Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Стереометрия

• Определение (Фиг. 1 – Г) – Тяло, повърхнината на което е съставена от два еднакви кръга и цилиндрична повърхнина.
• Елементи – Прав кръгов цилиндър може да се получи при пълно завъртане на правоъгълник ABCD (Фиг. 1) около една от страните му, например около BC:
  • Основи – Двата еднакви кръга. На Фиг. 1 – Г) основите са кръговете с центрове B и C и радиус AB = DC = r.
  • Образуваща l – Отсечката AD (Фиг. 1) описваща цилиндрична повърхнина, се нарича образуваща l на правия кръгов цилиндър.
  • Радиус r – Отсечките AB и CD (Фиг. 1) описващи двата еднакви кръга и са радиусите на двете основи (AB = CD = r), се нарича радиус r на цилиндъра.
  • Ос на въртене – Отсечката BC (Фиг. 1) от въртящия се правоъгълник ABCD, която остава неподвижна.
  • Осно сечение – Правоъгълникът AA₃D₃D (Фиг. 1 – Г).
  • Височина h – Отсечката съединява центровете на двете основи и е перпендикулярна на двата радиуса AB и CD. На Фиг. 1 – Г) височината е h = BC = AD = A₃D₃ = l.
  Бележка:

  В прав кръгов цилиндър височината h съвпада с образуващата l, защото те са успоредни страни на въртящия се правоъгълник ABCD.

На Фиг. 2 е показана развивката на цилиндър. Тя се състои от:

• два кръга с радиус r, които са основите на цилиндъра;
• правоъгълник, едната страна на който е образуващата l (височината h), а другата е равна на дължината на окръжността C = 2πr на основата.

Ако Р = 2πr е периметърът (обиколката) на основата, r – радиусът на цилиндъра, h – височината на цилиндъра, то:
(1): S = P.h или S = 2πrh.

Ако с B = πr² отбележим лицето на основата,където r – радиус на цилиндъра, то:
(2): S₁ = S + 2B или S₁ = 2πr(h + r).

Ако с B = πr² отбележим лицето на основата, където r – радиус на цилиндъра и h височината на цилиндъра, то:
(3): V = B.h или V = πr²h.

• Определение – Тяло (Фиг. 3), заградено от конична повърхнина и кръг.
• Елементи – Прав кръгов конус може да се получи при пълно завъртане на правоъгълен ΔABC (Фиг. 3) около един от катетите му, например около BC.
  • Основа – Кръг (Фиг. 3 – Г) с център C и радиус CA =CA₁ = CA₂ = CA₃ = r.
  • Образуваща l – Хипотенузата AB (Фиг. 3) на ΔABC (C = 90°) описваща коничната повърхност, се нарича образуваща l на конуса.
  • Радиус r – Катетът AC (Фиг. 3) описващ кръга на основата, се нарича радиус r на конуса.
  • Ос на въртене – Катетът BC (Фиг. 3) от въртящия се ΔABC, който остава неподвижен.
  • Осно сечение – Равнобедреният ΔAA₃B (Фиг. 3 – Г) се нарича осно сечение.
  • Височина h – Разстоянието от върха B на конуса до центъра на основата. Това разстояние е равно на катета, около който се върти правоъгълният триъгълник. На Фиг. 3 – Г) височината е h = BC.
  Бележка:

  В прав кръгов конус височината h съвпада с оста на въртене.

Нека да имаме означенията: r – радиус на конуса, l – образуваща, то лицето S на околната повърхнина е:
(4): S = πrl.

Ако с B = πr² отбележим лицето на основата, където r – радиус на конуса, то:
(5): S₁ = S + B или S₁ = πr(l + r).

Ако с B = πr² отбележим лицето на основата, където r – радиус на конуса и h височината на конуса, то:

• Определение – Повърхнината (Фиг. 4), която се състои от всички точки в пространството на разстояние r от дадена точка О.
• Елементи на сфера – Сфера може да се получи при пълно завъртане на окръжност с център O и радиус r около диаметъра си (Фиг. 4).
  • Център О на сферата.
  • Радиус r – Отсечката свързваща центъра с произволна точка от сферичната повърхност. На Фиг. 4 радиусът е AO = BO = r.
  • Диаметър d – На Фиг. 4 диаметърът е d = 2r = AB.
  • Голяма окръжност – Окръжност с център O и диаметър 2r. На Фиг. 4 са начертани три големи окръжности: k, k₁ и k₂.
• Права (отсечка) и сфера:
  • Хорда – отсечка, краищата на която принадлежат на сферата.
  • Секуща – права, която пресича сферата в две точки.
  • Допирателна – правата, която има със сферата точно една обща точка.
• Лице S на сфера (лице на сферичната повърхнина):
  (7): S = 4πr² или S = πd².
  Бележка:

  Сферата е повърхнина. Затова под „лице на сфера” разбираме лицето на повърхнината, която е сфера, т.е. лицето на сферичната повърхност.

• Определение – Кълбото е част от пространството, заградена от сфера (Фиг. 4).
• Елементи на кълбото – Центърът O, радиусът r и диаметърът d на сферата се наричат съответно център O, радиус r и диаметър d на кълбото.
• Обем на кълбо:
  (8): V = πr³.