O – Функцията от вида y = f(x) = ax + b, където константата a се нарича ъглов коефициент, а константата b – свободен член.

В общия случай ДМ на линейната функция са всички реални числа.

• Графиката на всяка линейна функция е права линия (Фиг. 2).
• При a ≠ 0 и b ≠ 0 графиката на линейната функция пресича абсцисната ос в точка M и ординатната ос в точка N (0; b).
• При a = 0 и b ≠ 0 линейната функция има вида y = b. Такава функция се нарича константа. Графиката на константата е успоредна на оста Ох и минава през точка N (0; b).
• При a = b = 0 графиката съвпада с оста Ох.
• Константата a (ъгловият коефициент) се намира от ΔMON (Фиг. 2) и е равна на тангенса на ъгъл α, т.е. a = tg α.
• Константата b се представя графично с дължината на отсечката ON (Фиг. 2).
• Линейна функция от вида y = ax се нарича права пропорционалност. Графиката на правата пропорционалност е права линия, която минава през центъра на координатната система (Фиг. 2).
• Графиката на функцията y = ax (Фиг. 2) при
  • a > 0 е разположена в I и III квадрант, като при a = 1 е ъглополовящата им;
  • a < 0 е разположена в II и IV квадрант, като при a = – 1 е ъглополовящата им.

• Oпределение – Ако при нарастване на стойностите на x, нарастват и тези на функцията y, т.е. ако x₁ < x₂ (Фиг. 3), то f (x₁) < f (x₂).
• Как определяме растящата функция – Ако a > 0, то линейната функция y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) е растяща за всяко x.
• Пресечни точки на графиката на растяща функция с координатните оси (Фиг. 3):
  • Оста x – Ако една точка лежи върху оста x, то y координатата ѝ е 0, т.е. функцията y = f(x) пресича абсцисната ос в точка M с координати M (x; 0), където x = – .
  • Оста y – Ако една точка лежи върху оста y, то x координатата ѝ е 0, т.е. функцията y = f(x) пресича ординатната ос в точка N с координати N (0; y), където y = b.

• Oпределение – Ако при нарастване на стойностите на x, то функцията y намалява, т.е. ако x₁ < x₂ (Фиг. 4), то f (x₁) > f (x₂).
• Как определяме намаляващата функция – Ако a < 0, то линейната функция y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) е намаляваща за всяко x.
• Пресечни точки на графиката на намаляваща функция с координатните оси (Фиг. 4):
  • Оста x – По подобен начин както при растяща функция определяме, че намаляващата функцията y = f(x) пресича абсцисната ос в точка M с координати M (x; 0), където x = – .
  • Оста y – Намаляващата функция y = f(x) пресича ординатната ос в точка N с координати N (0; y), където y = b.

• Графиките се пресичат:
  • Условие за пресичане – Графиките на линейните функции y₁ = a₁x + b₁ и y₂ = a₂x + b₂ се пресичат, ако a₁ ≠ a₂.
  • Координати на пресечната им точка – Решенията на уравнението y₁ = y₂ са x координатата на пресечната им точка, а y координатата се получава, когато заместим с полученото x в една от функциите.
• Графиките се успоредни – Графиките на линейните функции y₁ = a₁x + b₁ и y₂ = a₂x + b₂ са успоредни, ако a₁ = a₂ и b₁ ≠ b₂.

O – Функция от вида

(1): y = f(x) = ax² +bx +c, a ≠ 0.

В общия случай квадратната функция има ДМ: x (– ∞; + ∞).

• Свойство 1 – Графиката на квадратната функция е парабола. Ако коефициентът a > 0, параболата е с върха надолу (Фиг. 5). Ако коефициентът a < 0, параболата е с върха нагоре (Фиг. 6).
  • Връх на параболата – Върхът на параболата на квадратната функция (1) е точката V (x_v; y_v), където x_v = – , y_v = f (x_v) = – .
  • Пресечни точки на параболата с:
    • абсцисната ос – Параболата пресича абсцисната ос в точки с y координатата равна на 0, тогава x координатите са равни на решенията на квадратното уравнение f (x) = 0. Ако решенията на квадратното уравнение f (x) = 0 са x₁ и x₂, то на Фиг. 7 точките са M₁ (x₁; 0) и M₂ (x₂; 0).
    • ординатната ос – Параболата пресича ординатната ос в точка с x координатата равна на 0, а y координатата получаваме като намерим f (0). На Фиг. 7 това е точката N (0; f(0)).
  • Ос на симетрия на параболата (Фиг. 5) – права, успоредна на оста Oy и минаваща през върха на параболата.
• Свойство 2 – От Фиг. 5 и Фиг. 6 се вижда, че при a > 0 квадратната функция е намаляваща в интервала и растяща в интервала . При a < 0 квадратната функция е растяща в интервала и намаляваща в интервала .
• Свойство 3 – От Фиг. 5 и Фиг. 6 се вижда, че при a > 0 квадратната функция има най-малка стойност (НМС), която приема при x = – , но няма най-голяма стойност (НГС). При a < 0 квадратната функция има най-голяма стойност (НГС), която приема при x = – , но няма най-малка стойност (НМС).
• Свойство 4 – На Таблица №1 е показано изменението на знака на квадратната функция f(x) в зависимост от D и a:

O – Неравенство при което от дясната страна имаме нула, а отляво – квадратна функция, т.е.

(2): ax² + bx +c > 0, където a ≠ 0, b и c са реални коефициенти.

• Графичен начин:

  Нека да имаме неравенството ax² + bx +c > 0.

  Правило

  1. Намираме корените на квадратното уравнение ax² + bx +c = 0 (използваме формула 7). Ако има корени, ги означаваме с x₁ и x₂ и предполагаме, че x₁ < x₂.
  2. Нанасяме тези корени върху числовата ос и очертаваме параболата.
  3. Положението на параболата зависи от знаците на дискриминантата и коефициента a на квадратното уравнение. Възможните случаи са представени в Таблица № 2.
  4. Решенията на квадратното неравенство (2) са показани в Таблица № 2.
  
  Бележка:

  Таблица № 2 може да приложим и за неравенството ax² + bx +c < 0, ако умножим двете му страни с “– 1”. За да не умножаваме всеки път с “– 1”, можем да определим знака на a по следния начин:

  • a > 0, ако знакът пред x² и знакът на неравенството съвпадат;
  • a < 0, ако знакът пред x² и знакът на неравенството са различни.
• Алгебричен начин:
  Правило

  1. Използваме формули от(11) до (13), за да разложим квадратния тричлен на множители (лявата страна на неравенството 2).
  2. Ако имаме неравенството (x – x₁)(x – x₂) > 0, разписваме системите:

     (3):

  3. Ако имаме неравенството (x – x₁)(x – x₂) < 0, разписваме системите:

     (4):

• Метод на интервалите:
  Правило

  1. Решаваме квадратното уравнение ax² + bx +c = 0. Ако има корени, ги означаваме с x₁ и x₂ и предполагаме, че x₁ < x₂.
  2. Нанасяме корените x₁ и x₂ върху числовата ос, т.е. накъсваме ДМ на интервали.
  3. Определяме знака на най-десния интервал, като преброим колко минуса има пред неизвестното, и ако те са четен брой, записваме “+”, ако те са нечетен брой, записваме “–“.
  4. Определяме знаците на следващите интервали, редувайки ги алтернативно отдясно наляво.
  5. Решенията на неравенството са тези интервали, които отговарят на знака на даденото неравенство.
  Бележка:

  При намирането на корените x₁ и x₂ в стъпка 1, ако сме получили D = 0 или D < 0, то е по-удобно да използваме графичния начин за решаване, а не метода на интервалите.

O – Неравенство при което от дясната страна имаме нула, а отляво – многочлен от трета или по-висока степен.

• Метод на интервалите

  Най-често се използва метода на интервалите, който разгледахме при квадратни неравенства, но леко променен:

  Правило

  1. Разлагаме на множители лявата страна на неравенството.
  2. Нулираме всяка скоба и решаваме получените уравнения.
  3. Корените получени в стъпка 2 нанасяме върху числовата ос, т.е. накъсваме ДМ на интервали.
  4. Определяме знака на най-десния интервал, като преброим колко минуса има пред неизвестното, и ако те са четен брой, записваме “+”, ако те са нечетен брой, записваме “–“.
  5. Определяме знаците на следващите интервали, редувайки ги алтернативно отдясно наляво.
  6. Решенията на неравенството са тези интервали, които отговарят на знака на даденото неравенство.
• Частни случаи на метода на интервалите:
  • числото е на квадрат (или е на четна степен);
  • след нулирането корените се повтарят;
  • след нулирането уравнението няма решение.
• Решения на неравенство с частните случаи на метода на интервалите – В стъпка 3, при накъсване на ДМ на интервали, числото идващо от частните случаи не се включва в интервалите.

Начертаваме графиката на линейната функция y = f (x) = ax + b и решенията на линейното уравнение ax + b = 0 са абсцисите на пресечните точки на графиката на функцията y = f (x) = ax + b с оста Ox.

Решенията на квадратното уравнение се определят от Свойство 1 на квадратната функция, т.е. параболата (графиката на квадратната функция f(x)) пресича абсцисната ос в точки с x координати, равни на решенията на квадратното уравнение f (x) = 0.