Триъгълник. Ъгли на триъгълник

Самоподготовка по Математика за
7 клас

Съдържание на темата:

Първа част
Втора част

Теория

Тест – 7 клас

ПЪРВА ЧАСТ

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Критерии за оценяване

За ΔABC с ъгли α, β и γ е дадено, че α е два пъти по-голям от β, а β е три пъти по-малък от γ. Триъгълникът е:
- А)остроъгълен;
- Б)правоъгълен;
- В)тъпоъгълен;
- Г)не може да се определи;
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Отбележете ъгъл β с х.
2. Намерете ъглите на триъгълника като използвате Теорема за сбор на вътрешните ъгли.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Отбелязваме ъгъл β с х (защото той е най-малък). Тогава от условието
  следва,че α = 2x, γ = 3x.
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли следва, че
  α + β + γ = 180° 2x + x + 3x = 180° x = 30°.
- Ъглите на ΔABC са: α = 2x = 60°, β = x = 30°, γ = 3x = 90°, т.е. триъгълникът е правоъгълен.
- Верен отговор Б).

В кой от случаите има триъгълник с ъгли:
- А)30°, 50°, 80°
- Б)55°, 45°, 100°
- В)55°, 60°, 65°
- Г)30°, 30°, 130°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Проверете за кой отговор се изпълнява Теорема за сбор на вътрешни ъгли.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Само при отговор В) се изпълнява теоремата за сбор на вътрешни ъгли в триъгълник.
- Верен отговор В).

На чертежа големината на BDC е:
- А)50°
- Б)55°
- В)60°
- Г)65°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете х като приложите Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC.
2. Използвайте това, че е BDC външен ъгъл за ΔADC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме Теорема за вътрешни ъгли в ΔABC:
  BAC + ABC + ACB = 180° x + x + 4x = 180° x = 30°.
  I начин:
- За ΔADC BDC е външен BDC = DAC + DCA = x + x = 2x = 2.30° = 60°.
  II начин:
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔBDC:
  BDC + DCB + DBC = 180° BDC + 3x + x = 180° BDC = 180° – 4x = 180° – 4.30° = 60°.
- Верен отговор В).

Ъглите в триъгълник са x°, (x + 20)° и (x + 28)°. Най-големият ъгъл на триъгълника е:
- А)64°
- Б)72°
- В)90°
- Г)105°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теорема за сбор на вътрешни ъгли.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за вътрешни ъгли в триъгълник следва, че
  x + x + 20° + x + 28° = 180°, т.е.x = 44°.
- Най-големият ъгъл е x + 28° = 44° + 28° = 72°.
- Верен отговор Б).

В ΔABC CD е височина, а CL е ъглополовяща. От чертежа определете DCL:
- А)37°30'
- Б)52°30'
- В)12°50'
- Г)12°30'
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Последователно намерете:
1. ACB.
2. LCB.
3. DLC.
4. DCL.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC BAC + ABC + ACB = 180° 65° + 40° + ACB = 180° ACB = 75°.
- CL – ъглополовяща на C LCB = C = 37,5° = 37°30'.
- DLC – външен за ΔLBC DLC = LCB + LBC = 37°30' + 40° = 77°30'.
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔDLC DLC + DCL = 90° 77°30' + DCL = 90° DCL = 12°30'.
- Верен отговор Г).

В ΔABC CD е височина. На чертежа са дадени зависимости между ъгли. Големината на ABC е:
- А)60°
- Б)40°
- В)50°
- Г)30°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От ΔADC намерете х.
2. От ΔBDC намерете търсения ъгъл.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ΔADC – правоъгълен, т.е. може да използваме кратката теорема за сбор на вътрешни ъгли:
  DAC + ACD = 90° 2x + x = 90° x = 30°.
- От ΔDBC DBC + BCD = 90° DBC + x + 20° = 90° DBC = 40°.
- Верен отговор Б).

От данните на чертежа определете големината на ъгъл β:
- А)70°
- Б)100°
- В)120°
- Г)60°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теоремите за външен ъгъл на триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за съседни ъгли следва, че A + 110° = 180°, т.е. A = 70°.
- От Теорема за външен ъгъл за ΔABC следва, че A + β = 130°, т.е. β = 60°.
- Верен отговор Г).

В ΔABC AD е ъглополовяща и DE || AC. Ако ADE = 32° големината на AED е:
- А)64°
- Б)128°
- В)116°
- Г)не може да се определи
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От DE || AC намерете ъгъл DAC.
2. От АD ъглополовяща намерете ъгъл DAВ.
3. От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔAED намерете ъгъл AED.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От DE || AC следва, че ADE = DAC (като кръстни ъгли), т.е. DAC = 32°.
- AD – ъглополовяща EAD = DAC = 32°.
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔAED 32° + 32° + AED = 180°, т.е. AED = 116°.
- Верен отговор В).

На чертежа правите a || b, ъгълът x е равен на:
- А)66°
- Б)52°
- В)54°
- Г)56°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теоремите за връхни ъгли и външен ъгъл на триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за връхни ъгли следва, че два от ъглите на триъгълника са 66° и x.
- От Теорема за външен ъгъл на триъгълник следва, че:
  66° + x = 120° x = 120° – 66° = 54°.
- Верен отговор В).

Мярката на BAC е:
- А)80°
- Б)50°
- В)40°
- Г)10°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теоремите за съседни ъгли и външен ъгъл на триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за съседни ъгли намираме:
  ACB = 180° – 90° = 90°.
- От теорема за външен ъгъл на ΔABC получаваме:
  100° = 90° + x x = 100° – 90° = 10°.
- Верен отговор Г).

Критерии за оценяване

На чертежа AB е ъглополовяща на EAC и AE || CD. Ъгъл x се изразява чрез γ така:
- А)90° – γ
- Б)
- В)90° –
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теореми за успоредни прави и сбор на вътрешни ъгли в триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От теорема за връхни ъгли AFC = x.
- AE || CD FAE = AFC = x, но AF ъглополовяща на EAC FAC = FAE = x.
- От теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔAFC AFC + FAC + ACF = 180° x + x + γ = 180° 2x + γ = 180° 2x = 180° – γ x = = 90° – .
- Верен отговор В).

Ако вътрешните ъгли на триъгълник се отнасят както 5 : 7 : 3, то съответните им външни ъгли се отнасят както:
- А)5 : 4 : 6
- Б)6 : 8 : 1
- В)8 : 9 : 2
- Г)3 : 7 : 5
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От даденото отношение намерете вътрешните ъгли на триъгълника.
2. Намерете външните ъгли на триъгълника.
3. Намерете отношенията им като ги разделите.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От даденото отношение следва, че α = 5x, β = 7x, γ = 3x.
- От теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC следва, че
  α + β + γ = 180° 5x + 7x + 3x = 180°, т.е. x = 12°.
- Тогава α = 5x = 5.12 = 60°, β = 7x = 7.12 = 84°, γ = 3x = 3.12 = 36°.
- Нека α', β' и γ' са външни ъгли при върховете А, В и С, тогава от теорема за съседни ъгли намираме:
  α' + α = 180°, т.е. α' = 120°.
  β' + β = 180°, т.е. β' = 96°.
  γ' + γ = 180°, т.е. γ' = 144°.
- Образуваме отношенията на външните ъгли:
  = , т.е. α' : β' = 5 : 4.
  , т.е. β' : γ' = 4 : 6.
- Верен отговор А).

На чертежа ВО и СО са ъглополовящи съответно на C и B, и A = 40°. Големината на BOC е:
- А)120°
- Б)110°
- В)80°
- Г)65°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Основна задача 2.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От основна задача 2 следва, че BOC = 90° + = 90° + 20° = 110°.
- Верен отговор Б).

На чертежа в ΔABC ВL и BK са ъглополовящи съответно на вътрешния и външния ъгъл при върха B. Градусната мярка на LBK е:
- А)90°
- Б)60°
- В)100°
- Г)не може да се определи.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Основна задача 1.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- BL и BK са вътрешна и външна ъглополовяща на върха А и затова от Основна задача 1 следва, че отговор А) е верен.

На чертежа външните ъглополовящи при върховете А и С се пресичат в точка О и AOC = 70°. Мярката на ABC е:
- А)40°
- Б)55°
- В)50°
- Г)20°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Основна задача 3.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- OA и CO са външни ъглополовящи при върховете А и С на ΔABC, тогава от основна задача 3 следва, че AOC = 90° – ABC 70° = 90° – ABC,т.е. ABC = 40°.
- Верен отговор A).

В ΔABC A : B : C = 5 : 6 : 7 и височините AA₁ и BB₁ се пресичат в точка Н. Големината на AHB е:
- А)50°
- Б)70°
- В)130°
- Г)110°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в триъгълник намерете ъглите на ΔABC.
2. За да намерите ъгъл AHB използвайте Основна задача 4.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От даденото отношение следва, че α = 5x, β = 6x, γ = 7x.
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC:
  α + β + γ = 180° 5x + 6x + 7x = 180°; т.е. x = 10°.
- Тогава α = 5x = 5.10° = 50°, β = 6x = 6.10° = 60°, γ = 7x = 7.10° = 70°.
- От Основна задача 4 AHB = 180° – γ = 180° – 70° = 110°.
- Верен отговор Г).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачи 17. – 20. запишете на съответните места в листа с отговори.

Височините AE и CD на ΔABC се пресичат в точка H.
а) Посочете три триъгълника, ъглите на които са равни съответно на ъглите на ΔADH.

б) Ако BAE + ACD = 57°, намерете градусната мярка на CAE.

Вижте упътване

Упътване:

а) Докажете, че ABC = AHD = EHC = β и DAH = HCE = 90° – β.

б) Намерете ACE и след това от ΔАЕС намерете CAE.

Вижте решение
Решение:

а) Нека ABC = β, BAE = x.
- От теорема за вътрешни ъгли в ΔABE следва, че:
  BAE + ABE = 90° BAE + β = 90°, т.е.
  (1): BAE = x = 90° – β.
- От теорема за вътрешни ъгли в ΔBDC следва, че:
  BCD + DBC = 90° BCD + β = 90°, т.е.
  (2): BCD = 90° – β.
- От (1) и (2) BAE = BCD = x.
- От теорема за вътрешни ъгли в ΔADH следва, че:
  HAD + AHD = 90° AHD = 90° – x, т.е. AHD = β.
- EHC = AHD = β (като връхни ъгли).
- Отговор: Триъгълниците, които имат равни ъгли с ΔADH са: ΔCEH, ΔAEB и ΔCDB.
б) В а) доказахме, че BAE = BCD = x.
- От чертежа и даденото получаваме, че:
  ACE = ECD + ACD = BAE + ACD = 57°.
- Прилагаме теорема за вътрешни ъгли в ΔAEC:
  CAE + ACE = 90° CAE + 57° = 90° CAE = 90° – 57°, т.е. CAE = 33°.
- Отговор: CAE = 33°.
Критерии за оценяване

а) За всеки верен триъгълник – по 3 точки.

б) За отговор 33° – 3 точки.

Общо 12 точки.

Точките В и С лежат на раменете на LAM, като BCL = MCL. По данните от чертежа намерете мярката на LAM.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте Теорема за външен ъгъл за ΔBLC и ΔABC.

Вижте решение
Решение:
- От ABC – външен за ΔBLC следва, че:
  BLC + BCL = ABC 17° + BCL = 56° BCL = 39°.
- От LC – ъглополовяща на BCM следва, че:
  BCM = 2BCL = 2.39° = 78°.
- От BCM – външен за ΔABC следва, че:
  BAC + ABC = BCM BAC + 56° = 78° BAC = 22°.
- Отговор: LAM = 22°.
Критерии за оценяване

За верен отговор – 8 точки.

На чертежа, AA₁ и BB₁ са ъглополовящи в ΔABC. Запишете равенство отразяващо връзката между ъгъл x и ъгъл γ₁?

Вижте упътване
Упътване:
1. От теорема за съседни ъгли изразете ъгъл ACB чрез γ₁.
2. От Основна задача 2 изразете х чрез γ₁.
Вижте решение
Решение:
- От Теорема за съседни ъгли ACB = 180° – γ₁.
- AA₁ и BB₁ са ъглополовящи съответно на A и B и от Основна задача 2 получаваме:
  x = AHB = ACB = 90° + (180° – γ₁) = 180° – .
- Отговор: x = AHB = 180° – .
Критерии за оценяване

За вярно записано равенство – 12 точки.

В ΔABC височините CC₁ и BB₁ се пресичат в точка L и BLC = 119°. Да се намери големината на вътрешният и външният ъгъл при върха А.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте Основна задача 4.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Основна задача 4:
  BLC = 180° – BAC 119° = 180° – BAC, т.е. BAC = 61°.
- От Теорема за съседни ъгли следва, че:
  x + BAC = 180° x + 61° = 180°, т.е. x = 119°.
- Отговор: BAC = 61°, x = 119°.
Критерии за оценяване
- За получаване на BAC – 4 точки.
- За получаване на ъгъл x – 2 точки.
- Общо – 6 точки.

ВТОРА ЧАСТ

Отговорите на задачи 21. и 22. запишете на съответните места в листа с отговори.

Височините AP и BQ в ΔABC се пресичат в точка H. Намерете AHB, ако BAC = 117° и ACB = 23°.

Вижте упътване
Упътване:

ΔABC е тъпоъгълен и затова пресечната точка на височините AP и BQ е извън триъгълника.
1. От Теорема за сбор на ъгли в триъгълник намерете ъгъл ABC.
2. Намерете търсения AHB.
Вижте решение
Решение:
- ΔABC – тъпоъгълен и както се вижда от чертежа височината от острия ъгъл B е извън триъгълника.
- Нека търсеният ъгъл да отбележим с х, т.е. AHB = x.
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔBQC:
  QCB + CBQ = 90° 23° + CBQ = 90°, т.е. CBQ = 67°.
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔPHB :
  PHB + PBH = 90° x + 67° = 90°, т.е. x = 23°.
- Отговор: AHB = 23°.
Критерии за оценяване

За верен отговор – 5 точки.

Даден е ΔABC, при който външният ъгъл γ' и вътрешният ъгъл γ при върха С са във връзка γ' = 2γ + 43°30'. Ако външните ъглополовящи при върховете A и B се пресичат в точка O, да се намери големината на AOB.

Вижте упътване
Упътване:
1. От Теорема за съседни ъгли намерете ъгъл γ.
2. От Основна задача 3 намерете ъгъл AOB.
Вижте решение
Решение:
- По условие γ' = 2γ + 43°30'.
- Използваме Теорема за съседни ъгли:
  γ' + γ = 180° 2γ + 43°30' + γ = 180° 3γ = 136°30', т.е. γ = 45°30'.
- AO и BO – външни ъглополовящи и от Основна задача 3 получаваме:
  AOB = 90° – = 90° – = 90° – 22°45' = 67°15'.
- Отговор: AOB = 67°15'.
Критерии за оценяване
- За намиране на γ – 2 точки.
- За намиране на AOB – 3 точки.
- Общо 5 точки.

На задачи 23. и 24. запишете пълните решения с необходимите обосновки.

Като използвате означенията на чертежа, намерете градусната мярка на ADB.

Вижте упътване
Упътване:
1. Изразете BAD чрез х.
2. От ΔABC изразете ъгъл y чрез х.
3. От ΔABD намерете ADB.
Вижте решение
Решение:
- BAD + 2x = 180° (като съседни ъгли) BAD = 180° – 2x.
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC
  ABC + BAC + ACB = 180° y + 180° – 2x + x + 33° = 180°, т.е. y – x = – 33°
  (1) : y = x – 33°.
- Намираме търсения ъгъл:
  - От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABD
    ABD + BAD + ADB = 180° 2y + 180° – 2x + ADB = 180° ADB = 2x – 2y = 2(x – y).
  - Тогава от (1) ADB = 2[x – (x – 33°)] = 2(x – x + 33°) = 2.33° = 66°.
- Отговор: ADB = 66°.
Критерии за оценяване
- За изразяване на BAD чрез х – 2 точки.
- За изразяване на y чрез х – 3 точки.
- За изразяване на ADB чрез х и y – 3 точки.
- За намиране на ADB – 2 точки.
- Общо 10 точки.

Даден е триъгълник ΔABC (AC > BC). Ъглополовящите на вътрешния и външния ъгъл при върха С пресичат страната AB и нейното продължение съответно в точките D и E. Ако P и G са пресечните точки на ъглополовящата на BEC съответно с ъглополовящите на EDC и ADC, да се намерят ъглите на ΔPGD.

Вижте упътване
Упътване:
1. Използвате Основна зад. 1, за да докажете, че ΔDCE и ΔGDP са правоъгълни.
2. От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔDEC намерете сбора от острите ъгли и след това сбора от техните половинки.
3. Намерете ъгъл DPG като външен за ΔDPE.
4. Използвайте Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔGDP, за да намерите третия му ъгъл.
Вижте решение
Решение:
- CD и CE са ъглополовящи на вътрешния и външния ъгъл при върха С на ΔABC и от Основна Зад. 1DCE = 90°.
- GD и PD са ъглополовящи на вътрешния и външния ъгъл при върха D на ΔEDC и от Основна Зад. 1GDP = 90°.
- Намираме DPG:
  - ΔDCE (DCE = 90°) – правоъгълен и от Теорема за сбор на вътрешни ъгли получаваме:
    EDC + CED = 90°.
  - PD и GE ъглополовящи PDE = EDC и PED = CED.
  - PDE + PED = EDC + CED = (EDC + CED) = . 90° = 45°.
  - DPQ – външен за ΔDPE DPQ = PDE + PED = 45°.
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔGDP получаваме:
  DGP + GPD = 90° (защото ΔGDP е правоъгълен) DGP + 45° = 90°, т.е. DGP = 45°.
- Ъглите на ΔGDP са: 45°, 45°, 90°.
Критерии за оценяване
- За чертеж – 2 точки.
- За всеки правилно намерен DCE, GDP, DGP и DGP – по 2 точки.
- Общо 10 точки.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура