Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Стереометрия

Прави и равнини

Съдържание на темата:

I. Равнина
II. Прави и равнини

Взаимно положение между две прави
Взаимно положение между права и равнина
Взаимно положение между две равнини

III. Проектиране и разстояния в пространството

Успоредно проектиране
Ортогонално проектиране. Наклонена. Теорема за трите перпендикуляра
Разстояния в пространството

IV. Ъгли в пространството

Ъгъл между пресичащи се прави
Ъгъл между успоредни прави
Ъгъл между кръстосани прави
Ъгъл между права и равнина
Ъгъл между две равнини

Теория

I. Равнина

Равнина – Три точки А, В,С, които не лежат на една права, определят една равнина α.
Точно една равнина минава през:
- права и точка, не лежаща на правата;
- две пресичащи се прави;
- две успоредни прави.

II. Взаимни положения между прави и равнини

Две прави в пространството са:
Пресичащи се

О – Когато лежат в една равнина и имат една обща точка.

Успоредни

О – Когато лежат в една равнина и нямат обща точка.

(1): Ако една от две успоредни прави пресича равнина, то и другата права пресича равнината (Фиг. 1).

(2): Ако a || b и a || c ,то b || c (Фиг. 2).

(3): Ако две пресичащи се равнини α и β (Фиг. 3) минават съответно през успоредните прави a и b, то пресечницата им c е успоредна на a и b.

Кръстосани

Определение – Когато през тях не минава нито една равнина.

Например: На Фиг. 5 правите AB и CD са кръстосани, защото AB лежи в равнината (ABC), а точката C, която е прободната точка на CD с равнината (ABC), не лежи на AB, т.е. правите AB и CD не лежат в една равнина.

T_П (критерий за кръстосани прави) – Ако една права a лежи в дадена равнина α (Фиг. 4), а друга права b пресича тази равнина α в точка М, която не лежи на първата права a, то правите a и b са кръстосани.

(4): Ос-отсечка на две кръстосани прави – Права g (или отсечката MN), която пресича всяка от кръстосаните прави AB и CD (Фиг. 5), и е перпендикулярна на всяка от тях.

(4.1): Две кръстосани прави имат точно една ос.

(4.2): Дължината на оста-отсечка на две кръстосани прави е най-късото разстояние между тях.

Бележка:
Най-късото разстояние между две прави е разстоянието от едната права до равнината, която минава през другата права и е успоредна на първата.
Перпендикулярни
Две прави са перпендикулярни, ако:

ъгълът между тях е прав (при пресекателни прави);

са успоредни съответно на две перпендикулярни прави (при кръстосани прави).
Права и равнина в пространството са:
Успоредни
(5): Ако правата и равнината нямат обща точка.

(6): Ако правата b е успоредна на някоя права a от дадена равнина α, то b || α (Фиг. 3) и обратно: Ако b || α, то в равнина α има права успоредна на дадената.

(6.1): Ако b || α, то b е успоредна и на пресечницата c на тази равнина с всяка равнина (например β от Фиг. 3), която минава през b.

(7): Ако една права d (Фиг. 3) е успоредна едновременно на две пресичащи се равнини α и β, то тя е успоредна и на пресечницата им c.
Бележки:

Ако правата b || α, то НЕ Е ВЯРНО, че b е успоредна на всички прави от α.

НЕ Е ВЯРНО, че, ако две прави са успоредни на една равнина, то те са успоредни помежду си.
Перпендикулярни

(8): Права и равнина са перпендикулярни, ако правата е перпендикулярна на всички прави в равнината и обратно.

(9): Ако права a е перпендикулярна на две пресичащи се прави b и c от една равнина α, то правата a е перпендикулярна на равнината α (Фиг. 6).

(9.1): Ако права a е перпендикулярна на равнина α, то права b || a, също е перпендикулярна на α.
Две равнини в пространството са:

Успоредни

(10): Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, то двете равнини са успоредни.

(11): Пресечниците a и b (Фиг. 7) на две успоредни равнини α и β с трета равнина γ са успоредни помежду си.

(12): Две успоредни равнини α и β (Фиг. 7), отсичат от две успоредни прави c и d равни отсечки (AD = BC).

(13): Ако две пресичащи се в точка O прави d и g (Фиг. 7) са пресечени с две успоредни равнини α и β съответно в точките C и B, E и F, то .

Перпендикулярни

(14): Две равнини α и β са перпендикулярни, ако едната от тях, например β (Фиг. 8) съдържа права a, перпендикулярна на другата равнина α.

(15): Ако две пресекателни равнини α и β (Фиг. 9) са перпендикулярни на трета равнина γ, то и пресечницата им a е перпендикулярна на γ (и обратното).

(16): Ако две равнини са перпендикулярни на една и съща права, то те са успоредни помежду си (и обратното).

(17): Ако две равнини α и β (Фиг. 8) са перпендикулярни, то всяка права a, която лежи в едната от тях и е перпендикулярна на пресечницата им b, е перпендикулярна и на другата равнина (и обратно).

III. Проектиране и разстояния в пространството

Успоредно проектиране

Нека са дадени равнината α и правата l, която я пресича (Фиг. 10). През произволна точка A от пространството построяваме:

I) Единствената права g успоредна на l и минаваща през α.

II) Пробода A₁, на правата g с α.

Основни понятия (Фиг. 10):
- Проектиращо направление – Правата l определя проектиращото направление, т.е. всяка права успоредна на l, заедно с l, се нарича направление на правата l.
- Проектираща равнина – Равнината α, върху която се проектира точката.
- Проекционна права – Правата g успоредна на проектиращото направление и минаваща през точката А.
Успоредно проектиране (Фиг. 10) – Изображението, при което на всяка точка А се съпоставя нейната проекция (изображение) A₁ върху равнината α по дадено направление l.
Успоредна проекция на фигура
- Определение – образът на фигурата при успоредното проектиране.
- Свойства на успоредната проекция:
  (18): Успоредната проекция на отсечката OA (Фиг. 11), която не е от проектиращото направление l е отсечка върху равнината α – това е отсечката OA₁.
  
  (19): Успоредната проекция на права n (Фиг. 11), която е от проектиращото направление l е точка – прободната точка O.
  
  (20): Всяка права от проекционната равнина съвпада с проекцията си.
  
  (21): Всяка права успоредна на проекционната равнина съвпада с проекцията си.
  
  (22): Проекциите на две успоредни прави, които не принадлежат на проекционното направление l, са успоредни прави.
  
  (23): Отношението на две отсечки от една права (или успоредни на права), които не са от проекционното направление е равно на отношението на успоредните им проекции, т.е. (Фиг. 12).
  
  (24): Средата на една отсечка се проектира в средата на проекцията си.

Ортогонално проектиране. Наклонена. Теорема за трите перпендикуляра

Ортогонално проектиране – Успоредно проектиране, при което проекционното направление е перпендикулярно на проекционната равнина.
Бележка:
Всички свойства на успоредното проектиране се запазват и при ортогоналното проектиране.
Перпендикуляр и наклонена – Точка A е извън равнината α (Фиг. 13). Нека т. A₁ е ортогоналната ѝ проекция в α. Построяваме произволна права през т. А, тогава т. О е прободната точка на тази права с равнината α. Отсечката AA₁, се нарича перпендикуляр от A към α, а отсечките свързващи A с други точки от α (например OA), се наричат наклонени към α.

Например: Височината на пирамида с връх S е перпендикулярът от S към равнината на основата, а околните ѝ ръбове – наклонени към равнината на основата.

(25): При дадена равнина α и точка A α, перпендикулярът от A към α е по-малък от наклонената, т.е. AA₁ < AB (Фиг. 14).

(26): Ако AA₁ и AB са перпендикуляр и наклонена от А към α, то AB² = AA₁² + A₁B² (Фиг.14).

(27): Ако две наклонени AB и AC свързват една и съща точка A с ранината α (Фиг. 14), то:

(27.1): Наклонените са равни тогава и само тогава, когато са равни проекциите им в равнината α, т.е. ако A₁C = A₁B AB = AC.

(27.2): По-голяма наклонена има по-голяма проекция в равнината α, т.е. ако AB > AC A₁B > A₁C.

(27.3): Наклонените са равни точно тогава, когато сключват равни ъгли с проекциите си в равнината α, т.е. ако φ = δ AB = AC.

(27.4): По-голяма наклонена сключва по-малък ъгъл с проекцията си в равнината α, т.е. AB > AC, ако φ < δ.
Теорема за трите перпендикуляра
(28): Една права a (Фиг. 13) от дадена равнина α е перпендикулярна на права b, която е наклонена на α, тогава и само тогава, когато е перпендикулярна на ортогоналната ѝ проекция b₁, т.е. a b a b₁.

Разстояния в пространството

Разстояние от точка до права – Разстоянието от точка A до правата a (Фиг. 15) е най-малкото измежду разстоянията от A до всички точки от правата a, т.е. това е дължината на отсечката AA₁.
Правило за намиране на разстояние между точка и права:
1. Построяваме равнина α съдържаща точката A и правата a.
2. Намираме най-малкото разстояние от точката A до правата a в равнината α, т.е. начертаваме AA₁ перпендикулярна на a.
Разстояние от точка до равнина – То е равно на дължината на перпендикуляра AA₁ (Фиг. 16), спуснат от точката A до равнината α.
Разстояние между равнина и успоредна на нея права – Това е разстоянието от правата a (Фиг. 17) до нейната ортогонална проекция a₁ в равнината α, т.е. дължината на перпендикуляра AA₁. Това разстояние е най-малкото между точките от правата a и равнината α.
Разстояние между успоредни равнини – Това е разстоянието от произволна точка A (Фиг. 18) от едната равнина α до другата равнина β. Това разстояние е равно на разстоянието между точката A от едната равнина и проекцията ѝ A₁ в другата равнина, т.е. дължината на перпендикуляра AA₁.
Разстояние между кръстосани прави:
(29): Ако две прави са кръстосани, през едната минава точно една равнина, успоредна на другата. Разстоянието между кръстосаните прави е равно на разстоянието (дължината на перпендикуляра) от едната права до успоредната ѝ равнина, минаваща през другата права.

(30): Разстоянието между кръстосаните прави е дължината на тяхната ос-отсечка.

(31): Ако две прави са кръстосани, съществува една двойка, успоредни равнини, които ги съдържа. Разстоянието между правите е равно на разстоянието между равнините.

IV. Ъгли в пространството

(32): Нека ABC лежи в равнината α. Ако права BA₁ (Фиг. 19) не лежи в α, минава през точка B и сключва равни ъгли с раменете на ABC, т.е. A₁BC = A₁BA, то проекцията BO на правата върху равнината α съвпада с ъглополовящата на ABC, т.е. BO е ъглополовяща на ABC.

Ъгъл между успоредни прави

(33): Нека правите a и b (Фиг. 20) са успоредни на проекционната равнина α, то ъгълът, определен от тях е равен на ъгъла φ, определен от проекциите им a₁ и b₁.

Ъгъл между кръстосани прави

(34): Нека a и b са кръстосани прави (Фиг. 22) и нека a || a₁ и b || b₁, като a₁ и b₁ се пресичат в точка О, то ъгълът φ между правите a₁ и b₁ се нарича ъгъл между кръстосаните прави a и b.

Бележка:

На Фиг. 22 е разгледан ъгъла между кръстосаните прави a и b, когато точка О е произволна точка в пространството. В повечето случаи е удобно точката О да се избере върху една от двете кръстосани прави, както на Фиг. 21. Тогава успоредно се пренася само едната (например a || a₁) от двете кръстосани прави.

(35): Нека a и b са две кръстосани прави (Фиг. 23), а O и O₂ – две различни точки лежащи в една равнина α. Ъгълът φ (по-малкия от двата съседни ъгъла) между двете прави a₁ и b₁, които минават през O и са успоредни на a и b е равен на ъгъла между двете прави a₂ и b₂, които минават през O₂ и са съответно успоредни на a и b.

Ъгъл между права и равнина

(36): Ъгъл между правата a (Фиг. 24) и равнината α е острият ъгъл φ = (a, a₁) между правата a и ортогоналната ѝ проекция a₁ в равнината α.

(36.1): От всички ъгли, които една права сключва с правите от дадена равнина, най-малък е ъгълът, който тя образува с ортогоналната си проекция.

Ъгъл между две равнини

Двустенен ъгъл:
(37): Фигурата (λ, μ) образувана от две полуравнини λ и μ с общ контур AD (Фиг. 25). Общия контур AD се нарича – ръб, а полуравнините λ и μ – стени на ъгъла.
Линеен ъгъл на двустенен ъгъл:
(38): Ако от произволна точка O (Фиг. 25) от ръба на двустенен ъгъл (λ, μ) издигнем перпендикуляри On^→ и Om^→ съответно в стените λ и μ, то получения ъгъл (mOn) = φ се нарича линеен ъгъл на двустенния, т.е. линеен ъгъл е ъгъл, който се получава от пресичането на двустенен ъгъл с равнина перпендикулярна на ръба му. Всички линейни ъгли на един двустенен ъгъл, са равни.
Правило за построяване на линеен ъгъл на двустенен
Построяването на линеен ъгъл на двустенен ъгъл може да стане по следния начин (Фиг. 25):
- От ръба AD на двустенния ъгъл (λ, μ) в равнината μ издигаме перпендикуляр OC.
- Построяваме проекцията OC₁ на OC в другата равнина λ.
- По построение имаме OC перпендикулярна на AD и от Теоремата за трите перпендикуляра сме сигурни, че OC₁ перпендикулярна на AD.
- ъгъл (λ, μ) = ъгъл COC₁ = φ.
Връзка между лицето на многоъгълник и лицето на проекцията му върху равнината.
(39): Нека две равнини α и β образуват двустенен ъгъл φ (Фиг. 26). За лицето S на многоъгълник ABC от едната равнина и лицето S₁ на проекцията A₁B₁C₁ на този многоъгълник върху другата равнина е в сила равенството S₁ = S cos φ.