
Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра
Съдържание на темата:
I. Линейна функция
Решени задачи
- Зад. №1:
- Дадена е функцията f (x) = 1 – x. Намерете:
а) функционалната стойност, ако стойността на аргумента е: – 2; 0; 3; a – 2.
б) стойността на аргумента, ако функционалната стойност е: 4; – 2; 0.
в) f (x – 4).
а) Във формулата на функцията f (x) заместете с дадените стойности на x.
б) Заместете с дадените стойности на функцията f (x) и решете полученото линейно уравнение.
в) Записът f (x – 4) означава, че стойността на аргумента е x – 4 и решете задачата както в подточка а).
а) Търсим стойността на функцията f (x) при дадено неизвестно x (аргумент).
- При x = – 2 f (– 2) = 1 – .(– 2) = 1 + 1 = 2, т.е. f (– 2) = 2.
- При x = 0 f (0) = 1 – .0 = 1, т.е. f (0) = 1.
- При x = 3 f (3) = 1 – .3 = 1 – = – , т.е. f (3) = – .
- При x = a – 2 f (a – 2) = 1 – .(a – 2) = 1 – a + 1 = 2 – a, т.е. f (a – 2) = 2 – a.
б) Търсим стойността на неизвестно x (аргумента) при дадена стойност на функцията f (x).
- По условие имаме f (x) = 4, т.е.
f (x) = 1 – x = 4 2 – x = 8 x = – 6. - По условие имаме f (x) = – 2, т.е.
f (x) = 1 – x = – 2 2 – x = – 4 x = 6. - По условие имаме f (x) = 0, т.е.
f (x) = 1 – x = 0 2 – x = 0 x = 2.
в) Записът f (x – 4) означава, че стойността на аргумента е x – 4. Тогава:
f (x – 4) = 1 – .(x – 4) = 1 – x + 2 = 3 – x, т.е. f (x – 4) = 3 – x.
- Зад. №2:
- Кои от дадените точки лежат на графиката на функцията f (x) = 7x – 2?
а) A (1; 3);б) B (– 1; – 9);в) C .
Използваме това, че една точка M (x1; y1) лежи на графиката на функцията y = f (x), ако е изпълнено равенството y1 = f (x1).
а) От дадените координати на точката A следва, че x = 1 и y = 3. Проверяваме дали е изпълнено равенството y = f (x):
- При x = 1 f (1) = 7.1 – 2 = 5 ≠ 3.
- Т.е. равенството y = f (x) не се изпълнява или т. A НЕ лежи на графиката на функцията f (x) = 7x – 2.
б) От дадените координати на точката B следва, че x = – 1 и y = – 9. Проверяваме дали е изпълнено равенството y = f (x):
- При x = – 1 f (– 1) = 7.(– 1) – 2 = – 9.
- Т.е. равенството y = f (x) се изпълнява или т. B ЛЕЖИ на графиката на дадената функция.
в) От дадените координати на точката C следва, че x = и y = . Проверяваме дали е изпълнено равенството y = f (x):
- Т.е. равенството y = f (x) се изпълнява или т. C ЛЕЖИ на графиката на дадената функция.
- Зад. №3:
- Определете стойностите на a и b така, че точките A (– 1; a) и B (b; – 0,5) да лежат на графиката на функцията f (x) = – x – 2?
- За т. А имаме x = – 1 и y = a. Заместваме в равенството y = f (x):
a = f (– 1) a = – (– 1) – 2 = – 1, т.е. a = – 1. - За т. B имаме x = b и y = – 0,5. Заместваме в равенството y = f (x):
– 0,5 = f (b) – 0,5 = – b – 2 b = – 1,5.
- Зад. №4:
- Дадени са функциите f (x) = 3, g (x) = – 2x – 1 и h (x) = x – 5.
а) Определете коя функция е растяща, намаляваща или константа.
б) Намерете пресечните точки на графиките на тези функции с координатните оси.
а) Трите функции са линейни. Видът на такава функция се определя от знака на коефициента a (ъгловия коефициент):
- Във функцията f (x) няма x. Това означава, че a = 0, т.е. тази функция е константа.
