Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

а) Във формулата на функцията f (x) заместете с дадените стойности на x.

б) Заместете с дадените стойности на функцията f (x) и решете полученото линейно уравнение.

в) Записът f (x – 4) означава, че стойността на аргумента е x – 4 и решете задачата както в подточка а).

а) Търсим стойността на функцията f (x) при дадено неизвестно x (аргумент).

• При x = – 2 f (– 2) = 1 – .(– 2) = 1 + 1 = 2, т.е. f (– 2) = 2.
• При x = 0 f (0) = 1 – .0 = 1, т.е. f (0) = 1.
• При x = 3 f (3) = 1 – .3 = 1 – = – , т.е. f (3) = – .
• При x = a – 2 f (a – 2) = 1 – .(a – 2) = 1 – a + 1 = 2 – a, т.е. f (a – 2) = 2 – a.

б) Търсим стойността на неизвестно x (аргумента) при дадена стойност на функцията f (x).

• По условие имаме f (x) = 4, т.е.
  f (x) = 1 – x = 4 2 – x = 8 x = – 6.
• По условие имаме f (x) = – 2, т.е.
  f (x) = 1 – x = – 2 2 – x = – 4 x = 6.
• По условие имаме f (x) = 0, т.е.
  f (x) = 1 – x = 0 2 – x = 0 x = 2.

в) Записът f (x – 4) означава, че стойността на аргумента е x – 4. Тогава:
f (x – 4) = 1 – .(x – 4) = 1 – x + 2 = 3 – x, т.е. f (x – 4) = 3 – x.

Използваме това, че една точка M (x₁; y₁) лежи на графиката на функцията y = f (x), ако е изпълнено равенството y₁ = f (x₁).

а) От дадените координати на точката A следва, че x = 1 и y = 3. Проверяваме дали е изпълнено равенството y = f (x):

• При x = 1 f (1) = 7.1 – 2 = 5 ≠ 3.
• Т.е. равенството y = f (x) не се изпълнява или т. A НЕ лежи на графиката на функцията f (x) = 7x – 2.

б) От дадените координати на точката B следва, че x = – 1 и y = – 9. Проверяваме дали е изпълнено равенството y = f (x):

• При x = – 1 f (– 1) = 7.(– 1) – 2 = – 9.
• Т.е. равенството y = f (x) се изпълнява или т. B ЛЕЖИ на графиката на дадената функция.

в) От дадените координати на точката C следва, че x = и y = . Проверяваме дали е изпълнено равенството y = f (x):

• Т.е. равенството y = f (x) се изпълнява или т. C ЛЕЖИ на графиката на дадената функция.

Използвайте упътването на Зад.2.

• За т. А имаме x = – 1 и y = a. Заместваме в равенството y = f (x):
  a = f (– 1) a = – (– 1) – 2 = – 1, т.е. a = – 1.
• За т. B имаме x = b и y = – 0,5. Заместваме в равенството y = f (x):
  – 0,5 = f (b) – 0,5 = – b – 2 b = – 1,5.

Видът на линейната функция се определя от знака на коефициента a (ъгловия коефициент).

а) Трите функции са линейни. Видът на такава функция се определя от знака на коефициента a (ъгловия коефициент):

• Във функцията f (x) няма x. Това означава, че a = 0, т.е. тази функция е константа.
• За функцията g (x) имаме a = – 2 < 0, т.е. тази функция е намаляваща.
• За функцията h (x) имаме a = 1 > 0, т.е. тази функция е растяща.

б)

• Функцията f (x) = 3 е константа и графиката ѝ е права, успоредна на абсцисната ос и минаваща през точка с координати (0; 3). Следователно графиката на функцията НЕ пресича абсцисната ос, а пресечната ѝ точка с ординатната ос е точка с координати (0; 3).
• За функцията g (x) = – 2x – 1 имаме a = – 2, b = – 1. От казаното по-горе следва, че графиката ѝ пресича:
  • абсцисната ос в точка:
  • ординатната ос в точка:
    N (0; b) = N (0; – 1).
• За функцията h (x) = x – 5 имаме a = 1, b = – 5. От казаното по-горе следва, че графиката ѝ пресича:
  • абсцисната ос в точка:
    = M (5; 0).
  • ординатната ос в точка:
    N (0; b) = N (0; – 5).

Решете уравнението f (x) = g (x), за да намерите x координатата на пресечната точка (ако има такава) на двете линейни функции.

• Линейната функция f (x) има ъглов коефициент a₁ = – 1, а ъгловият коефициент на функцията g (x) е a₂ = 2. Това означава, че двете функции имат пресечна точка.
• Решаваме уравнението f (x) = g (x), за да намерим x координатата на тази точка:
  f (x) = g (x) – x – 3 = 3x + 1 x = – 1.
• Заместваме в една от функциите, за да намерим y координатата:
  g (– 1) = 3.(– 1) + 1 = – 2.
• Пресечната точка има координати (– 1; – 2).

Използвайте подходящо свойство на квадратната функция.

а) Използваме Свойство 1 на квадратната функция.

• За функцията f (x) имаме a = 3, b = 6, c = 1. Тогава:
  • x_v = – 1.
  • y_v = f (x_v) = 3.(– 1)² + 6.(– 1) + 1 = – 2.
  • V (x_v; y_v) = V (– 1; – 2).
• За функцията g (x) имаме a = – 1, b = – 2, c = 5. Тогава:
  • x_v = – 1.
  • y_v = f (x_v) = – 1.(– 1)² – 2.(– 1) + 5 = 6.
  • V (x_v; y_v) = V (– 1; 6).

б) Използваме Свойство 2 на квадратната функция.

• Намираме интервалите на растене и намаляване на квадратната функция f (x).
  • За функцията f (x) имаме a = 3 > 0, т.е. графиката е парабола с връх надолу.
  • В подточка а) намерихме, че x координатата на върха е x_v = – = – 1.
  • От Свойство 2 следва, че f (x) намалява в интервала (– ∞; – 1) и расте в интервала (– 1; + ∞).
• По подобен начин намираме съответните интервали за функцията g (x).
  • За функцията g (x) имаме a = – 1 < 0, т.е. графиката е парабола с връх нагоре.
  • В подточка а) намерихме, че x координатата на върха е x_v = – = – 1.
  • От Свойство 2 следва, че g (x) намалява в интервала (– 1; + ∞) и расте в интервала (– ∞; – 1).

в) Използваме Свойство 3 на квадратната функция.

• Намираме НМС и НГС на квадратната функция f (x).
  • В подточка б) видяхме, че параболата на функцията f (x) е с връх надолу.
  • От Свойство 3 следва, че f (x) няма НГС, а НМС е при x_v = – 1.
  • Намираме НМС, а тя е y координатата на върха. В подточка а) видяхме, че това е – 2, т.е. НМС = f (– 1) = – 6.
• По подобен начин установяваме, че функцията g (x) няма НМС (защото върхът на параболата е нагоре), а НГС е при y координатата на върха, т.е. НГС = f (– 1) = 6.

г) Използваме Свойство 1 на квадратната функция.

• Намираме пресечната точка на параболата на двете функции с ординатната ос:
  • За функцията f (x) имаме:
    f (0) = 3.0² + 6.0 + 1 = 1. Точката е с координати (0; 1).
  • За функцията g (x) имаме:
    g (0) = – 0² – 2.0 + 5 = 5. Точката е с координати (0; 5).
• Намираме пресечните точки на f (x) с абсцисната ос. От Свойство 1 следва, че трябва да решим квадратното уравнение f (x) = 0, т.е. уравнението 3x² + 6x + 1 = 0. Използваме кратката формула:
  • D = 3² – 3.1 = 6 .
  • x₁ = , x₂ = .
  • Точките са две: с координати и .
• Намираме пресечните точки на g (x) с абсцисната ос, като използваме кратката формула, за да решим квадратното уравнение – x² – 2x + 5 = 0 | . (– 1) x² + 2x – 5 = 0:
  • D = 1² + 5 = 6 .
  • x₁ = – 1 + , x₂ = – 1 – .
  • Точките са две: с координати ( – 1; 0) и (– 1 – ; 0).

Използвайте подходящ метод за решаване на квадратно неравенство.

а) Използваме формула (7), за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):

D = 3² – 4.2 = 1 = 1 x₁ = = 2, x₂ = = 1.

I начин: Прилагаме графичния начин:

• Коефициентът пред x² е положително числа (a = 1 > 0), т.е. параболата е с върха надолу.
• Начертаваме параболата:
  
• По условие търсим отрицателните стойности на квадратния тричлен (по-малките от 0), т.е. решенията са: x (1; 2).

II начин: Прилагаме метода на интервалите:

• Нанасяме корените x₁ = 2 и x₂ = 1 на числовата ос и понеже няма минуси пред неизвестното получаваме:
  
• По условие търсим отрицателните стойности на квадратния тричлен (по-малките от 0), т.е. решенията са: x (1; 2).

б)

• Използваме кратката формула, за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):
  D = 10² – 25.4 = 0 = 0 x₁ = x₂ = .
• Чертаем параболата:
  
• По условие търсим положителните стойности на квадратния тричлен (по-големите от 0), т.е. решенията са: x (– ∞; ) (; + ∞).

в) Корените и картинката за параболата са същите, както при подточка б), но решенията са различни. Понеже търсим по-големите или равните на 0, т.е. коренът x = се включва в решенията. Това означава, че решенията са всяко x, т.е. x (– ∞; + ∞).

г) Корените и картинката за параболата са същите, както при подточка б), но решенията са различни. Понеже търсим по-малките от 0, а такива няма. Това означава, че даденото неравенство няма решение, т.е. x ∅.

д) За разлика от подточка г) по условие търсим по-малките или равни на 0. Това означава, че единственото решение на даденото неравенство е x = .

е)

• Преобразуваме квадратното неравенство до основен вид:
  – x² + x – 2 ≥ 5 – x² + x – 2 – 5 ≥ 0 – x² + x – 7 ≥ 0 | . (– 1) x² – x + 7 ≤ 0.
• Използваме формула (7), за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):
  D = 1² – 4.7 = – 27 < 0.
• Чертаем параболата:
  
• По условие търсим по-малките или равни на 0, но такива няма, т.е. даденото неравенство няма решение, като записваме x ∅.

ж)

• По подобен начин както в подточка е), от даденото неравенство получаваме:
  x² – x + 7 ≤ 0.
• Това неравенство няма решение, защото чертежът е същия, но търсим само по-малките от 0, но такива отново няма, т.е. решението на даденото неравенство е x ∅.

з)

• По подобен начин както в подточка е), от даденото неравенство получаваме:
  x² – x + 7 ≤ 0.
• Това неравенство има решение всяко x, защото чертежът е същия, но търсим по-големите или равни на 0, а това са всички числа, т.е. решението на даденото неравенство е x (– ∞; + ∞).

Използвайте подходящ метод за решаване на неравенства от по-висока степен.

а) Използваме метода на интервалите:

• Нулираме всяка скоба:
  • 6 – x = 0 x = 6.
  • 2x + 6 = 0 x = – 3.
  • 3 – x = 0 x = 3.
• Нанасяме тези числа върху числовата ос и определяме, че знакът на най-десния интервал е плюс, защото имаме 2 минуса пред неизвестното:
  
• Решенията на даденото неравенство са x (– 3; 3) (6; + ∞).

б) Отново използваме метода на интервалите:

• Нулираме всяка скоба:
  • x² – 3x + 2 = 0, D = 9 – 8 = 1 x₁ = 1, x₂ = 2.
  • x – 1 = 0 x = 1.
  • x² + 1 = 0 x² = – 1, т.е. няма решение.
• Коренът x = 1 се повтаря, т.е. имаме частен случай.
• Нанасяме тези числа върху числовата ос, като частният случай не се включва в интервалите и определяме, че знакът на най-десния интервал е плюс, защото няма минуси пред неизвестното:
• Решенията на даденото неравенство са x (– ∞; – 1) (– 1; 2).

в) Отново използваме метода на интервалите:

• Корените и картинката от числовата ос от подточка б) са същите.
• По условие търсим по-малките или равни на 0. Това означава, че частният случай (x = 1) се включва в решенията, т.е. решенията са x (– ∞; 2].

г) Ще решим задачата по два начина:

I начин:

• Множителят (x + 1)² ≥ 0 за всяко x, като приема стойност 0 само за x = – 1. Затова:
  
• Решенията са x (– ∞; – 3] {– 1} [3; + ∞).

II начин: Използваме метода на интервалите:

• Нулираме всяка скоба:
  • (x + 1)² = 0 x – 1 = 0 x = – 1, но изразът е на квадрат, т.е. x = – 1 е частен случай.
  • x² – 9 = 0 (x – 3)(x + 3) = 0 x₁ = – 3, x₂ = 3.
• Нанасяме тези числа върху числовата ос, като частният случай (x = – 1) не се включва в интервалите и определяме, че знакът на най-десния интервал е плюс, защото няма минуси пред неизвестното:
• По условие търсим по-големите или равни на 0. Това означава, че частният случай (x = – 1) се включва в решенията, т.е. решенията на даденото неравенство са x (– ∞; – 3] {– 1} [3; + ∞).

Използвайте подходящ метод за решаване на неравенства от по-висока степен.

а)

• Полагаме x² = y ≥ 0.
• Получаваме квадратното неравенство y² – 9y + 8 < 0 и го решаваме:
  • Намираме дискриминантата:
    D = (– 9)² – 4.8 = 49 .
  • Намираме корените:
    y₁ = = 8; y₂ = = 1.
  • Начертаваме параболата:
    
  • Записваме решенията: y (1; 8).
• От полагането получаваме:

б)

• Полагаме x² = y ≥ 0.
• Решаваме квадратното неравенство y² – 15y – 16 ≥ 0:
  • Намираме дискриминантата:
    D = 15² + 4.16 = 289 .
  • Намираме корените:
    y₁ = = 16; y₂ = = – 1.
  • Начертаваме параболата:
    
  • Записваме решенията: y (– ∞; – 1] [16; + ∞).
  • Но в полагането казахме, че y ≥ 0, тогава y [16; + ∞).
• От полагането намираме x:
  y [16; + ∞) y ≥ 16 x² ≥ 16 x² – 16 ≥ 0 (x – 4)(x + 4) ≥ 0 x (– ∞; – 4] [4; + ∞).