Ирационални уравнения и неравенства

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Вижте:

ТеорияОсновни задачиУНСС – уравненияУНСС – неравенства

Тест – Технически университет и матура

Произведението от корените на уравнението = е:
- А)–8
- Б)8
- В)4
- Г)–2
- Д)0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Ирационалното уравнение е в основен вид. За решаването му приложете Правило І.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Ирационалното уравнение е в основен вид. Решаваме го на две стъпки:
  - Без да търсим ДМ повдигаме двете му страни на квадрат и решаваме полученото уравнение:
    = x – = 2 x² – 8 = 2x x² – 2x – 8 = 0; x₁ = –2, x₂ = 4.
  - Проверяваме корените:
    При x₁ = –2 имаме = , т.е. x₁ = –2 е решение на даденото уравнение.
    
    При x₂ = 4 имаме = , т.е. x₂ = 4 е решение на даденото уравнение.
- Намираме произведението на корените:
  x₁ . x₂ = –2 . 4 = –8.
- Верен отговор А).

Броят на решенията на уравнението е:
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)3
- Д)Безброй много
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Ирационалното уравнение е в основен вид. За решаването му приложете Правило І.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Ирационалното уравнение е в основен вид. Дясната му страна не е отрицателна, защото е корен квадратен, т.е. без да търсим ДМ повдигаме на квадрат и решаваме полученото уравнение:
  2 – x = x – 2 x = 2.
- При това x даденото уравнение е вярно, т.е. уравнението има един корен.
- Верен отговор Б).

Решенията на уравнението са:
- А)
- Б)–
- В)– и
- Г)няма решение
- Д)безброй много
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте уравнението до основен вид и го решете по Правило ІІ.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото уравнение до основен вид и го решаваме по формула (7):
- Верен отговор Г).

Броят на решенията на уравнението са:
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)4
- Д)Безброй много
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Независимо от това, че g(x) < 0 уравнението има едно решение, защото само при една стойност на х уравнението е вярно (това решение може да се намери чрез директна проверка).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Ирационалното уравнение е в основен вид, но g(x) = < 0.
- Независимо от това, уравнението има едно решение, защото само при една стойност на х лявата страна на уравнението е равна на дясната страна (от двете страни на равенството трябва да имаме 0, а това е така само, ако x = 2,5).
- Верен отговор Б).

Най-голямото число x, за което е вярно, че = 9, е:
- А)3
- Б)7
- В)5
- Г)9
- Д)11
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте ирационалното уравнение в модулно и го решете като модулно.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Формула (3), за да преобразуваме ирационалното уравнение в модулно:
  = 9 |16 – x²| = 9.
- Разглеждаме две уравнения:
  - 16 – x² = 9 7 – x² = 0; x_1/2 = ± .
  - 16 – x² = –9 25 – x² = 0; x_3/4 = ±5.
- Най-голямото число от решенията е x₃ = 5.
- Верен отговор В).

Сборът от всички корени на уравнението = – x е:
- А)–1
- Б)0
- В)–3
- Г)–2
- Д)Уравнението няма решение
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете уравнението като използвате формула (7) и отговорете на въпроса.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Уравнението е в основен вид. Затова използваме формула (7):
  = – x x = – 2.
- Търсеният сбор е – 2, защото коренът е само един.
- Верен отговор Г).

Корените на уравнението са:
- А)–2
- Б)–3
- В)–2 и –3
- Г)2 и 3
- Д)Уравнението няма решение
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Ирационалното уравнение е в основен вид. За решаването му приложете Правило ІІ.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Ирационалното уравнение е в основен вид и прилагаме формула (7):
- Верен отговор A).

Корен на уравнението е числото:
- А)–5
- Б)–3
- В)–1
- Г)1
- Д)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Ирационалното уравнение е в основен вид. За решаването му приложете Правило ІІ.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Ирационалното уравнение е в основен вид и прилагаме формула (7):
- Верен отговор В).

Сборът на корените на уравненията и = 2 е равен на:
- А)10
- Б)6
- В)5
- Г)0
- Д)–2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Решете ирационалното уравнение по Правило І.
2. Решете дробното уравнение.
3. Отговорете на въпроса.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Ирационалното уравнение е в основен вид. Решаваме го по Правило І:
  - Без да търсим ДМ повдигаме двете му страни на квадрат и решаваме полученото уравнение:
    x² + 3x – 10 = 0, x₁ = –5, x₂ = 2.
  - Проверяваме корените:
    При x₁ = –5 имаме = , т.е. x₁ = –5 е решение на даденото уравнение.
    
    При x₂ = 2 имаме , но подкоренната величина не може да е отрицателна, т.е. x₂ = 2 не е решение на даденото уравнение.
- Решаваме дробното уравнение:
  - Намираме ДМ:
    x – 1 ≠ 0 x ≠ 1.
  - Привеждаме под общ знаменател и решаваме полученото линейно уравнение:
    = 2 x + 1 = 2(x – 1) x₃ = 3.
- Отговаряме на въпроса:
  x₁ + x₃ = –5 + 3 = –2.
- Верен отговор Д).

Ако = –1 – x, то числото a е равно на:
- А)1
- Б)2
- В)
- Г)–1
- Д)друг отговор
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете неизвестното x от второто ирационално уравнение и го заместете в първото.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Второто ирационалното уравнение е в основен вид. Решаваме го по Правило ІІ:
  = –1 – x = –1.
- С така полученото неизвестно заместваме в първото уравнение:
  a = .
- Верен отговор В).

Решенията на уравнението (9 – x²) = 0 са:
- А)1 и –3
- Б)1 и 3
- В)–3, –1 и 1
- Г)–3 и 3
- Д)друг отговор
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ и решете уравнение от вида
a.b = 0.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ:
  x – 1 ≥ 0 x ≥ 1.
- Уравнението е от вида a.b = 0 и затова се разпада на две уравнения:
  - 9 – x² = 0 (3 – x)(3 + x) = 0 x₁ = 3, x₂ = –3 ∉ ДМ.
  - = 0 ↑ ² x – 1 = 0 x₃ = 1.
- Решенията на даденото уравнение са: 1 и 3.
- Верен отговор Б).

Броят на решенията на уравнението (x – 1)² = 0 е равен на:
- А)Безброй много
- Б)0
- В)1
- Г)2
- Д)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ и решете уравнение от вида
a.b = 0.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ:
  x – 2 ≥ 0 x ≥ 2.
- Уравнението е от вида a.b = 0 и затова се разпада на две уравнения:
  - (x – 1)² = 0 x – 1 = 0 x₁ = 1 ∉ ДМ.
  - = 0 ↑ ² x – 2 = 0 x₂ = 2.
- Решението на даденото уравнение е x = 2.
- Верен отговор В).

Сборът от всички корени на уравнението (x – 1)(x² + – 2) = 0 е:
- А)3
- Б)2
- В)–1
- Г)0
- Д)1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ и решете уравнение от вида
a.b = 0.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ:
  x ≥ 0.
- Уравнението е от вида a.b = 0 и затова се разпада на две уравнения:
  - x – 1 = 0 x₁ = 1.
  - x² + – 2 = 0 x² + x – 2 = 0; x₂ = –2 ∉ ДМ, x₃ = 1.
- Даденото уравнение има само един корен, защото x₁ = x₃ = 1.
- Верен отговор Д).

Колко са решенията на уравнението x³ – 9x + 8 = 0?
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)4
- Д)Безброй много
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете ДМ.
2. Внесете х под корен и положете корена.
3. Решете полученото квадратно уравнение.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ:
  x ≥ 0.
- Преобразуваме даденото уравнение:
  x³ – 9x + 8 = 0 x³ – 9 + 8 = 0.
- Полагаме:
  = y ↑ ² x³ = y², ДМ_y: y ≥ 0.
- Заместваме в уравнението и решаваме полученото квадратно уравнение:
  y² – 9y + 8 = 0, D = 9² – 4.8 = 49, y₁ = 1, y₂ = 8.
- От полагането намираме x:
  - При y₁ = 1 = 1 ↑ ² x³ = ±1, т.е. x₁ = 1 ДМ, x₂ = –1 ∉ ДМ.
  - При y₂ = 8 = 8 ↑ ² x³ = ±64, т.е. x₃ = 4 ДМ, x₄ = –4 ∉ ДМ.
- Даденото уравнение има два корена: x₁ = 1 и x₃ = 4.
- Верен отговор В).

Броят на целите числа, които са решения на неравенството < 1 е:
- А)0
- Б)2
- В)4
- Г)7
- Д)11
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Решете ирационалното неравенство по Формула 8.
2. Решете модулното неравенство по Формула (3).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Ирационалното неравенство е в основен вид и g(x) = 1 > 0. Затова, намираме ДМ:
  |x| – 2 ≥ 0 |x| ≥ 2 x (–∞; –2] [2; +∞).
- Повдигаме на квадрат двете страни на даденото неравенство:
  |x| – 2 < 1 |x| < 3 x (–3; 3).
- Засичаме с ДМ и получаваме крайните решения: x (–3; –2] [2; 3).
- В тези интервали има две цели числа: –2 и 2.
- Верен отговор Б).

Решенията на неравенството ≥ 2 са:
- А) (1; +∞)
- Б)(1; +∞)
- В)(–∞; –2]
- Г)
- Д)(–∞; –2] (1; +∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете неравенството като използвате формула (9).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Неравенството е ирационално, при което g(x) = 1 > 0. От формула (9) се вижда, че решение има само втората система, т.е. повдигаме на квадрат двете страни на даденото неравенство и получаваме:
  ≥ 0 x (–∞; –2] (1; +∞).
- Верен отговор Д).

Решенията на неравенството са:
- А)x Ø
- Б)x (–∞; +∞)
- В)x (–∞; –5]
- Г)x [–5; –3]
- Д)x [–3; 0)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете неравенството като използвате формула (9).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формула (9) получаваме системите:
- Крайните решения на даденото неравенство са x [–5; –3].
- Верен отговор Г).

Решенията на неравенството 4a – ≥ 6 са:
- А)a (–∞; 1] [2; +∞)
- Б)a [1; 2]
- В)a [2; 3]
- Г)a [3; +∞)
- Д)a [3; +∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте неравенството до основен вид и го решете по формула (8).

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Кои са решенията на неравенството ≤ 4?
- А)x =
- Б)x (–∞; –2] (0; +∞)
- В)x = 2
- Г)x (0; +∞)
- Д)x (0; +∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте даденото неравенство и го решете чрез полагане.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Решението на неравенството ≤ 0 е:
- А)(–∞; –3) (2; +∞)
- Б)[–4; –3) (2; 3]
- В)(–∞; –3] (2; +∞)
- Г)[–4; 3]
- Д)(–∞; –3] [2; +∞)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете ДМ.
2. Освободете се от знаменателя.
3. Решете полученото квадратно неравенство.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ:
  x² + x – 6 > 0; x (–∞; –3) (2; +∞).
- Привеждаме под общ знаменател двете страни на даденото неравенство, защото в ДМ знаменателят е винаги положителен и решаваме полученото квадратно неравенство:
  x² + x – 12 ≤ 0; x [–4; 3].
- Засичаме с ДМ и получаваме крайните решения: x [–4; –3) (2; 3].
- Верен отговор Б).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура