Системи. Редици и прогресии

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Вижте:

ТеорияОсновни задачиТест за УНСС

Тест – Технически университет и матура<

Наредените двойки числа (x; y), които са решения на системата , са разположени:
- А)само в първи квадрант
- Б)само в четвърти квадрант
- В)във втори и в четвърти квадрант
- Г)в първи и в трети квадрант
- Д)в първи и в четвърти квадрант
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете системата чрез заместване.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата чрез заместване:
  –x = 6 – x² x² – x – 6 = 0
- Решенията са наредените двойки: (–2; 2) и (3; –3).
- Точките с такива координати са от ІІ квадрант и ІV квадрант.
- Верен отговор B).

Ако (x, y) е решение на системата , то произведението x.y е равно на:
- А)10
- Б)15
- В)20
- Г)48
- Д)64
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете системата чрез заместване.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата чрез заместване:
  x² – (8 – x)² = 16 16x = 80
- Тогава x.y = 5.3 = 15.
- Верен отговор Б).

Ако (x, y) е решение на системата , то произведението x.y е равно на:
- А)–3
- Б)5
- В)6
- Г)8
- Д)–6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете системата чрез събиране.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата чрез събиране:
  + 5x.y = 30 x.y = 6.
- Верен отговор В).

Ако (x, y) е решение на системата , то частното е равно на:
- А)
- Б)2
- В)–
- Г)–4
- Д)–1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Допълнете до точен квадрат (формула 14) и решете системата чрез полагане.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Ако (x, y) е решение на системата , то ( x+ y)² е равно на:
- А)25
- Б)–5
- В)5
- Г)0
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете системата чрез събиране.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата чрез събиране:
  x² + 2xy + y² = 25 (x + y)² = 25.
- Верен отговор А).

Ако (x, y) е решение на системата и x ≠ y, то разликата (x – y) е равна на:
- А)2
- Б)1
- В)–1
- Г)3
- Д)–3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете системата чрез изваждане.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата чрез изваждане:
  x² – xy + y² – (x – y + xy) = 0 x² – 2xy + y² – (x – y) = 0 (x – y)² – (x – y) = 0 (x – y)(x – y – 1) = 0.
- Решенията на това уравнение са:
  - x – y = 0 x = y. Това решение противоречи на условието, че x ≠ y, т.е. x = y не е търсеното решение.
  - x – y – 1 = 0 x – y = 1.
- Верен отговор Б).

Дадена е редица с общ член a_n = , n . Ако числото 2⁸ : 2^–8 е член на същата редица, то номерът му n е равен на:
- А)2
- Б)4
- В)8
- Г)16
- Д)24
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Съставете показателно уравнение и го решете спрямо n.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме показателното уравнение:
  2^{8 – (–8)} = 2¹⁶ n² = 16 n = ±4.
- Но n е номер на член от редица, т.е. трябва да е естествено число и затова n = 4.
- Верен отговор Б).

Ако общият член на числова редица е a_n = (–1)^{n + 1}(n + 1) – 3.(–1)ⁿ, то a₁₃ е равен на:
- А)–16
- Б)–11
- В)10
- Г)17
- Д)22
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Определете n и заместете в дадената формула.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Търсим a₁₃, т.е. n = 13.
- Заместваме в дадената формула за a_n:
  a₁₃ = (–1)^{13 + 1}(13 + 1) – 3.(–1)¹³ = (–1)¹⁴ . 14 – 3.(–1)¹³ = 14 + 3 = 17.
- Верен отговор Г).

Дадена е числова редица с формула за общия член a_n = –n² + 8n, n . Най-големият от първите пет члена е с номер:
- А)5
- Б)4
- В)3
- Г)2
- Д)7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Общият член на числовата редица е квадратна функция. За да отговорите на въпроса приложете Свойство 3.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Общият член на числовата редица е квадратна функция.
- От Свойство 3 се вижда, че тази функция има най-голяма стойност при:
  n = – = 4.
- Верен отговор Б).

Формулата на общия член a_n = an² + bn + c на числовата редица, първите пет члена от която са изобразени графично на фигурата, е:
- А)a_n = –n² + 6n – 7
- Б)a_n = n² – 6n + 3
- В)a_n = –n² – 6n + 15
- Г)a_n = –n² – 6n + 29
- Д)друг отговор
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От графиката определете n и заместете във всеки от отговорите.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От графиката определяме n и след заместване във всеки отговор проверяваме, че само при отговор А) се получава съответната стойност на a_n.
- Верен отговор А).

Броят на членовете на аритметичната прогресия: –1, log₃ 3⁵, 11, ..., 491 е равен на:
- А)83
- Б)81
- В)38
- Г)103
- Д)82
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Пресметнете логаритъма по формула (9).
2. Намерете n от Теорема 1.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Пресмятаме логаритъма:
  log₃ 3⁵ = 5log₃ 3 = 5.
- Намираме разликата на аритметичната прогресия:
  d = 5 – (–1) = 6.
- За аритметичната прогресия имаме: a_n = 491, a₁ = –1, d = 6 и прилагаме Теорема 1:
  491 = –1 + (n – 1).6 n = 83.
- Верен отговор А).

За аритметична прогресия с общ член a_n е известно, че a₄ = – и a₁₁ = 3. Разликата на прогресията е:
- А)
- Б)
- В)–
- Г)–
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Въведете две неизвестни a₁ и d и от Теорема 1 и дадените членове на аритметичната прогресия, съставете система.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Въвеждаме две неизвестни: a₁ и d и от Теорема 1 съставяме системата:
  3d – 10d = – – 3 d = .
- Верен отговор Д).

За аритметична прогресия с общ член a_n е известно, че a₄ = 16 и a₇ + a₁₀ = 5. Разликата на прогресията е:
- А)–3
- Б)3
- В)–2
- Г)2
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Въведете две неизвестни a₁ и d, и от Теорема 1 и дадените членове на аритметичната прогресия, съставете система.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Въвеждаме две неизвестни: a₁ и d и прилагаме Теорема 1:
  - a₄ = a₁ + 3d.
  - a₇ = a₁ + 6d.
  - a₁₀ = a₁ + 9d.
- Съставяме системата и я решаваме:
- Верен отговор А).

Ако четвъртият член на аритметична прогресия е 5, то сумата от първите седем члена на тази прогресия е:
- А)30
- Б)20
- В)40
- Г)15
- Д)35
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теореми 1 и 2.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теореми 1 и даденото намираме:
  - a₄ = 5 a₁ + 3d = 5.
  - a₇ = a₁ + 6d.
- От Теорема 2 намираме:
  .7 = (a₁ + 3d).7 = 5.7 = 35.
- Верен отговор Д).

За растяща аритметична прогресия с общ член a_n е известно, че a₁ + a₂ + a₃ = 0, a₁² + a₂² + a₃² = 98. Разликата на прогресията е равна на:
- А)3
- Б)4
- В)5
- Г)6
- Д)7
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Въведете две неизвестни a₁ и d.
2. От Теореми 1 и дадените два израза съставете система.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- За първото равенство прилагаме Теореми 1:
  a₁ + a₂ + a₃ = 0 a₁ + a₁ + d + a₁ + 2d = 0 3a₁ + 3d = 0
  (1): a₁ = –d.
- Прилагаме Теорема 1 за второто равенство:
  a₁² + a₂² + a₃² = 98 a₁² + (a₁ + d)² + (a₁ + 2d)² = 98 3a₁² + 6a₁d + 5d² = 98.
- Заместваме с (1):
  3.(–d)² + 6.(–d).d + 5d² = 98 d² = 49 d = ±7.
- По условие прогресията е растяща, т.е. d > 0 d = 7.
- Верен отговор Д).

Ако за аритметична прогресия a₁, a₂, a₃, ... е известно, че a₄ + a₁₃ = 49, то сборът a₁ + a₆ + a₁₁ + a₁₆ е:
- А)49
- Б)98
- В)147
- Г)196
- Д)240
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Свойство 2.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Свойството на равната отдалеченост (Свойство 2) следва, че:
  a₁ + a₁₆ = a₆ + a₁₁ = a₄ + a₁₃ = 49.
- Тогава:
  a₁ + a₆ + a₁₁ + a₁₆ = a₁ + a₁₆ + a₆ + a₁₁ = 49 + 49 = 98.
- Верен отговор Б).

Броят на членовете на крайна геометрична прогресия a₁, a₂, ..., a_n, за която S_n = 160, a₃ – a₁ = 32 и a₄ – a₂ = 96, е равен на:
- А)2
- Б)3
- В)4
- Г)5
- Д)6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Въведете две неизвестни a₁ и q и от Теорема 1 и дадените равенства съставете система.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За геометричната прогресия въвеждаме две неизвестни: a₁ и q и прилагаме Теорема 1:
  - a₂ = a₁.q.
  - a₃ = a₁.q².
  - a₄ = a₁.q³.
- От дадените равенства съставяме система и я решаваме:
- От Теорема 2 следва, че:
  3ⁿ = 81 3ⁿ = 3⁴ n = 4.
- Верен отговор В).

За геометричната прогресия a₁, a₂, ..., a₆ е известно, че a₃.a₄ = –3. Произведението a₁.a₂.a₃.a₄.a₅.a₆ е равно на:
- А)27
- Б)9
- В)–9
- Г)–27
- Д)81
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Свойството на равната отдалеченост на членовете на геометрична прогресия (Свойство 2).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Свойството на равната отдалеченост (Свойство 2) следва, че:
  a₁.a₆ = a₂.a₅ = a₃.a₄ = –3.
- Тогава:
  a₁.a₂.a₃.a₄.a₅.a₆ = (–3).(–3).(–3) = –27.
- Верен отговор Г).

Ако редицата с общ член a_n е геометрична прогресия с частно q = 3, то стойността на израза е:
- А)36
- Б)6
- В)9
- Г)18
- Д)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теорема 1.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За геометричната прогресия прилагаме Теорема 1:
  - a₆ = a₁.q⁵.
  - a₈ = a₁.q⁷.
  - a₁₁ = a₁.q¹⁰.
- Тогава:
  = q² + q² = 2q² = 2.3² = 18.
- Верен отговор Г).

Числата a, b и c са различни от нула и в посочения ред са последователни членове на геометрична прогресия. Числата a, 2b и 3c в посочения ред са последователни членове на аритметична прогресия. Ако частното q на геометричната прогресия не е цяло число, то q е равно на:
- А)–
- Б)–
- В)–
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Съставете система като използвате свойствата за три последователни члена на геометрична прогресия и аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За членовете на геометричната прогресия прилагаме Свойство (1):
  a, b, c (1): b² = a.c.
- За членовете на аритметичната прогресия прилагаме Свойство (1):
  a, 2b, 3c 2.2b = a + 3c (2): 4b = a + 3c.
- Решаваме система съставена от равенства (1) и (2):
  b² = (4b – 3c).c 3c² – 4bc + b² = 0.
- Това уравнение е хомогенно и затова делим двете му страни на едното неизвестно:
  3c² – 4bc + b² = 0 | : b² + 1 = 0.
- Полагаме = q, където q е частното на геометричната прогресия и получаваме:
  3q² – 4q + 1 = 0, q₁ = 1, q₂ = .
- По условие q не е цяло число, т.е. търсеното решение е q = .
- Верен отговор Д).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура