Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Вие сте тук:   || Функции. Квадратни неравенства–теория || Функции. Квадратни неравенства - задачи



I. Линейна функция

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Дадена е функцията f (x) = 1 – x. Намерете:

а) функционалната стойност, ако стойността на аргумента е: – 2; 0; 3; a – 2.

б) стойността на аргумента, ако функционалната стойност е: 4; – 2; 0.

в) f (x – 4).

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Във формулата на функцията f (x) заместете с дадените стойности на x.

б) Заместете с дадените стойности на функцията f (x) и решете полученото линейно уравнение.

в) Записът f (x – 4) означава, че стойността на аргумента е x – 4 и решете задачата както в подточка а).

а) Търсим стойността на функцията f (x) при дадено неизвестно x (аргумент).

  • При x = – 2 f (– 2) = 1 – .(– 2) = 1 + 1 = 2, т.е. f (– 2) = 2.
  • При x = 0 f (0) = 1 – .0 = 1, т.е. f (0) = 1.
  • При x = 3 f (3) = 1 – .3 = 1 – = – , т.е. f (3) = – .
  • При x = a – 2 f (a – 2) = 1 – .(a – 2) = 1 – a + 1 = 2 – a, т.е. f (a – 2) = 2 – a.

б) Търсим стойността на неизвестно x (аргумента) при дадена стойност на функцията f (x).

  • По условие имаме f (x) = 4, т.е.
    f (x) = 1 – x = 4 2 – x = 8 x = – 6.
  • По условие имаме f (x) = – 2, т.е.
    f (x) = 1 – x = – 2 2 – x = – 4 x = 6.
  • По условие имаме f (x) = 0, т.е.
    f (x) = 1 – x = 0 2 – x = 0 x = 2.

в) Записът f (x – 4) означава, че стойността на аргумента е x – 4. Тогава:
f (x – 4) = 1 – .(x – 4) = 1 – x + 2 = 3 – x, т.е. f (x – 4) = 3 – x.


Зад. №2:
Кои от дадените точки лежат на графиката на функцията f (x) = 7x – 2?
а) A (1; 3);
б) B (– 1; – 9);
в) C .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте това, че една точка M (x1; y1) лежи на графиката на функцията y = f (x), ако е изпълнено равенството y1 = f (x1).

Използваме това, че една точка M (x1; y1) лежи на графиката на функцията y = f (x), ако е изпълнено равенството y1 = f (x1).

а) От дадените координати на точката A следва, че x = 1 и y = 3. Проверяваме дали е изпълнено равенството y = f (x):

  • При x = 1 f (1) = 7.1 – 2 = 5 ≠ 3.
  • Т.е. равенството y = f (x) не се изпълнява или т. A НЕ лежи на графиката на функцията f (x) = 7x – 2.

б) От дадените координати на точката B следва, че x = – 1 и y = – 9. Проверяваме дали е изпълнено равенството y = f (x):

  • При x = – 1 f (– 1) = 7.(– 1) – 2 = – 9.
  • Т.е. равенството y = f (x) се изпълнява или т. B ЛЕЖИ на графиката на дадената функция.

в) От дадените координати на точката C следва, че x = и y = . Проверяваме дали е изпълнено равенството y = f (x):

    

графика линейна функция

  • Т.е. равенството y = f (x) се изпълнява или т. C ЛЕЖИ на графиката на дадената функция.

Зад. №3:
Определете стойностите на a и b така, че точките A (– 1; a) и B (b; – 0,5) да лежат на графиката на функцията f (x) = – x – 2?
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте упътването на Зад.2.

  • За т. А имаме x = – 1 и y = a. Заместваме в равенството y = f (x):
    a = f (– 1) a = – (– 1) – 2 = – 1, т.е. a = – 1.
  • За т. B имаме x = b и y = – 0,5. Заместваме в равенството y = f (x):
    – 0,5 = f (b) – 0,5 = – b – 2 b = – 1,5.

Зад. №4:
Дадени са функциите f (x) = 3, g (x) = – 2x – 1 и h (x) = x – 5.

а) Определете коя функция е растяща, намаляваща или константа.

б) Намерете пресечните точки на графиките на тези функции с координатните оси.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Видът на линейната функция се определя от знака на коефициента a (ъгловия коефициент).

а) Трите функции са линейни. Видът на такава функция се определя от знака на коефициента a (ъгловия коефициент):

  • Във функцията f (x) няма x. Това означава, че a = 0, т.е. тази функция е константа.
  • За функцията g (x) имаме a = – 2 < 0, т.е. тази функция е намаляваща.
  • За функцията h (x) имаме a = 1 > 0, т.е. тази функция е растяща.

б)

  • Функцията f (x) = 3 е константа и графиката ѝ е права, успоредна на абсцисната ос и минаваща през точка с координати (0; 3). Следователно графиката на функцията НЕ пресича абсцисната ос, а пресечната ѝ точка с ординатната ос е точка с координати (0; 3).
  • За функцията g (x) = – 2x – 1 имаме a = – 2, b = – 1. От казаното по-горе следва, че графиката ѝ пресича:
    • абсцисната ос в точка:пресечни точки с абсцисната ос
    • ординатната ос в точка:
      N (0; b) = N (0; – 1).
  • За функцията h (x) = x – 5 имаме a = 1, b = – 5. От казаното по-горе следва, че графиката ѝ пресича:
    • абсцисната ос в точка:
      = M (5; 0).
    • ординатната ос в точка:
      N (0; b) = N (0; – 5).

Зад. №5:
Да се намерят координатите на пресечната точка на графиките на функциите f (x) = – x – 3 и g (x) = 3x + 1
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Решете уравнението f (x) = g (x), за да намерите x координатата на пресечната точка (ако има такава) на двете линейни функции.

Върни се в теорията  


II. Квадратна функция

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Дадени са функциите f (x) = 3x2 + 6x + 1 и g (x) = – x2 – 2x + 5. Да се намерят:

а) координатите на върха на параболата;

б) интервалите на растене и намаляване на функциите;

в) най-малката стойност (НМС) и най-голямата стойност (НГС) на функциите;

г) Пресечните точки на графиките на функциите с абсцисната и ординатната ос.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходящо свойство на квадратната функция.

а) Използваме Свойство 1 на квадратната функция.

  • За функцията f (x) имаме a = 3, b = 6, c = 1. Тогава:
    • xv = – 1.
    • yv = f (xv) = 3.(– 1)2 + 6.(– 1) + 1 = – 2.
    • V (xv; yv) = V (– 1; – 2).
  • За функцията g (x) имаме a = – 1, b = – 2, c = 5. Тогава:
    • xv = – 1.
    • yv = f (xv) = – 1.(– 1)2 – 2.(– 1) + 5 = 6.
    • V (xv; yv) = V (– 1; 6).

б) Използваме Свойство 2 на квадратната функция.

  • Намираме интервалите на растене и намаляване на квадратната функция f (x).
    • За функцията f (x) имаме a = 3 > 0, т.е. графиката е парабола с връх надолу.
    • В подточка а) намерихме, че x координатата на върха е xv = – = – 1.
    • От Свойство 2 следва, че f (x) намалява в интервала (– ∞; – 1) и расте в интервала (– 1; + ∞).
  • По подобен начин намираме съответните интервали за функцията g (x).
    • За функцията g (x) имаме a = – 1 < 0, т.е. графиката е парабола с връх нагоре.
    • В подточка а) намерихме, че x координатата на върха е xv = – = – 1.
    • От Свойство 2 следва, че g (x) намалява в интервала (– 1; + ∞) и расте в интервала (– ∞; – 1).

в) Използваме Свойство 3 на квадратната функция.

  • Намираме НМС и НГС на квадратната функция f (x).
    • В подточка б) видяхме, че параболата на функцията f (x) е с връх надолу.
    • От Свойство 3 следва, че f (x) няма НГС, а НМС е при xv = – 1.
    • Намираме НМС, а тя е y координатата на върха. В подточка а) видяхме, че това е – 2, т.е. НМС = f (– 1) = – 6.
  • По подобен начин установяваме, че функцията g (x) няма НМС (защото върхът на параболата е нагоре), а НГС е при y координатата на върха, т.е. НГС = f (– 1) = 6.

г) Използваме Свойство 1 на квадратната функция.

  • Намираме пресечната точка на параболата на двете функции с ординатната ос:
    • За функцията f (x) имаме:
      f (0) = 3.02 + 6.0 + 1 = 1. Точката е с координати (0; 1).
    • За функцията g (x) имаме:
      g (0) = – 02 – 2.0 + 5 = 5. Точката е с координати (0; 5).
  • Намираме пресечните точки на f (x) с абсцисната ос. От Свойство 1 следва, че трябва да решим квадратното уравнение f (x) = 0, т.е. уравнението 3x2 + 6x + 1 = 0. Използваме кратката формула:
    • D = 32 – 3.1 = 6 .
    • x1 = , x2 = .
    • Точките са две: с координати и .
  • Намираме пресечните точки на g (x) с абсцисната ос, като използваме кратката формула, за да решим квадратното уравнение – x2 – 2x + 5 = 0 | . (– 1) x2 + 2x – 5 = 0:
    • D = 12 + 5 = 6 .
    • x1 = – 1 + , x2 = – 1 – .
    • Точките са две: с координати ( – 1; 0) и (– 1 – ; 0).

Върни се в теорията  


III. Квадратни неравенства

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Да се решат неравенствата:
а) x2 – 3x + 2 < 0;
б) 25x2 – 20x – 4 > 0;
в) 25x2 – 20x – 4 ≥ 0;
г) 25x2 – 20x – 4 < 0;
д) 25x2 – 20x – 4 ≤ 0;
е) – x2 + x – 2 ≥ 5;
ж) – x2 + x – 2 > 5;
з) – x2 + x – 2 ≤ 5.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Използваме формула (7), за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):

D = 32 – 4.2 = 1 = 1 x1 = = 2, x2 = = 1.

I начин: Прилагаме графичния начин:

  • Коефициентът пред x2 е положително числа (a = 1 > 0), т.е. параболата е с върха надолу.
  • Начертаваме параболата:
  • По условие търсим отрицателните стойности на квадратния тричлен (по-малките от 0), т.е. решенията са: x (1; 2).

II начин: Прилагаме метода на интервалите:

  • Нанасяме корените x1 = 2 и x2 = 1 на числовата ос и понеже няма минуси пред неизвестното получаваме:
  • По условие търсим отрицателните стойности на квадратния тричлен (по-малките от 0), т.е. решенията са: x (1; 2).

б)

  • Използваме кратката формула, за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):
    D = 102 – 25.4 = 0 = 0 x1 = x2 = .
  • Чертаем параболата:
  • По условие търсим положителните стойности на квадратния тричлен (по-големите от 0), т.е. решенията са: x (– ∞; ) (; + ∞).

в) Корените и картинката за параболата са същите, както при подточка б), но решенията са различни. Понеже търсим по-големите или равните на 0, т.е. коренът x = се включва в решенията. Това означава, че решенията са всяко x, т.е. x (– ∞; + ∞).

г) Корените и картинката за параболата са същите, както при подточка б), но решенията са различни. Понеже търсим по-малките от 0, а такива няма. Това означава, че даденото неравенство няма решение, т.е. x ∅.

д) За разлика от подточка г) по условие търсим по-малките или равни на 0. Това означава, че единственото решение на даденото неравенство е x = .

е)

  • Преобразуваме квадратното неравенство до основен вид:
    – x2 + x – 2 ≥ 5 – x2 + x – 2 – 5 ≥ 0 – x2 + x – 7 ≥ 0 | . (– 1) x2 – x + 7 ≤ 0.
  • Използваме формула (7), за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):
    D = 12 – 4.7 = – 27 < 0.
  • Чертаем параболата:
  • По условие търсим по-малките или равни на 0, но такива няма, т.е. даденото неравенство няма решение, като записваме x ∅.

ж)

  • По подобен начин както в подточка е), от даденото неравенство получаваме:
    x2 – x + 7 ≤ 0.
  • Това неравенство няма решение, защото чертежът е същия, но търсим само по-малките от 0, но такива отново няма, т.е. решението на даденото неравенство е x ∅.

з)

  • По подобен начин както в подточка е), от даденото неравенство получаваме:
    x2 – x + 7 ≤ 0.
  • Това неравенство има решение всяко x, защото чертежът е същия, но търсим по-големите или равни на 0, а това са всички числа, т.е. решението на даденото неравенство е x (– ∞; + ∞).

Върни се в теорията  


IV. Неравенства от по-висока степен

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Да се решат неравенствата:
а) (6 – x)(2x + 6)(3 – x) > 0;
б) (x2 – 3x + 2)(x – 1)(x2 + 1) < 0;
в) (x2 – 3x + 2)(x – 1)(x2 + 1) ≤ 0;
г) (x + 1)2(x2 – 9) ≥ 0.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Използваме метода на интервалите:

  • Нулираме всяка скоба:
    • 6 – x = 0 x = 6.
    • 2x + 6 = 0 x = – 3.
    • 3 – x = 0 x = 3.
  • Нанасяме тези числа върху числовата ос и определяме, че знакът на най-десния интервал е плюс, защото имаме 2 минуса пред неизвестното:
  • Решенията на даденото неравенство са x (– 3; 3) (6; + ∞).

б) Отново използваме метода на интервалите:

  • Нулираме всяка скоба:
    • x2 – 3x + 2 = 0, D = 9 – 8 = 1 x1 = 1, x2 = 2.
    • x – 1 = 0 x = 1.
    • x2 + 1 = 0 x2 = – 1, т.е. няма решение.
  • Коренът x = 1 се повтаря, т.е. имаме частен случай.
  • Нанасяме тези числа върху числовата ос, като частният случай не се включва в интервалите и определяме, че знакът на най-десния интервал е плюс, защото няма минуси пред неизвестното:
  • Решенията на даденото неравенство са x (– ∞; – 1) (– 1; 2).

в) Отново използваме метода на интервалите:

  • Корените и картинката от числовата ос от подточка б) са същите.
  • По условие търсим по-малките или равни на 0. Това означава, че частният случай (x = 1) се включва в решенията, т.е. решенията са x (– ∞; 2].

г) Ще решим задачата по два начина:

I начин:

  • Множителят (x + 1)2 ≥ 0 за всяко x, като приема стойност 0 само за x = – 1. Затова:
    метод на интервалите
  • Решенията са x (– ∞; – 3] {– 1} [3; + ∞).

II начин: Използваме метода на интервалите:

  • Нулираме всяка скоба:
    • (x + 1)2 = 0 x – 1 = 0 x = – 1, но изразът е на квадрат, т.е. x = – 1 е частен случай.
    • x2 – 9 = 0 (x – 3)(x + 3) = 0 x1 = – 3, x2 = 3.
  • Нанасяме тези числа върху числовата ос, като частният случай (x = – 1) не се включва в интервалите и определяме, че знакът на най-десния интервал е плюс, защото няма минуси пред неизвестното:
  • По условие търсим по-големите или равни на 0. Това означава, че частният случай (x = – 1) се включва в решенията, т.е. решенията на даденото неравенство са x (– ∞; – 3] {– 1} [3; + ∞).

Зад. №2:
Решете биквадратните неравенства:
а) x4 – 9x2 + 8 < 0;
б) x4 – 15x2 – 16 ≥ 0.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а)

б)

  • Полагаме x2 = y ≥ 0.
  • Решаваме квадратното неравенство y2 – 15y – 16 ≥ 0:
    • Намираме дискриминантата:
      D = 152 + 4.16 = 289 .
    • Намираме корените:
      y1 = = 16; y2 = = – 1.
    • Начертаваме параболата:
    • Записваме решенията: y (– ∞; – 1] [16; + ∞).
    • Но в полагането казахме, че y ≥ 0, тогава y [16; + ∞).
  • От полагането намираме x:
    y [16; + ∞) y ≥ 16 x2 ≥ 16 x2 – 16 ≥ 0 (x – 4)(x + 4) ≥ 0 x (– ∞; – 4] [4; + ∞).

Върни се в теорията  

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

10 клас

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес https://solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес https://solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес https://solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание