• Линейната функция f (x) има ъглов коефициент a₁ = – 1, а ъгловият коефициент на функцията g (x) е a₂ = 2. Това означава, че двете функции имат пресечна точка.
• Решаваме уравнението f (x) = g (x), за да намерим x координатата на тази точка:
  f (x) = g (x) – x – 3 = 3x + 1 x = – 1.
• Заместваме в една от функциите, за да намерим y координатата:
  g (– 1) = 3.(– 1) + 1 = – 2.
• Пресечната точка има координати (– 1; – 2).

а) Използваме Свойство 1 на квадратната функция.

• За функцията f (x) имаме a = 3, b = 6, c = 1. Тогава:
  • x_v = – 1.
  • y_v = f (x_v) = 3.(– 1)² + 6.(– 1) + 1 = – 2.
  • V (x_v; y_v) = V (– 1; – 2).
• За функцията g (x) имаме a = – 1, b = – 2, c = 5. Тогава:
  • x_v = – 1.
  • y_v = f (x_v) = – 1.(– 1)² – 2.(– 1) + 5 = 6.
  • V (x_v; y_v) = V (– 1; 6).

б) Използваме Свойство 2 на квадратната функция.

• Намираме интервалите на растене и намаляване на квадратната функция f (x).
  • За функцията f (x) имаме a = 3 > 0, т.е. графиката е парабола с връх надолу.
  • В подточка а) намерихме, че x координатата на върха е x_v = – = – 1.
  • От Свойство 2 следва, че f (x) намалява в интервала (– ∞; – 1) и расте в интервала (– 1; + ∞).
• По подобен начин намираме съответните интервали за функцията g (x).
  • За функцията g (x) имаме a = – 1 < 0, т.е. графиката е парабола с връх нагоре.
  • В подточка а) намерихме, че x координатата на върха е x_v = – = – 1.
  • От Свойство 2 следва, че g (x) намалява в интервала (– 1; + ∞) и расте в интервала (– ∞; – 1).

в) Използваме Свойство 3 на квадратната функция.

• Намираме НМС и НГС на квадратната функция f (x).
  • В подточка б) видяхме, че параболата на функцията f (x) е с връх надолу.
  • От Свойство 3 следва, че f (x) няма НГС, а НМС е при x_v = – 1.
  • Намираме НМС, а тя е y координатата на върха. В подточка а) видяхме, че това е – 2, т.е. НМС = f (– 1) = – 6.
• По подобен начин установяваме, че функцията g (x) няма НМС (защото върхът на параболата е нагоре), а НГС е при y координатата на върха, т.е. НГС = f (– 1) = 6.

г) Използваме Свойство 1 на квадратната функция.

• Намираме пресечната точка на параболата на двете функции с ординатната ос:
  • За функцията f (x) имаме:
    f (0) = 3.0² + 6.0 + 1 = 1. Точката е с координати (0; 1).
  • За функцията g (x) имаме:
    g (0) = – 0² – 2.0 + 5 = 5. Точката е с координати (0; 5).
• Намираме пресечните точки на f (x) с абсцисната ос. От Свойство 1 следва, че трябва да решим квадратното уравнение f (x) = 0, т.е. уравнението 3x² + 6x + 1 = 0. Използваме кратката формула:
  • D = 3² – 3.1 = 6 .
  • x₁ = , x₂ = .
  • Точките са две: с координати и .
• Намираме пресечните точки на g (x) с абсцисната ос, като използваме кратката формула, за да решим квадратното уравнение – x² – 2x + 5 = 0 | . (– 1) x² + 2x – 5 = 0:
  • D = 1² + 5 = 6 .
  • x₁ = – 1 + , x₂ = – 1 – .
  • Точките са две: с координати ( – 1; 0) и (– 1 – ; 0).

а) Използваме формула (7), за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):

D = 3² – 4.2 = 1 = 1 x₁ = = 2, x₂ = = 1.

I начин: Прилагаме графичния начин:

• Коефициентът пред x² е положително числа (a = 1 > 0), т.е. параболата е с върха надолу.
• Начертаваме параболата:
  
• По условие търсим отрицателните стойности на квадратния тричлен (по-малките от 0), т.е. решенията са: x (1; 2).

II начин: Прилагаме метода на интервалите:

• Нанасяме корените x₁ = 2 и x₂ = 1 на числовата ос и понеже няма минуси пред неизвестното получаваме:
  
• По условие търсим отрицателните стойности на квадратния тричлен (по-малките от 0), т.е. решенията са: x (1; 2).

б)

• Използваме кратката формула, за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):
  D = 10² – 25.4 = 0 = 0 x₁ = x₂ = .
• Чертаем параболата:
  
• По условие търсим положителните стойности на квадратния тричлен (по-големите от 0), т.е. решенията са: x (– ∞; ) (; + ∞).

в) Корените и картинката за параболата са същите, както при подточка б), но решенията са различни. Понеже търсим по-големите или равните на 0, т.е. коренът x = се включва в решенията. Това означава, че решенията са всяко x, т.е. x (– ∞; + ∞).

г) Корените и картинката за параболата са същите, както при подточка б), но решенията са различни. Понеже търсим по-малките от 0, а такива няма. Това означава, че даденото неравенство няма решение, т.е. x ∅.

д) За разлика от подточка г) по условие търсим по-малките или равни на 0. Това означава, че единственото решение на даденото неравенство е x = .

е)

• Преобразуваме квадратното неравенство до основен вид:
  – x² + x – 2 ≥ 5 – x² + x – 2 – 5 ≥ 0 – x² + x – 7 ≥ 0 | . (– 1) x² – x + 7 ≤ 0.
• Използваме формула (7), за да намерим корените на лявата страна на неравенството (квадратния тричлен):
  D = 1² – 4.7 = – 27 < 0.
• Чертаем параболата:
  
• По условие търсим по-малките или равни на 0, но такива няма, т.е. даденото неравенство няма решение, като записваме x ∅.

ж)

• По подобен начин както в подточка е), от даденото неравенство получаваме:
  x² – x + 7 ≤ 0.
• Това неравенство няма решение, защото чертежът е същия, но търсим само по-малките от 0, но такива отново няма, т.е. решението на даденото неравенство е x ∅.

з)

• По подобен начин както в подточка е), от даденото неравенство получаваме:
  x² – x + 7 ≤ 0.
• Това неравенство има решение всяко x, защото чертежът е същия, но търсим по-големите или равни на 0, а това са всички числа, т.е. решението на даденото неравенство е x (– ∞; + ∞).

а)

• Полагаме x² = y ≥ 0.
• Получаваме квадратното неравенство y² – 9y + 8 < 0 и го решаваме:
  • Намираме дискриминантата:
    D = (– 9)² – 4.8 = 49 .
  • Намираме корените:
    y₁ = = 8; y₂ = = 1.
  • Начертаваме параболата:
    
  • Записваме решенията: y (1; 8).
• От полагането получаваме:

б)

• Полагаме x² = y ≥ 0.
• Решаваме квадратното неравенство y² – 15y – 16 ≥ 0:
  • Намираме дискриминантата:
    D = 15² + 4.16 = 289 .
  • Намираме корените:
    y₁ = = 16; y₂ = = – 1.
  • Начертаваме параболата:
    
  • Записваме решенията: y (– ∞; – 1] [16; + ∞).
  • Но в полагането казахме, че y ≥ 0, тогава y [16; + ∞).
• От полагането намираме x:
  y [16; + ∞) y ≥ 16 x² ≥ 16 x² – 16 ≥ 0 (x – 4)(x + 4) ≥ 0 x (– ∞; – 4] [4; + ∞).