- За функцията g (x) имаме a = – 2 < 0, т.е. тази функция е намаляваща.
- За функцията h (x) имаме a = 1 > 0, т.е. тази функция е растяща.
б)
- Функцията f (x) = 3 е константа и графиката ѝ е права, успоредна на абсцисната ос и минаваща през точка с координати (0; 3). Следователно графиката на функцията НЕ пресича абсцисната ос, а пресечната ѝ точка с ординатната ос е точка с координати (0; 3).
- За функцията g (x) = – 2x – 1 имаме a = – 2, b = – 1. От казаното по-горе следва, че графиката ѝ пресича:
- абсцисната ос в точка:
- ординатната ос в точка:
N (0; b) = N (0; – 1).
- абсцисната ос в точка:
- За функцията h (x) = x – 5 имаме a = 1, b = – 5. От казаното по-горе следва, че графиката ѝ пресича:
- абсцисната ос в точка:
= M (5; 0). - ординатната ос в точка:
N (0; b) = N (0; – 5).
- абсцисната ос в точка:
- Зад. №5:
- Да се намерят координатите на пресечната точка на графиките на функциите f (x) = – x – 3 и g (x) = 3x + 1.
- Линейната функция f (x) има ъглов коефициент a1 = – 1, а ъгловият коефициент на функцията g (x) е a2 = 2. Това означава, че двете функции имат пресечна точка.
- Решаваме уравнението f (x) = g (x), за да намерим x координатата на тази точка:
f (x) = g (x) – x – 3 = 3x + 1 x = – 1. - Заместваме в една от функциите, за да намерим y координатата:
g (– 1) = 3.(– 1) + 1 = – 2. - Пресечната точка има координати (– 1; – 2).
II. Квадратна функция
Решени задачи
- Зад. №1:
- Дадени са функциите f (x) = 3x2 + 6x + 1 и g (x) = – x2 – 2x + 5. Да се намерят:
а) координатите на върха на параболата;
б) интервалите на растене и намаляване на функциите;
в) най-малката стойност (НМС) и най-голямата стойност (НГС) на функциите;
г) Пресечните точки на графиките на функциите с абсцисната и ординатната ос.
а) Използваме Свойство 1 на квадратната функция.
- За функцията f (x) имаме a = 3, b = 6, c = 1. Тогава:
- xv = – 1.
- yv = f (xv) = 3.(– 1)2 + 6.(– 1) + 1 = – 2.
- V (xv; yv) = V (– 1; – 2).
- За функцията g (x) имаме a = – 1, b = – 2, c = 5. Тогава:
- xv = – 1.
- yv = f (xv) = – 1.(– 1)2 – 2.(– 1) + 5 = 6.
- V (xv; yv) = V (– 1; 6).
б) Използваме Свойство 2 на квадратната функция.
- Намираме интервалите на растене и намаляване на квадратната функция f (x).
- За функцията f (x) имаме a = 3 > 0, т.е. графиката е парабола с връх надолу.
- В подточка а) намерихме, че x координатата на върха е xv = – = – 1.
- От Свойство 2 следва, че f (x) намалява в интервала (– ∞; – 1) и расте в интервала (– 1; + ∞).
- По подобен начин намираме съответните интервали за функцията g (x).
- За функцията g (x) имаме a = – 1 < 0, т.е. графиката е парабола с връх нагоре.
- В подточка а) намерихме, че x координатата на върха е xv = – = – 1.
- От Свойство 2 следва, че g (x) намалява в интервала (– 1; + ∞) и расте в интервала (– ∞; – 1).
в) Използваме Свойство 3 на квадратната функция.
- Намираме НМС и НГС на квадратната функция f (x).
- В подточка б) видяхме, че параболата на функцията f (x) е с връх надолу.
- От Свойство 3 следва, че f (x) няма НГС, а НМС е при xv = – 1.
- Намираме НМС, а тя е y координатата на върха. В подточка а) видяхме, че това е – 2, т.е. НМС = f (– 1) = – 6.
- По подобен начин установяваме, че функцията g (x) няма НМС (защото върхът на параболата е нагоре), а НГС е при y координатата на върха, т.е. НГС = f (– 1) = 6.
г) Използваме Свойство 1 на квадратната функция.
- Намираме пресечната точка на параболата на двете функции с ординатната ос:
- За функцията f (x) имаме:
f (0) = 3.02 + 6.0 + 1 = 1. Точката е с координати (0; 1). - За функцията g (x) имаме:
g (0) = – 02 – 2.0 + 5 = 5. Точката е с координати (0; 5).
- За функцията f (x) имаме:
- Намираме пресечните точки на f (x) с абсцисната ос. От Свойство 1 следва, че трябва да решим квадратното уравнение f (x) = 0, т.е. уравнението 3x2 + 6x + 1 = 0. Използваме кратката формула:
- D = 32 – 3.1 = 6 .
- x1 = , x2 = .
- Точките са две: с координати и .
- Намираме пресечните точки на g (x) с абсцисната ос, като използваме кратката формула, за да решим квадратното уравнение – x2 – 2x + 5 = 0 | . (– 1) x2 + 2x – 5 = 0:
- D = 12 + 5 = 6 .
- x1 = – 1 + , x2 = – 1 – .
- Точките са две: с координати ( – 1; 0) и (– 1 – ; 0).
III. Квадратни неравенства
Решени задачи
- Зад. №1:
- Да се решат неравенствата:
а) x2 – 3x + 2 < 0;б) 25x2 – 20x – 4 > 0;в) 25x2 – 20x – 4 ≥ 0;г) 25x2 – 20x – 4 < 0;д) 25x2 – 20x – 4 ≤ 0;е) – x2 + x – 2 ≥ 5;ж) – x2 + x – 2 > 5;з) – x2 + x – 2 ≤ 5.
а) Използваме формула (7), за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):
D = 32 – 4.2 = 1 = 1 x1 = = 2, x2 = = 1.
I начин: Прилагаме графичния начин:
- Коефициентът пред x2 е положително числа (a = 1 > 0), т.е. параболата е с върха надолу.
- Начертаваме параболата:
- По условие търсим отрицателните стойности на квадратния тричлен (по-малките от 0), т.е. решенията са: x (1; 2).
II начин: Прилагаме метода на интервалите:
- Нанасяме корените x1 = 2 и x2 = 1 на числовата ос и понеже няма минуси пред неизвестното получаваме:
- По условие търсим отрицателните стойности на квадратния тричлен (по-малките от 0), т.е. решенията са: x (1; 2).
б)
- Използваме кратката формула, за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):
D = 102 – 25.4 = 0 = 0 x1 = x2 = . - Чертаем параболата:
- По условие търсим положителните стойности на квадратния тричлен (по-големите от 0), т.е. решенията са: x (– ∞; ) (; + ∞).
в) Корените и картинката за параболата са същите, както при подточка б), но решенията са различни. Понеже търсим по-големите или равните на 0, т.е. коренът x = се включва в решенията. Това означава, че решенията са всяко x, т.е. x (– ∞; + ∞).
г) Корените и картинката за параболата са същите, както при подточка б), но решенията са различни. Понеже търсим по-малките от 0, а такива няма. Това означава, че даденото неравенство няма решение, т.е. x ∅.
д) За разлика от подточка г) по условие търсим по-малките или равни на 0. Това означава, че единственото решение на даденото неравенство е x = .
е)
- Преобразуваме квадратното неравенство до основен вид:
– x2 + x – 2 ≥ 5 – x2 + x – 2 – 5 ≥ 0 – x2 + x – 7 ≥ 0 | . (– 1) x2 – x + 7 ≤ 0. - Използваме формула (7), за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):
D = 12 – 4.7 = – 27 < 0. - Чертаем параболата:
- По условие търсим по-малките или равни на 0, но такива няма, т.е. даденото неравенство няма решение, като записваме x ∅.
ж)
- По подобен начин както в подточка е), от даденото неравенство получаваме:
x2 – x + 7 ≤ 0. - Това неравенство няма решение, защото чертежът е същия, но търсим само по-малките от 0, но такива отново няма, т.е. решението на даденото неравенство е x ∅.
з)
- По подобен начин както в подточка е), от даденото неравенство получаваме:
x2 – x + 7 ≤ 0. - Това неравенство има решение всяко x, защото чертежът е същия, но търсим по-големите или равни на 0, а това са всички числа, т.е. решението на даденото неравенство е x (– ∞; + ∞).
IV. Неравенства от по-висока степен
Решени задачи
- Зад. №1:
- Да се решат неравенствата:
а) (6 – x)(2x + 6)(3 – x) > 0;б) (x2 – 3x + 2)(x – 1)(x2 + 1) < 0;в) (x2 – 3x + 2)(x – 1)(x2 + 1) ≤ 0;г) (x + 1)2(x2 – 9) ≥ 0.
а) Използваме метода на интервалите:
- Нулираме всяка скоба:
- 6 – x = 0 x = 6.
- 2x + 6 = 0 x = – 3.
- 3 – x = 0 x = 3.
- Нанасяме тези числа върху числовата ос и определяме, че знакът на най-десния интервал е плюс, защото имаме 2 минуса пред неизвестното:
- Решенията на даденото неравенство са x (– 3; 3) (6; + ∞).
б) Отново използваме метода на интервалите:
- Нулираме всяка скоба:
- x2 – 3x + 2 = 0, D = 9 – 8 = 1 x1 = 1, x2 = 2.
- x – 1 = 0 x = 1.
- x2 + 1 = 0 x2 = – 1, т.е. няма решение.
- Коренът x = 1 се повтаря, т.е. имаме частен случай.
- Нанасяме тези числа върху числовата ос, като частният случай не се включва в интервалите и определяме, че знакът на най-десния интервал е плюс, защото няма минуси пред неизвестното:
- Решенията на даденото неравенство са x (– ∞; – 1) (– 1; 2).
в) Отново използваме метода на интервалите:
- Корените и картинката от числовата ос от подточка б) са същите.
- По условие търсим по-малките или равни на 0. Това означава, че частният случай (x = 1) се включва в решенията, т.е. решенията са x (– ∞; 2].
г) Използваме метода на интервалите:
- Нулираме всяка скоба:
- (x + 1)2 = 0 x – 1 = 0 x = – 1, но изразът е на квадрат, т.е. x = – 1 е частен случай.
- x2 – 9 = 0 (x – 3)(x + 3) = 0 x1 = – 3, x2 = 3.
- Нанасяме тези числа върху числовата ос, като частният случай (x = – 1) не се включва в интервалите и определяме, че знакът на най-десния интервал е плюс, защото няма минуси пред неизвестното:
- По условие търсим по-големите или равни на 0. Това означава, че частният случай (x = – 1) се включва в решенията, т.е. решенията на даденото неравенство са x (– ∞; – 3] {– 1} [3; + ∞).
- Зад. №2:
- Решете биквадратните неравенства:
а) x4 – 9x2 + 8 < 0;б) x4 – 15x2 – 16 ≥ 0.
а)
- Полагаме x2 = y ≥ 0.
- Получаваме квадратното неравенство y2 – 9y + 8 < 0 и го решаваме:
- Намираме дискриминантата:
D = (– 9)2 – 4.8 = 49 . - Намираме корените:
y1 = = 8; y2 = = 1. - Начертаваме параболата:
- Записваме решенията: y (1; 8).
- Намираме дискриминантата:
- От полагането получаваме:
б)
- Полагаме x2 = y ≥ 0.
- Решаваме квадратното неравенство y2 – 15y – 16 ≥ 0:
- Намираме дискриминантата:
D = 152 + 4.16 = 289 . - Намираме корените:
y1 = = 16; y2 = = – 1. - Начертаваме параболата:
- Записваме решенията: y (– ∞; – 1] [16; + ∞).
- Но в полагането казахме, че y ≥ 0, тогава y [16; + ∞).
- Намираме дискриминантата:
- От полагането намираме x:
y [16; + ∞) y ≥ 16 x2 ≥ 16 x2 – 16 ≥ 0 (x – 4)(x + 4) ≥ 0 x (– ∞; – 4] [4; + ∞).
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Вижте още

Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:

Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година: