Видове числа. Квадратни корени

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Видове числа. Квадратен корен

Съдържание на темата:

Видове числа
Квадратен корен

Теория

I. Видове числа

Определение – Числата, с които броим. Например: 1, 2, 3, … .
Бележка:
Може да се каже още, че естествените числа са всички цели числа, които са по-големи или равни на единица.
Ограниченост – Най-малкото естествено число е 1, но няма най-голямо естествено число.
Буква, с която се отбелязват – Множеството на естествените числа се отбелязват с буквата N или .

Прости числа – В математиката просто число се нарича всяко естествено число, по-голямо от 1, което има точно два естествени делителя – единица и самото себе си.
Съставни числа – Естествените числа, по-големи от едно, които не са прости, се наричат съставни.
Примери – Числото 5 е просто число, защото се дели единствено на 1 и 5, докато 6 е съставно число, защото се дели освен на 1 и 6 и на 2 и 3.

Бележки:

Числата нула и едно не са нито прости, нито съставни.
Нечетни прости числа – Тъй като числото 2 е единственото четно просто число, обикновено думите „нечетни прости числа“ се използва за означаване на всички прости числа освен 2.

Oпределение – Естествените числа, техните противоположни и нулата. Например: …, – 2, – 1, 0, 1, 2, … .
Ограниченост – Няма най-малко цяло число, а така също и най-голямо.
Буква, с която се отбелязват – Множеството на целите числа се отбелязват с буквата Z или .

Обикновена дроб – Частно (делене) на две цели числа. Например: , където b ≠ 0.
Десетична дроб – Специален запис на обикновените дроби.
- Крайна десетична дроб – При деленето на числител на знаменател се получава крайно десетично число. Например: = 2 : 5 = 0,4.
- Безкрайна периодична дроб – Делението на числител на знаменател продължава до момента, в който се появи число, което веднъж вече е било остатък, и тогава цифрите в резултата започват да се повтарят. Например: = 5 : 3 = 1,666.... = 1,(6).
- Безкрайна непериодична дроб – Числа, които немогат да се изразят като отношение (частно) на две цели числа. Например, числото π ≈ 3,1415926535... и др.

Oпределение – Всички положителни числа (цели и дробни), отрицателни числа (цели и дробни) и числото 0 (нула).
Буква, с която се отбелязват – Множеството на рационалните числа се отбелязват с буквата Q или .

Първоначални бележки – От практика знаем, че между две рационални числа има безброй много други рационални числа и така може да се заблудим, че няма други числа, освен множеството на рационалните числа.
Още древните гърци са знаели, че в множеството на рационалните числа няма рационално число, което умножено по себе си да е равно на числото 2, т.е. уравнението x.x = 2 няма решение в множеството на рационалните числа. Затова се налага да се въведе нов вид числа.
Oпределение – Ирационални са числата, които се представят като безкрайни непериодични десетични дроби, т.е. числа, които немогат да се изразят като отношение (частно) на две цели числа. Например, числото π ≈ 3,1415926535... и др.
Бележка:

За други видове ирационални числа виж II. Квадратен корен.

Oпределение – Всички рационални и ирационални числа.
Буква, с която се отбелязват – Множеството на реалните числа се отбелязват с буквата R или .

II. Квадратен корен

O – Квадратен корен от неотрицателното число a е такова неотрицателно число x, че x² = a, което се записва x = , като x ≥ 0, a ≥ 0. Например: Квадратният корен на 9 е 3, което се записва = 3, защото 3² = 3.3 = 9 и 3 е неотрицателно число.

Виж Фиг. 1

Oпределение – Действието, с което се намира квадратен корен от дадено число.
Числа получени при коренуването:
- Рационални числа – При коренуване на естествени числа, които са точни квадрати, се получава рационални число. Например: = 2, защото 2² = 2.2 = 4 и 2 е неотрицателно рационално число.
- Ирационални числа – При коренуване на естествени числа, които не са точни квадрати, се получава безкрайни непериодични десетични дроби, т.е. ирационални числа. Например: При коренуването на числото 2 се получава ирационалното число ≈ 1,41422135... .
Бележки:
1. Действието коренуване е обратно действие на степенуването.
2. Числото е реално число само когато подкоренната му величина е неотрицателна.
3. Знакът се използва за две неща:
  - за действие коренуване;
  - за означаване на ирационални числа.

Квадратен корен има смисъл, когато подкоренната му величина е неотрицателна, т.е.:

(1): Изразът има ДМ: a ≥ 0.

Бележка:

Всяка стойност на променливата, за която изразът има смисъл, се нарича допустима стойност (ДС) на израза. Множеството от всички допустими стойности образуват дефиниционното множество (ДМ) на израза, т.е. множеството от ДС и дефиниционното множество ДМ на даден израз е едно и също нещо.

Зад. №1:: Намерете дефиниционното множество на израза .

Решение:

От (1) следва, че:

5 – 2x ≥ 0 – 2x ≥ – 5 | . (– 1) 2x ≤ 5 x ≤ .
ДМ: x (– ∞; ].

Формули – От определението за квадратен корен следва, че:
(2.1): = a при a ≥ 0.

(2.2): = |a| при всяко a.
Степенуване при отрицателна основа и четна степен – Ако имаме четна степен с отрицателна основа, то резултатът е положително число, т.е.:
(3.1):
Степенуване при отрицателна основа и нечетна степен – Ако имаме нечетна степен с отрицателна основа, то резултатът е отрицателно число, т.е.:
(3.2):
Бележка:

При степенуване с основа отрицателно число, то първо може да се определи знакът в зависимост от степенния показател и след това да се степенува с основа положително число.

Ако a ≥ 0, b ≥ 0, то:

(4):

Зад. №2:: Пресметнете:

а) ;

б) ;

в) .

Решение:

а) Разлагаме на множители и използваме формула (4):

б) Прилагаме подходяща формула за съкратено умножение и след това използваме формула (4):

в) Прилагаме формула (4) два пъти:

Ако a ≥ 0, b > 0, то:

(5):

Зад. №3:: Пресметнете:

а) ;

б) ;

в) .

г) .

Решение:

а) Прилагаме формула (5):

б) Превръщаме десетичната дроб в обикновена и прилагаме формула (5):

в) Прилагаме формула за коренуване на произведение и формула (5):

г) Представяме дадената дроб като две дроби с равни знаменатели и прилагаме формула (5):

Oпределение – Ако b ≥ 0, то:
Т.е. коренуваме множителя, който изнасяме пред корен.
Свойство:
(7): Ако a > b, то = |a – b| = a – b.

(8): Ако a < b, то = |a – b| = b – a.

Зад. №4:: Пресметнете:

а) ;

б) ;

в) , ако a < 0.

Решение:

а) Прилагаме формула (6):

б) Прилагаме формула (6):

Бележка:

В крайния резултат числото a е в модул, защото незнаем неговия знак.

в) Прилагаме формула (6) и използваме това, че a < 0:

(9): Ако b > 0, то .

Т.е. повдигаме на втора степен множителя, който записваме под корен.

Зад. №5:: Внесете множител под знака на корена:

а) ;

б) ;

в) ;

г) – 3.

Решение:

а) Повдигаме 5 на квадрат и записваме полученото число под корена:

б)

= .

в)

г)Под корен внасяме само положителното число 3. Знакът минус се оставя пред корена:

– 3.

Бележка:

Запомнете, че под корена се внася само положителен множител. Знакът „–“ се оставя пред радикала.

(10): Ако a > b > 0, то > .

(11): Ако 0 < a < b, то < .

Зад. №6:: Да се сравнят числата 5 и 2.

Решение:

Зад. №7:: Да се намери стойността на израза А = .

Решение:

Използваме степенуване на квадратен корен, за да преобразуваме израза:
А = = 3 + |3 – |.
Използваме формула за сравняване на корените (формула 11), за да сравним числата в модула:
Използваме формула (8), за да премахнем модула:
A = 3 + |3 – | = 3 + – 3 = .

Зад. №8:: Извършете действията:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение:

Бележка:

Запомнете, че действия събиране и изваждане на корени може да се извършват само, ако са с еднакви подкоренни величини.

Зад. №9:: Пресметнете стойността на израза:

а) , при x = 0,5.

б) , при b = 7.

Решение:

а)

Използваме подходяща формула за съкратено умножение, за да преобразуваме подкоренната величина и прилагаме формула за изнасяне на число пред корен (формула 6):
= |x – 3|.
Заместваме с дадената стойност на неизвестното x = 0,5:
|0,5 – 3| = |– 2,5| = 2,5.

б)

Използваме подходяща формула за съкратено умножение:
При b = 7 получаваме 7 – 5 = 2.

Разглеждаме няколко типа задачи:

I тип: Когато в знаменател има само един квадратен корен:
Правило

Умножаваме числител и знаменател на дробта с корена, който се намира в знаменател, т.е.:

(12): при b > 0.

Зад. №10:

Извършете действията:

а) ;

б) ;

в) .

Решение:
II тип: Когато в знаменател има сбор или разлика от квадратен корен:
Правило

Умножаваме числител и знаменател на дробта с израз, който се различава по знак с дадения в знаменателя, т.е.:

Зад. №11:

Рационализирайте знаменателя на дробите:

а) ;

б) ;

в) .

Решение:

Определение – Когато не съдържа корен в знаменател и няма множители, които могат да се изнесат.
Примери:
- Нормален вид: .
- Не са в нормален вид: .

Върни се нагоре Начало Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура