Призма и пирамида

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Стереометрия

Съдържание на темата:

Призма – решени задачи
Пирамида – решени задачи

I. Призма

Решени задачи

Зад. №1:: Основата на призма е ромб със страна 8 cm. и височина 6 cm. Околните стени на призмата са квадрати. Намерете лицето на повърхнината и обема на призмата.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Намерете височината на призмата и след това използвайте подходящи формули, за да намирите търсените елементи.

По условие четириъгълникът BCC₁B₁ е квадрат, т.е. CC₁ е височина на призмата и CC₁ = BC = 8 cm.
Използваме формула (10), за да намерим лицето на повърхнината на призмата:
- Основата е ромб и намираме лицето на основата:
  B = AB.DE = 8.6 = 48 cm².
- Използваме формула (8), за да намерим лицето на околната повърхнина:
  S = P.h = 4.8.8 = 256 cm².
- Използваме формула (10):
  S₁ = S + 2.B = 256 + 2.48 = 352 cm².
Използваме формула (13), за да намерим обема на призмата:
V = B.h = 48.8 = 384 cm³.

Зад. №2:: Дадена е правилна триъгълна призма ABCA₁B₁C₁ с околна повърхнина S = 54 cm². Намерете обема на призмата, ако радиусът на вписаната в основата окръжност е 1 cm.

Намерете височината на основата на призмата, като използвате това, че височина и медиана в равностранен триъгълник съвпадат.
От даденото лице на околната повърхнина намерете височината на призмата.
От формула (13) намерете обема на призмата.

ABCA₁B₁C₁ – правилна триъгълна призма ΔABC – равностранен, т.е. AB = BC = AC = a.
Намираме страната a:
- Построяваме AK – височина в ΔABC, но тя е и медиана, защото ΔABC – равностранен.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔABK (AKB = 90°):
  AK² = AB² – BK² = a² – AK = a.
- Нека т. M е медицентър в ΔABC MK = r = 1 cm и MK = a = 2.
Използваме формула (13), за да намерим обема на призмата:

Зад. №3:: Намерете обема на правилна четириъгълна призма, ако диагоналът ѝ сключва с околна стена ъгъл 30°, а диагонал на основата ѝ е равен на 5.

От подходящ правоъгълен триъгълник намерете дължината на основен ръб.
Докажете, че ΔABC₁ е правоъгълен и използвайте подходяща тригонометрична функция, за да намерете диагонала BC₁ на околната стена (BCC₁B₁).
Намерете дължината на околен ръб, защото той е височина на призмата.
От формула (13) намерете обема на призмата.

ABCDA₁B₁C₁D₁ – правилна четириъгълна призма ABCD – квадрат, т.е. AB = BC = CD = AD = a.
Прилагаме Питагорова теорема за ΔABC (B = 90°):
AC² = 2AB² (5)² = 2a² a = 5.
BC₁ е проекцията на AC₁ в околната стена (BCC₁B₁) AC₁B = 30° и ABC₁ = 90°.
От правоъгълният ΔABC₁ cotg AC₁B = BC₁ = 5.
Прилагаме Питагорова теорема за ΔBCC₁ (BCC₁ = 90°):
CC₁² = BC₁² – BC² h² = (5)² – 5² = 25.2 h = 5.
Използваме формула (13), за да намерим обема на призмата:
- B = a² = 5² = 25.
- V = B.h = 25.5 = 125.

Върни се в теорията

II. Пирамида

Теория

Решени задачи

Зад. №1:

Намерете лицето на повърхнината и обема на правилна триъгълна пирамида, ако:

а) Основният ръб е равен на 4, а апотемата на пирамидата е .

б) Радиусът на описаната около основата ѝ окръжност е с дължина 4 cm, а височината на пирамидата е 3 cm.

в) Радиусът на вписаната в основата ѝ окръжност е с дължина 2 cm, а околният ръб на пирамидата е с дължина 5 cm.

Използвайте подходящи формули.

лицето на повърхнината и обема на правилна триъгълна пирамида

Зад. №2:: Околният ръб на правилна четириъгълна пирамида е , а апотемата ѝ е с 1 cm по-малка от основния ръб. Намерете обема на пирамидата.

Използвайте подходящи формули.

ABCDM – правилна четириъгълна пирамида ABCD – квадрат. Нека AB = BC = CD = AD = b.
Избираме т. E среда на BC, тогава ME – височина в равнобедрения ΔBCM, т.е. ME е апотемата на пирамидата или ME = k = b – 1.
Намираме височината h = MO на пирамидата:
- От Питагорова теорема за ΔECM
  ME² + CE² = CM² (b – 1)² + 5b² – 8b – 132 = 0, b₁ = 6, b₂ = – < 0 и не е решение, т.е. AB = b = 6 cm.
- ME = k = b – 1 = 5 cm.
- т. E среда на BC BE = CE = 3 cm.
- Използваме формула (18), защото OE е височина в правоъгълния ΔBCO OE² = BE.CE = 3.3 = 9 OE = 3 cm.
Използваме формула (24), за да намерим обема на пирамидата:
- B = S_ABCD = b² = 6² = 36 cm².
- V = = 48 cm².

Зад. №3:: Основата на триъгълна пирамида ABCD е равнобедрен ΔABC, за който AB = 8 и AC = BC = 4. Околният ръб CD е перпендикулярен на равнината на основата и CD = 6. Да се намери обема и лицето на повърхнината на пирамидата.

Намерете височината на пирамидата.
Докажете, че ΔABD е равнобедрен.
От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината на основата.
Използвайте подходяща формула за лице на триъгълник, за да намерите лицето на основата.
Използвайте твърдения (23) и (24), за да намерите лицето на повърхнината и обема на пирамидата.

По условие CD (ABC), т.е. CD = h = 6 е височина на пирамидата.
Намираме обема V на пирамидата:
- ΔBCD ≅ ΔACD по I признак, защото: 1) AC = BC (по условие), 2) CD – обща, 3) BCD = ACD = 90°.
- От това следва, че AD = BD, т.е. ΔABD е равнобедрен.
- Избираме средата на AB и това е точка E, т.е. BE = AE = 4.
- Това означава, че CE и DE са медиани съответно в равнобедрените ΔABC и ΔABD, т.е. CE е височина в ΔABC, а DE е височина в ΔABD.
- Прилагаме Питагорова теорема за правоъгълния ΔBEC (E = 90°):
  CE² + BE² = BC² CE² + 4² = (4)² CE² = 64 CE = 8.
- Използваме формула (41), за да намерим лицето на основата:
  B = S_ΔABC = = 32.
- Използваме твърдение (24), за да намерим обема V на пирамидата:
  V = = 64.
Намираме лицето на повърхнината на пирамидата:
- Прилагаме Питагорова теорема за правоъгълния ΔECD (ECD = 90°):
  DE² = CE² + CD² = 8² + 6² = 100 DE = 10.
- Използваме формула (41), за да намерим лицето на ΔABD:
  S _ΔABD = = 40.
- Използваме формула (27), за да намерим лицето на правоъгълния ΔBCD (BCD = 90°):
  S_ΔBCD =
- S_ΔACD = S_ΔBCD = 12, защото доказахме, че двата триъгълника са еднакви.
- Използваме твърдение (21), за да намерим лицето на околната повърхнина на пирамидата:
  S = S_ΔABD + S_ΔBCD + S_ΔACD = 40 + 2.12 = 40 + 24.
- Използваме твърдение (23), за да намерим лицето на повърхнина на пирамидата:
  S₁ = S + B = 40 + 24 + 32 = 72 + 24.

Зад. №4:: Основата на триъгълна пирамида е равностранен триъгълник със страна 12 cm. Две от околните стени на пирамидата са перпендикулярни на основата ѝ, а третата околна стена сключва с основата на пирамидата ъгъл, равен на 60°. Намерете обема на пирамидата.

Използвайте твърдение (15), за да определите височината на пирамидата.
Намерете линейния ъгъл отговарящ на дадения двустенен ъгъл.
Използвайте формула (24), за да намерите обема на пирамидата.

обем на триъгълна пирамида

Зад. №5:

Основата на пирамида е правоъгълен ΔABC с хипотенуза AC. Всички околни ръбове са равни на cm. Околната стена (BCM) сключва с основата на пирамидата ъгъл равен на 60°. Ако CAM = 30° да се намери:

а) основния ръб AB;

б) радиуса на описаната около основата на пирамидата окръжност;

в) обема на пирамидата.

Използвайте твърдение (19), за да определите височината на пирамидата.
Намерете линейния ъгъл отговарящ на дадения двустенен ъгъл.
За решаването на подточка б) използвайте косинусова теорема за ΔACM.

обем на триъгълна пирамида и косинусова теорема

Върни се в теорията

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура