 : 3
- В)3 : 4
- Г)4 : 5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Докажете, че ΔMNA ~ ΔDCA и ΔNPC ~ ΔABC, и съставете търсеното отношение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Въвеждаме няколко неизвестни:
  - От дадените отношения записваме: MD = x, AM = 2x, CD = y, AB = 3y.
  - Тогава:
    AD = AM + MD = 2x + x = 3x.
  - Прилагаме Теоремата на Талес (формула 2) за MN || DC:
    AN = 2z, NC = z.
  - Тогава:
    CA = AN + NC = 2z + z = 3z.
- Изразяваме MN чрез y: ΔMNA ~ ΔDCA (по I признак), защото: 1) AMN = ADC (като кръстни ъгли на (MN || DC) AD); 2) А – общ. Прилагаме формула (3):
- Изразяваме PN отново чрез y: ΔNPC ~ ΔABC (по I признак), защото: 1) PNC = BAC (като кръстни ъгли на (AB || PN) AC); 2) C – общ. Прилагаме формула (3):
- Намираме отговора:
  MN : PN = 2 : 3.
- Верен отговор Б).

Основата на пирамидата ABCD е остроъгълният ΔABC с BAC = 60°. Околните ръбове образуват с основата на пирамидата ъгъл 45°. Ако височината на пирамидата е DH = h , то изразете чрез h ръба BC.
- А)h
- Б)h
- В)h
- Г)h
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Бележката в елементи на пирамида и докажете, че петата на височината (т. Н) съвпада с центъра на описаната около основата окръжност.
2. За основата използвайте синусова теорема и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека АН е проекцията на AD (околен ръб) в равнината на основата. Тогава от условието следва, че:
  (AD, ABC) = HAD = 45°.
- От ΔAHD (AHD = 90°, HAD = 45°) следва, че ΔAHD е равнобедрен, т.е. AH = DH = h.
- От Бележката в елементи на пирамида следва, че петата на височината (т. Н) съвпада с центъра на описаната около основата окръжност.
- Това означава, че радиусът R на описаната около основата окръжност е R = AH = h.
- Прилагаме Синусова теорема за ΔABC:
- Верен отговор Г).

Колко на брой от функциите y = 2x – 1, y = 3 – x и y = x² + 2x са растящи при x > 0?
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определението за растяща функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме определението за монотонност на функция и определяме, че функцията y = 2x – 1 е растяща, защото:
  - при x = 1 y (1) = 2.1 – 1 = 1.
  - при x = 2 y (2) = 2.2 – 1 = 3.
  - y (1) < y (2) и от Определението за растяща функция следва, че y = 2x – 1 е растяща функция.
- Функцията y = 3 – x е намаляваща, защото:
  - при x = 1 y (1) = 3 – 1 = 2.
  - при x = 2 y (2) = 3 – 2 = 1.
  - y (2) < y (1) и от Определението за намаляваща функция следва, че y = 3 – x е намаляваща функция.
- Функцията y = x² + x е растяща, защото:
  - при x = 1 y (1) = 1² + 1 = 2.
  - при x = 2 y (2) = 2² + 2 = 6.
  - y (1) < y (2) и от Определението за растяща функция следва, че y = x² + x е растяща функция.
- Верен отговор В).

Множеството от стойностите на функцията y = x² – 2x + 3 за x [– 2; 4] е интервалът:
- А)[1; 9]
- Б)[3; 9]
- В)[2; 18]
- Г)[6; 18]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От определението за функция следва, че трябва да изследвате квадратната функция y за Най-голяма стойност (НГС) и за Най-малка стойност (НМС).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От определението за функция следва, че множеството от стойностите на една функция (ФМ) е интервалът от числа, намиращи се между най-малката стойност (НМС) и най-голямата стойност (НГС) на тази функция.
- Изследваме функцията y за НМС и НГС в интервала [– 2; 4].
  - Функцията y е квадратна, т.е. графиката ѝ е парабола с връх надолу, защото имаме a = > 0.
  - Определяме х-тата координата на върха на параболата:
    [– 2; 4].
  - От Свойство 2 и Свойство 3 следва, че в интервала [– 2; 4] функцията y има НМС при върха си, като тази стойност е:
    НМС y = y_v = y (2) = . 2² – 2.2 + 3 = 1.
    Бележка:
    Може и да не продължаваме изследването, защото само в отговор А) имаме най-малка стойност равна на 1. Но ние ще продължим и ще намерим НГС.
  - НГС (най-голямата стойност) ще бъде в някой от краищата на интервала [– 2; 4]:
    - при x = – 2 имаме
      y (– 2) = . (– 2)² – 2.(– 2) + 3 = 9.
    - при x = 4 имаме
      y (4) = . 4² – 2.4 + 3 = 3.
    - y (4) < y (– 2) НГС y = y (– 2) = 9.
- Намираме множеството от стойностите:
  ФМ = [НМС; НГС] = [1; 9].
- Верен отговор А).

Ако точката (m; ) е от графиката на функцията y = , то m е равно на:
- А)27
- Б)3
- В)
- Г)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте това, че една точка M (x₁; y₁) лежи на графиката на функцията y = f (x), ако е изпълнено равенството y₁ = f (x₁).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме това, че една точка M (x₁; y₁) лежи на графиката на функцията y = f (x), ако е изпълнено равенството y₁ = f (x₁).
- За дадената точка имаме: x = m, y = и заместваме в равенството y = f (x):
  m = 3.
- Верен отговор Г).

Ако редицата 3, a, b, 21 е аритметична прогресия, то произведението на a и b е равно на:
- А)24
- Б)63
- В)90
- Г)135
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Свойство 1 на аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Свойство 1 за дадената аритметична прогресия:
  - 2a = 3 + b.
  - 2b = a + 21.
- С тези две равенства съставяме система и я решаваме чрез събиране:
- Намираме b от второто уравнение в системата:
  2b = a + 21 = 9 + 21 = 30 b = 15.
- Намираме отговора:
  a.b = 9.15 = 135.
- Верен отговор Г).

Ако sin α = – и α = , то стойността на sin 2α е:
- А) –
- Б) –
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От основното тригонометрично тъждество намерете cos α.
2. От Тригонометрична Формула (5.1) намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме Тригонометрична Формула (1.1):
  sin² α + cos² α = 1 + cos² α = 1 cos² α = cos α = .
- Определяме в кой квадрант е ъгъл α и определяме крайната стойност на cos α:
  - = (180°; 270°), т.е. α III квадрант.
  - Използваме Таблица №1 и определяме, че в III квадрант cos α < 0, т.е. cos α = – .
- Използваме Тригонометрична Формула (5.1):
  sin 2α = 2sin α cos α = 2.
- Верен отговор Г).

Стойността на израза е:
- А)
- Б)–
- В)0
- Г)– 1
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. В числител използвайте Таблица №2, за да превърнете тригонометричните функции като функции с подходящи градуси и използвайте Тригонометрична Формула (1.1).
2. В знаменател използвайте Таблица №1.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме Таблица №2:
  - cos 110° = cos (90° + 20°) = – sin 20°.
  - cos 160° = cos (180° – 20°) = – cos 20°.
  - sin 70° = sin (90° – 20°) = cos 20°.
- Използваме основното тригонометрично тъждество:
  sin 20° cos 110° + cos 160° sin 70° = sin 20° . (– sin 20°) + (– cos 20°) . cos 20° = – (sin² 20° + cos² 20°) = – 1.
- Заместваме в дадената дроб, а в знаменател използваме Таблица №1:
- Верен отговор А).

В кутия има 7 бели и 9 сини топки, като белите са номерирани с числа от 1 до 7, а сините – с числа от 1 до 9. От кутията се изважда една топка. Вероятността изтеглената топка да е бяла или да е с номер, кратен на 4, е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете вероятността на сума от съвместими събития (формула 7.2).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Всички топки в кутията са 16 (7 бели + 9 сини), т.е. възможните случаи са n = 16.
- Търсим вероятност на две събития:
  - събитието А = {изтеглената топка да е бяла}.
  - събитието В = {номерът на изтеглената топка да е кратен на 4}.
- Ще ни трябва да намерим:
  - сечението на двете събития A ∩ B = {изтеглената топка да е бяла и с номер, който е кратен на 4}.
  - обединението на двете събития A B = {изтеглената топка е бяла или с кратен номер на 4}.
- Събитията А и В са съвместими, защото могат да се случат едновременно (в белите топки има топка с номер, който е кратен на 4). Използваме формулата за вероятност на съвместими събития:
  - Намираме вероятността да извадим бяла топка: Благоприятните случаи са m = 7, защото в кутията има общо 7 бели топки, тогава вероятността да извадим една бяла топка е:
    P(A) = .
  - Намираме вероятността да извадим топка, чиито номер е кратен на 4: Това условие се изпълнява от общо 3 топки (1 бяла и 2 сини), т.е. благоприятните случаи са m = 3, тогава вероятността да извадим една топка с кратен номер на 4, е:
    P(B) = .
  - Намираме вероятността да извадим бяла топка, която е кратна на 4: Има само една бяла топка, която изпълнява това условие, т.е. m = 1, тогава:
    P (A ∩ B)
  - Намираме вероятността на сума от съвместими събития (използваме формула 7.2):
    P (A B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) =
- Верен отговор В).

Мишена се състои от три концентрични кръга с радиуси съответно 5 cm, 15 cm и 25 cm. При стрелба се уцелва произволна точка от нея. Вероятността точката да е от сивия венец, е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете лицата на мишената и сивия венец, и ги разделете.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека да отбележим:
  - S₁ – лице на най-малък кръг, с радиус r₁ = 5 cm.
  - S₂ – лице на средния по големина кръг, с радиус r₂ = 15 cm.
  - S₃ – лице на най-голям кръг, с радиус r₃ = 25 cm.
  - S_СВ – лице на сивия венец.
- Използваме формулата за лице на кръг, за да намерим всяко от тези лица:
  - S₁ = π.r₁² = π.5² = 25π cm².
  - S₂ = π.r₂² = π.15² = 225π cm².
  - S₃ = π.r₃² = π.25² = 625π cm².
  - S_СВ = S₂ – S₁ = 225π – 25π = 200π cm².
- Намираме отговора:
  .
- Верен отговор В).

Условията на останалите задачи и указание за решенията им, може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2021 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура