Нека са дадени равнината α и правата l, която я пресича (Фиг. 10). През произволна точка A от пространството построяваме:

I) Единствената права g успоредна на l и минаваща през α.

II) Пробода A₁, на правата g с α.

• Основни понятия (Фиг. 10):
  • Проектиращо направление – Правата l определя проектиращото направление, т.е. всяка права успоредна на l, заедно с l, се нарича направление на правата l.
  • Проектираща равнина – Равнината α, върху която се проектира точката.
  • Проекционна права – Правата g успоредна на проектиращото направление и минаваща през точката А.
• Успоредно проектиране (Фиг. 10) – Изображението, при което на всяка точка А се съпоставя нейната проекция (изображение) A₁ върху равнината α по дадено направление l.
• Успоредна проекция на фигура
  • Определение – образът на фигурата при успоредното проектиране.
  • Свойства на успоредната проекция:

    (18): Успоредната проекция на отсечката OA (Фиг. 11), която не е от проектиращото направление l е отсечка върху равнината α – това е отсечката OA₁.

    (19): Успоредната проекция на права n (Фиг. 11), която е от проектиращото направление l е точка – прободната точка O.

    (20): Всяка права от проекционната равнина съвпада с проекцията си.

    (21): Всяка права успоредна на проекционната равнина съвпада с проекцията си.

    (22): Проекциите на две успоредни прави, които не принадлежат на проекционното направление l, са успоредни прави.

    (23): Отношението на две отсечки от една права (или успоредни на права), които не са от проекционното направление е равно на отношението на успоредните им проекции, т.е. (Фиг. 12).

    (24): Средата на една отсечка се проектира в средата на проекцията си.

• Ортогонално проектиране – Успоредно проектиране, при което проекционното направление е перпендикулярно на проекционната равнина.
  Бележка:

  Всички свойства на успоредното проектиране се запазват и при ортогоналното проектиране.

• Перпендикуляр и наклонена – Точка A е извън равнината α (Фиг. 13). Нека т. A₁ е ортогоналната ѝ проекция в α. Построяваме произволна права през т. А, тогава т. О е прободната точка на тази права с равнината α. Отсечката AA₁, се нарича перпендикуляр от A към α, а отсечките свързващи A с други точки от α (например OA), се наричат наклонени към α.

  Например: Височината на пирамида с връх S е перпендикулярът от S към равнината на основата, а околните ѝ ръбове – наклонени към равнината на основата.

  (25): При дадена равнина α и точка A α, перпендикулярът от A към α е по-малък от наклонената, т.е. AA₁ < AB (Фиг. 14).

  (26): Ако AA₁ и AB са перпендикуляр и наклонена от А към α, то AB² = AA₁² + A₁B² (Фиг.14).

  (27): Ако две наклонени AB и AC свързват една и съща точка A с ранината α (Фиг. 14), то:

  (27.1): Наклонените са равни тогава и само тогава, когато са равни проекциите им в равнината α, т.е. ако A₁C = A₁B AB = AC.

  (27.2): По-голяма наклонена има по-голяма проекция в равнината α, т.е. ако AB > AC A₁B > A₁C.

  (27.3): Наклонените са равни точно тогава, когато сключват равни ъгли с проекциите си в равнината α, т.е. ако φ = δ AB = AC.

  (27.4): По-голяма наклонена сключва по-малък ъгъл с проекцията си в равнината α, т.е. AB > AC, ако φ < δ.

• Теорема за трите перпендикуляра

  (28): Една права a (Фиг. 13) от дадена равнина α е перпендикулярна на права b, която е наклонена на α, тогава и само тогава, когато е перпендикулярна на ортогоналната ѝ проекция b₁, т.е. a b a b₁.

• Разстояние от точка до права – Разстоянието от точка A до правата a (Фиг. 15) е най-малкото измежду разстоянията от A до всички точки от правата a, т.е. това е дължината на отсечката AA₁.
  Правило за намиране на разстояние между точка и права:

  1. Построяваме равнина α съдържаща точката A и правата a.
  2. Намираме най-малкото разстояние от точката A до правата a в равнината α, т.е. начертаваме AA₁ перпендикулярна на a.
• Разстояние от точка до равнина – То е равно на дължината на перпендикуляра AA₁ (Фиг. 16), спуснат от точката A до равнината α.
• Разстояние между равнина и успоредна на нея права – Това е разстоянието от правата a (Фиг. 17) до нейната ортогонална проекция a₁ в равнината α, т.е. дължината на перпендикуляра AA₁. Това разстояние е най-малкото между точките от правата a и равнината α.
• Разстояние между успоредни равнини – Това е разстоянието от произволна точка A (Фиг. 18) от едната равнина α до другата равнина β. Това разстояние е равно на разстоянието между точката A от едната равнина и проекцията ѝ A₁ в другата равнина, т.е. дължината на перпендикуляра AA₁.
• Разстояние между кръстосани прави:

  (29): Ако две прави са кръстосани, през едната минава точно една равнина, успоредна на другата. Разстоянието между кръстосаните прави е равно на разстоянието (дължината на перпендикуляра) от едната права до успоредната ѝ равнина, минаваща през другата права.

  (30): Разстоянието между кръстосаните прави е дължината на тяхната ос-отсечка.

  (31): Ако две прави са кръстосани, съществува една двойка, успоредни равнини, които ги съдържа. Разстоянието между правите е равно на разстоянието между равнините.

(32): Нека ABC лежи в равнината α. Ако права BA₁ (Фиг. 19) не лежи в α, минава през точка B и сключва равни ъгли с раменете на ABC, т.е. A₁BC = A₁BA, то проекцията BO на правата върху равнината α съвпада с ъглополовящата на ABC, т.е. BO е ъглополовяща на ABC.

(33): Нека правите a и b (Фиг. 20) са успоредни на проекционната равнина α, то ъгълът, определен от тях е равен на ъгъла φ, определен от проекциите им a₁ и b₁.

(34): Нека a и b са кръстосани прави (Фиг. 22) и нека a || a₁ и b || b₁, като a₁ и b₁ се пресичат в точка О, то ъгълът φ между правите a₁ и b₁ се нарича ъгъл между кръстосаните прави a и b.

(35): Нека a и b са две кръстосани прави (Фиг. 23), а O и O₂ – две различни точки лежащи в една равнина α. Ъгълът φ (по-малкия от двата съседни ъгъла) между двете прави a₁ и b₁, които минават през O и са успоредни на a и b е равен на ъгъла между двете прави a₂ и b₂, които минават през O₂ и са съответно успоредни на a и b.

(36): Ъгъл между правата a (Фиг. 24) и равнината α е острият ъгъл φ = (a, a₁) между правата a и ортогоналната ѝ проекция a₁ в равнината α.

(36.1): От всички ъгли, които една права сключва с правите от дадена равнина, най-малък е ъгълът, който тя образува с ортогоналната си проекция.

• Двустенен ъгъл:

  (37): Фигурата (λ, μ) образувана от две полуравнини λ и μ с общ контур AD (Фиг. 25). Общия контур AD се нарича – ръб, а полуравнините λ и μ – стени на ъгъла.

• Линеен ъгъл на двустенен ъгъл:

  (38): Ако от произволна точка O (Фиг. 25) от ръба на двустенен ъгъл (λ, μ) издигнем перпендикуляри On^→ и Om^→ съответно в стените λ и μ, то получения ъгъл (mOn) = φ се нарича линеен ъгъл на двустенния, т.е. линеен ъгъл е ъгъл, който се получава от пресичането на двустенен ъгъл с равнина перпендикулярна на ръба му. Всички линейни ъгли на един двустенен ъгъл, са равни.

  Правило за построяване на линеен ъгъл на двустенен

  Построяването на линеен ъгъл на двустенен ъгъл може да стане по следния начин (Фиг. 25):

  • От ръба AD на двустенния ъгъл (λ, μ) в равнината μ издигаме перпендикуляр OC.
  • Построяваме проекцията OC₁ на OC в другата равнина λ.
  • По построение имаме OC перпендикулярна на AD и от Теоремата за трите перпендикуляра сме сигурни, че OC₁ перпендикулярна на AD.
  • ъгъл (λ, μ) = ъгъл COC₁ = φ.
• Връзка между лицето на многоъгълник и лицето на проекцията му върху равнината.

  (39): Нека две равнини α и β образуват двустенен ъгъл φ (Фиг. 26). За лицето S на многоъгълник ABC от едната равнина и лицето S₁ на проекцията A₁B₁C₁ на този многоъгълник върху другата равнина е в сила равенството S₁ = S cos φ.