Теорема на Талес. Подобни триъгълници - Тест Технически университет

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия

Триъгълник – Теорема на Талес. Подобни триъгълници

Вижте:

ТеорияОсновни задачиТест за УНСС

Тест – Технически университет и матура

Ако AB || CD, AD = 15 cm, BC = 12 cm и AO = 3 cm, то дължината на отсечката BO е:
- А) cm
- Б) cm
- В) cm
- Г) cm
- Д) cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приложете теоремата на Талес.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме DO:
  DO = AD – AO = 15 – 3 = 12 cm.
- Нека BO = x, тогава OC = BC – BO = 12 – x.
- От теоремата на Талес намираме ВО:
  AB || CD x = BC = cm.
- Верен отговор Б).

На чертежа ABCD е успоредник и PQ || BD. Ако AB = 8 cm, BC = 6 cm и AP = 12 cm, то дължината на DQ е:
- А)1,5 cm
- Б)2 cm
- В)3 cm
- Г)4 cm
- Д)5 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приложете теоремата на Талес.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От ABCD – успоредник следва, че AD = BC = 6 cm.
- Намираме ВР:
  BP = AP – AB = 12 – 8 = 4 cm.
- От теоремата на Талес намираме DQ:
  PQ || BD DQ = 3 cm.
- Верен отговор В).

В ΔABC симетралата на страната АВ пресича страната ВС в точка М така, че BM : CM = 5 : 2. Ако СН (H AB) е височина в ΔABC, намерете отношението AH : HB.
- А)1 : 5
- Б)3 : 5
- В)3 : 7
- Г)2 : 7
- Д)5 : 7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теоремата на Талес и това, че симетралата минава през средата на АВ.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме теоремата на Талес:
  CH || MP = , т.е. PB = 5y, HP = 2y.
- MP – симетрала на АВ AP = PB = 5y. Тогава:
  AH = AP – HP = 5y – 2y = 3y.
- Намираме търсеното отношение:
  = , т.е. AH : HB = 3 : 5.
- Верен отговор Б).

През медицентъра на ΔABC е построена права, успоредна на страната BC, която пресича страната AC в т. E. Ако AC = 18 cm, то дължината на AE е равна на:
- А)16 cm
- Б)14 cm
- В)17 cm
- Г)18 cm
- Д)12 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теоремата на Талес и свойствата на медицентър.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- т. М – медицентър СМ : МР .= 2 : 1, т.е. CM = 2x, MP = x.
- Използваме теоремата на Талес:
  MF || BC = , т.е. PF = y, FB = 2y.
- Тогава PB = PF + FB = y + 2y = 3y, но СР – медиана AP = PB = 3y. Тогава AF = AP + PF = 3y + y = 4y.
- От теоремата на Талес и от
  EF || BC = 2, т.е. AE = 2EC.
- Намираме АЕ:
  - AE + EC = AC 2EC + EC = AC 3EC = AC 3EC = 18 EC = 6 cm.
  - AE = 2EC = 2.6 = 12 cm.
- Верен отговор Д).

В ΔABC отсечката AL (L BC) е ъглополовяща на ъгъла при върха A. Права през точка L, успоредна на AB, пресича AC в точка M. Ако AC = 21 cm и AB = 28 cm, то дължината на отсечката ML е равна на:
- А)12 cm
- Б)7 cm
- В)14 cm
- Г)21 cm
- Д)4 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че ΔALM – равнобедрен.
2. От ΔMLC ~ ΔABC намерете АМ.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Доказваме, че ΔAML – равнобедрен:
  AL – ъглополовяща BAL = LAM, но ML || AB MLA = BAL, тогава MLA = LAM, т.е. ΔALM – равнобедрен. Затова ML = AM = x.
- Намираме АМ:
  - CM = AC – AM = 21 – x.
  - ΔMLC ~ ΔABC ( по І признак, защото: 1) C – общ, 2) LMC = BAC – като съответни ъгли на AB || ML) x = 12 cm.
- Верен отговор А).

Даден е ΔABC, за който AB = 8 cm, BC = 5 cm и AC = 10 cm. Ако M е средата на AB и AMN = ACB, намерете дължината на MN.
- А)2 cm
- Б)2,5 cm
- В)3,2 cm
- Г)2,1 cm
- Д)6,4 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте това, че ΔAMN ~ ΔABC по I признак.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- т.М – среда на АВ AM = MB = 4 cm.
- ΔAMN ~ ΔABC по I признак, защото:1) A – общ, 2) AMN = ACB – по усл. MN = 2 cm.
- Верен отговор А).

Точките A, B, C и D лежат на окръжност. Хордите AB и CD се пресичат в точка E, която лежи вътре в окръжността, като DE = 8 cm, CE = 6 cm и дължината на отсечката BE е с 8 cm по-голяма от дължината на отсечката AE. Дължината на хордата AB е:
- А)4 cm
- Б)6 cm
- В)8 cm
- Г)12 cm
- Д)16 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте това, че ΔAEC ~ ΔBED по I признак.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие имаме AE = x, BE = x + 8.
- ΔAEC ~ ΔBED по I признак, защото: 1) AEC = BED – като връхни ъгли; 2) CAE = EDB – като вписани ъгли имащи една и съща дъга CB x² + 8x – 48 = 0, x₁ = – 12 < 0 ∉ ДМ, x₂ = 4.
- AB = AE + BE = x + x + 8 = 2x + 8 = 2.4 + 8 = 16 cm.
- Верен отговор Д).

Ако на чертежа AP : PC = 2 : 3 и CQ : CB = 3:5. Вярно е, че:
- А)S_ΔPQC : S_ΔABC = 3 : 5
- Б)S_ΔPQC : S_ABQP = 3 : 5
- В)S_ΔPQC : S_ABQP = 9 : 16
- Г)CP : AC = 9 : 25
- Д)PQ и AB не са успоредни
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че ΔPQC ~ ΔABC по II признак.
2. Използвайте свойства на подобни триъгълници.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

На чертежа за ΔABC е дадено AB = 6cm , BC = 8cm и BAD = ACB. Дължината на отсечката BD е равна на:
- А)6 cm
- Б)4,5 cm
- В)4 cm
- Г)3,5 cm
- Д)2,5 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подобието на ΔABD и ΔABC.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- ΔABD ~ ΔABC по I признак, защото: 1) B – общ; 2)BAD = ACB – по условие.
- Тогава BD = , т.е. BD = 4,5 cm.
- Верен отговор Б).

На страната AC на ΔABC е взета точка D, така че DBC = CAB. Ако AD = 16 cm, DC = 2 cm и BD = 5 cm, то дължината на страната AB е равна на:
- А)6 cm
- Б)15 cm
- В) cm
- Г)36 cm
- Д)нито едно от посочените
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Синусова теорема за ΔBCD и ΔABC, за да изразите АВ чрез ВС.
2. От Косинусова теорема за ΔBDC намерете cos α.
3. Намерете страната АВ от Косинусова теорема за ΔABD.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

В ΔABC AB = 24, а ъглополовящата BL разделя страната AC на части AL =15 и LC = 5. През точка L е построена права, успоредна на AB, която пресича BC в точка E. Отсечката CE е равна на:
- А)12
- Б)8
- В)6
- Г)2
- Д)1
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете LE от подобието на ΔLEC и ΔABC.
2. Отново от подобието на ΔLEC и ΔABC намерете страната CE.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- AC = AL + CL = 15 + 5 = 20.
- Доказваме, че ΔBLE – равнобедрен:
  BL – ъглополовяща ABL = LBE, но LE || AB BLE = ABL, тогава LBE = BLE, т.е. ΔBLE – равнобедрен. Затова LE = BE = y.
- Намираме LE:
  ΔLEC ~ ΔABC по I признак, защото: 1) С – общ; 2) ELC = BAC – като съответни ъгли на LE || AB LE = y = 6.
- Нека СЕ = x, тогава BC = CE + BE = x + 6.
- Намираме търсената отсечка СЕ:
  ΔLEC ~ ΔABC 3x = 6 x = CE = 2.
- Верен отговор Г).

Даден е ΔABC, в който AC = 5 cm, AB = 8 cm. Ъглополовящата на BAC пресича страната BC в точка L така че BL = 2 cm. Дължината на отсечката CL е:
- А)4 cm
- Б)3,75 cm
- В)2 cm
- Г)1,25 cm
- Д)1 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойство на ъглополовящата.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме правило (5) от свойствата на ъглополовящата:
  AL – ъглополовяща = CL = = 1, 25 cm.
- Верен отговор Г).

Страните AB, BC и AC на ΔABC са равни съответно на 4 cm, 3 cm и 2 cm. Ако M е точка от страната BC и е на равни разстояния от AB и AC, то отсечката CM е равна на:
- А)0,5 cm
- Б)1 cm
- В)1,5 cm
- Г)2 cm
- Д)1,25 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Докажете, че АМ е ъглополовяща и използвайте правило (5) от свойствата на ъглополовящата.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Щом т. М е на равни разстояния от AB и AC, то АМ е ъглополовяща на ъгъл А. Тогава от свойство на ъглополовящата следва, че:
  = , т.е. CM = x, BM = 2x.
- От чертежа намираме СМ = х:
  CM + BM = BC x + 2x = 3 x = CM = 1 cm.
- Верен отговор Б).

Страните на триъгълник са BC = 27 cm, AC = 36 cm и AB = 21 cm. Намерете отношението в което центърът на вписаната окръжност дели ъглополовящата CL (L AB), считано от точка C.
- А)2 : 1
- Б)1 : 2
- В)4 : 1
- Г)3 : 1
- Д)1 : 3
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От свойство на ъглополовяща в ΔABC намерете отсечката AL.
2. Търсеното отношение намерете от свойство на ъглополовяща в ΔALC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме отсечката AL:
  - CL – ъглополовяща в ΔABC = , т.е. AL = 4x, LB = 3x.
  - AL + LB = AB 4x + 3x = 21 x = 3.
  - AL = 4x = 4.3 = 12.
- Намираме търсеното отношение:
  AO – ъглополовяща в ΔALC , т.е. CO : OL = 3 : 1.
- Верен отговор Г).

Даден е ΔABC със страни AB = 12 и AC = 15. Построена е ъглополовящата AL (L BC) и през точка L е построена права LP (P AB) и LP||AC. Отношението S_ΔLPB:S_ΔABC е равно на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От свойство на ъглополовяща AL намерете каква част е BL от ВС.
2. Използвайте свойство на подобните ΔPBL и ΔABC, за да намерите търсеното отношение.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- AL – ъглополовяща в ΔABC = , т.е. BL = 4x, LC = 5x.
- Тогава BC = BL + LC = 4x + 5x = 9x.
- Намираме търсеното отношение:
  ΔPBL ~ ΔABC по I признак, защото: 1) B – общ; 2) LPB = BAC – като съответни ъгли на PL || AC = .
- Верен отговор Д).

В ΔABC със страни AC=5cm и BC = 8cm отсечката CL (L AB) е ъглополовящата на ACB. Ъглополовящата на ABC пресича CL в точка M, като я дели в отношение CM : ML = 2 :1. Дължината на страната AB е равна на:
- А)8 cm
- Б)7,5 cm
- В)6,5 cm
- Г)6 cm
- Д)4,5 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойство на ъглополовящата в ΔLBC и ΔABC.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме BL:
  BM – ъглополовяща в ΔLBC BL = 4.
- Намираме AL:
  CL – ъглополовяща в ΔABC = AL = = 2,5.
- AB = AL + LB = 2,5 + 4 = 6,5 cm.
- Верен отговор В).

В равнобедрения ΔABC (AC= BC) отсечката AL (L BC) е ъглополовяща, LC = 2BL и периметърът на ΔABC е 15 cm. Дължината на BL в cm е:
- А)6
- Б)3
- В)2
- Г4
- Д)5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Отбележете BL = x, AB = y и съставете система от две уравнения с тези две неизвестни.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека BL = x, AB = y. Тогава от условието следва, че LC = 2x и получаваме BC = 3x.
- ΔABC – равнобедрен AC = BC = 3x.
- Намираме BL:
  - AL – ъглополовяща в ΔABC y = x.
  - P_ΔABC = AB + AC + BC 15 = x + 3x + 3x x = 2, т.е. BL = x = 2.
- Верен отговор В).

Окръжността, вписана в равнобедрен триъгълник, разделя височината към основата му на две части, които са в отношение 1:3, считано от върха на триъгълника. Ако основата има дължина 12 cm, дължината на бедрото е:
- А)10 cm
- Б)12 cm
- В)16 cm
- Г)18 cm
- Д)20 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че центърът на вписаната окръжност т. О лежи на височината СН на триъгълника.
2. Изразете СН и ОН чрез радиуса на вписаната окръжност.
3. Използвайте свойство на ъглополовяща в ΔAHC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- СН – височина в ΔABC – равнобедрен СН – ъглополовяща и медиана, т.е. центърът на вписаната окръжност лежи на CH и AH = BH = AB = 6 cm.
- Нека окръжността пресича СН в т. Е, тогава от условието CE = y, EH = 3y.
- Но EO = OH = r 3y = 2r, т.е. y = r.
- CO = OE + EC = r + r = r.
- Намираме бедрото АС:
  AO – ъглополовяща в ΔAHC AC = 10 cm.
- Верен отговор А).

В равнобедрен ΔABC с основа AB = 8 mm е вписана окръжност. Центърът O на окръжността дели височината CH в отношение 5:2. Дължината на AC е равна на:
- А)0,5 cm
- Б)1,5 cm
- В)1 cm
- Г)2 cm
- Д)4,5 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойство на ъглополовяща в ΔAHC.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- СН – височина в ΔABC – равнобедрен СН – ъглополовяща и медиана, т.е. центърът на вписаната окръжност лежи на CH и AH = BH = 4 mm = 0,4 cm.
- Намираме бедрото АС:
  AO – ъглополовяща в ΔAHC AC = 1 cm.
- Верен отговор В).

В равнобедрен ΔABC (AC=BC) е вписана окръжност k с център О. Лъчът BO^→ пресича страната AC в точка Р, като AP = 6 cm и PС =12 cm. Периметърът на ΔABC е :
- А)72 cm
- Б)32 cm
- В)9 cm
- Г)45 cm
- Д)невъзможно да се определи
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойства на равнобедрен триъгълник и ъглополовяща.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- AC = AP + PC = 6 + 12 = 18 cm.
- ΔABC – равнобедрен BC = AC = 18 cm.
- т. О – център на вписаната окръжност ВР – ъглополовяща.
- Намираме АВ като използваме свойство на ъглополовящата ВР:
  BP – ъглополовяща в ΔABC AB = 9 cm.
- P_ΔABC = AB + 2BC = 9 + 2.18 = 45 cm.
- Верен отговор Г).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура