Уравнения. Формули на Виет - задачи

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Съдържание на темата:

Квадратни уравнения – решени задачи
Биквадратни уравнения – решени задачи
Приложение на формулите на Виет – решени задачи

I. Квадратни уравнения

Решени задачи

Зад. №1:: Решете уравненията:

а) 3x – 6x² = 0;

б) 3 = 4x²;

в) (x – 1)² = 0;

г) x² – 3x – 4 = 0;

д) 4x + 3x² = – 5;

е) 6x + x² + 9 = 0;

ж) 2x + 5 = 3x²;

з) – y² + 2y + = 0.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте някои от начините за решаване на пълно или непълно квадратно уравнение.

а) Имаме непълно квадратно уравнение, при което няма свободен член, т.е. имаме уравнение (2):

Изнасяме неизвестното пред скоба:
3x – 6x² = 0 x(3 – 6x) = 0.
Това уравнение се разпада на две уравнения:
- x = 0.
- 3 – 6x = 0 x = .
Извод: Даденото уравнение има две решения x₁ = 0 и x₂ = .

б) Имаме непълно квадратно уравнение, което не е в основен вид:

Привеждаме уравнението в основен вид:
3 = 4x² 4x² – 3 = 0.

I начин:

Прилагаме подходяща формула за съкратено умножение:
4x² – 3 = 0 (2x)² – ()² = 0 (2x – )(2x + ) = 0.
Това уравнение се разпада на две уравнения:
- 2x – = 0 x₁ = .
- 2x + = 0 x₂ = – .
Решенията на даденото уравнения са: ± .

II начин:

Оставяме неизвестното само от едната страна на равенството и коренуваме:
4x² – 3 = 0 4x² = 3 x² = x_1/2 =

Бележка:

При коренуване с корен квадратен в резултата винаги се записва ±.

в) Имаме непълно квадратно уравнение от вид (4). То има единствено решение, когато изразът в скобата е нула:
(x – 1)² = 0 x – 1 = 0 x = 1.

г) Използваме правилото за решаване на пълно квадратно уравнение:

Намираме дискриминантата:
D = 3² – 4.(– 4) = 9 + 16 = 25 = 5.
Намираме двата корена:
x₁ = = 4; x₂ = = – 1.

д) Дадено е пълно квадратно уравнение, но не е в основен вид:

Привеждаме уравнението в основен вид:
4x + 3x² = – 5 3x² + 4x + 5 = 0.
Намираме дискриминантата:
D = 4² – 4.3.5 = 16 – 60 = – 44 < 0.
Бележка:

При намирането на дискриминантата, може да използваме кратката формула (6), защото коефициентът b = 4 е четно число.
Даденото уравнение няма решение, защото D е отрицателно число.

е) Дадено е пълно квадратно уравнение, което не е подредено по степени:

Подреждаме уравнението по степени:
6x + x² + 9 = 0 x² + 6x +9 = 0.
Намираме дискриминантата, като използваме кратката формула (6), защото коефициентът b = 6 е четно число:
k = = 3 D₁ = 3² – 9 = 9 – 9 = 0 = 0.
Квадратното уравнение има един двоен корен, който намираме по кратката формула (8):
x₁ = x₂ = – 3.

ж) Дадено е пълно квадратно уравнение, но не е в основен вид:

Привеждаме уравнението в основен вид:
2x + 5 = 3x² 3x² – 2x – 5 = 0.
Намираме дискриминантата, като използваме кратката формула (6), защото коефициентът b = – 2 е четно число:
k = D₁ = (– )² – 3.(– 5) = 5 + 15 = 20 2.
Квадратното уравнение има два корена, които намираме по кратката формула (8):

з) Дадено е пълно квадратно уравнение, но коефициентът a е отрицателно число.

Умножаваме уравнението с (– 1), за да намерим по-лесно корените:
– y² + 2y + = 0 |.(– 1) y² – 2y – = 0.
Намираме дискриминантата, като използваме кратката формула (6), защото коефициентът b = – 2 е четно число:
k = = – 1 D₁ = (– 1)² – = 1 + 3 = 4 = 2.
Квадратното уравнение има два корена, които намираме по кратката формула (8):

Зад. №2:: Решете уравненията:

а) (4 – 3x)² – 2(x – 4)² = 4(3 – 2x);

б) = 0,8;

в) x = x² – 2;

г) x² – (6 + )x + 6 = 0.

Използвайте някои от начините за решаване на пълно или непълно квадратно уравнение.

а)

Използваме подходящи формули за съкратено умножение и преобразуваме полученото уравнение:
(4 – 3x)² – 2(x – 4)² = 4(3 – 2x) 16 – 24x + 9x² – 2(x² – 8x + 16) = 12 – 8x 16 – 24x + 9x² – 2x² + 16x – 32 – 12 + 8x = 0 7x² – 28 = 0 x² – 4 =0 (x – 2)(x + 2) = 0.
Това уравнение се разпада на две уравнения:
- x – 2 = 0 x₁ = 2.
- x + 2 = 0 x₂ = – 2.
Отговорите са: x₁ = 2 и x₂ = – 2.

б)

Привеждаме под общ знаменател и преобразуваме полученото уравнение:
= 0,8 2(3x² – 1) + 5(2 – 7,2x) = 8 6x² – 2 + 10 – 36x – 8 = 0 6x² – 36x = 0 x² – 6x = 0.
Изнасяме неизвестното пред скоба:
x² – 6x = 0 x(x – 6) = 0.
Това уравнение се разпада на две уравнения:
- x₁ = 0.
- x – 6 = 0 x₂ = 6.
Отговорите са: x₁ = 0 и x₂ = 6.

решаване квадратно уравнение

Зад. №3:: а) Един от корените на квадратното уравнение 2x² + kx – 10 = 0 е 5. Намерете стойността на параметъра k и другия корен.
б) Намерете стойностите на параметъра a, за които уравнението x² – ax + 2a – 3 = 0 има само един корен.

а) Намерете параметъра к, като заместите с дадения корен и решете полученото квадратно уравнение.

б) Намерете дискриминантата и решете уравнението D = 0.

а)

Намираме стойността на параметъра k, като използваме това, че x₁ = 5. Заместваме в уравнението и го решаваме спрямо k:
2.5² + k.5 – 10 = 0 5k = – 40 k = – 8.
Заместваме в даденото уравнение и получаваме:
2x² – 8x – 10 = 0 |. 2 x² – 4x – 5 = 0.
Намираме дискриминантата по кратката формула (6):
D₁ = (– 2)² – 1.(– 5) = 9 = 3.
Намираме другия корен по кратката формула (8):
x₂ = = – 1.

б)

Даденото уравнение е квадратно с коефициенти a = 1, b = – a и c = 2a – 3.
Намираме дискриминантата на даденото уравнение:
D = (– a)² – 4.1.(2a – 3) = a² – 8a + 12.
От брой на корените на квадратно уравнение (формула 9) знаем, че квадратното уравнение има един корен, ако дискриминантата му е равна на нула, т.е.:
D = 0 a² – 8a + 12 = 0.
Решаваме това квадратно уравнение спрямо a и намираме, че решенията му са a₁ = 2, a₂ = 6.
Отговор: Даденото квадратно уравнение има само един корен, при a₁ = 2 и при a₂ = 6.

Зад. №4:: Разложете квадратния тричлен на множители, ако това е възможно:

а) 2x² – 9;

б) x² + 9x + 8;

в) 2x² + 5x + 3;

г) 3 – 2x² – x;

д) x² + x + 1;

е) x2 – 2x + 3.

Използвайте правилото за разлагане на квадратен тричлен на множители.

а) Даденият квадратен тричлен е от непълен вид и затова разлагаме на множители с помощта на подходяща формула за съкратено умножение:

2x² – 9 = (x)² – 3² = (x – 3)(x + 3).

б) Изпълняваме правилото за разлагане на множители на квадратен тричлен:

Намираме дискриминантата:
D = 9² – 4.8 = 81 – 32 = 49 > 0.
Приравняваме дадения квадратен тричлен на 0 и решаваме полученото квадратно уравнение:
x² + 9x + 8 = 0, = 7, x₁ = – 1, x₂ = – 8.
Използваме формула (11), за да разложим на множители и представяме разлагането в удобен вид:
x² + 9x + 8 = [x – (– 1)][x – (– 8)] = (x + 1)(x + 8).

в)

Намираме дискриминантата:
D = 5² – 4.2.3 = 25 – 24 = 1 > 0.
Решаваме квадратно уравнение:
2x² + 5x + 3 = 0, = 1, x₁ = – 1, x₂ = – .
Използваме формула (11), за да разложим на множители и представяме разлагането в удобен вид:
2x² + 5x + 3 = 2(x + 1)(x + ) = (x + 1)(2x + 3).
Бележка:

При представяне на разлагането в удобен вид, сме внесли множителя 2 във втората скоба.

г)

Подреждаме по степени:
3 – 2x² – x = – 2x² – x + 3.
Намираме дискриминантата:
D = (– )² – 4.3.(– 2) = 3 + 24 = 27 > 0.
Решаваме квадратно уравнение:
Използваме формула (11), за да разложим на множители и представяме разлагането в удобен вид:
– 2x² – x + 3 = – 2(x + )(x – ) = (x + )( – 2x).
Бележка:

При представяне на разлагането в удобен вид, сме внесли множителя „– 2“ във втората скоба.

д)

Привеждаме под общ знаменател и за удобство записваме знаменателя пред скоба:
x² + x + 1 = (x² + 10x + 25).
Намираме дискриминантата на израза в скобите, като използваме кратката формула (6):
D₁ = 5² – 1.25 = 25 – 25 = 0.
Решаваме квадратно уравнение по кратката формула :
x² + 10x + 25 = 0, = 0, x₁ = x₂ = – 5.
Използваме формула (12), за да разложим на множители и представяме разлагането в удобен вид:
x² + x + 1 = (x² + 10x + 25) = (x + 5)².

е)

Намираме дискриминантата, като използваме кратката формула (6):
D₁ = (– 1)² , защото число 3 е по-голямо от 1.
От формула (13) следва, че даденият тричлен НЕ се разлага на множители.

Зад. №5:: Съкратете дробите:

а) ;

б) ;

в) .

За числител и знаменател използвайте правилото за разлагане на квадратен тричлен на множители и след това съкратете получената дроб, ако е възможно.

а)

Разлагаме на множители числителя x² + x – 6:
- Намираме дискриминантата:
  D = 1² – 4.(– 6) = 1 + 24 = 25 > 0.
- Решаваме квадратно уравнение:
  x² + x – 6 = 0, = 5, x₁ = – 3, x₂ = 2.
- От формула (11) получаваме:
  x² + x – 6 = (x + 3)(x – 2).
Разлагаме на множители знаменателя x² + 6x + 9:
- Намираме дискриминантата:
  D = 6² – 4.9 = 36 – 36 = 0.
- Решаваме квадратно уравнение:
  x² + 6x + 9 = 0, = 0, x₁ = x₂ = – 3.
- От формула (11) получаваме:
  x² + 6x + 9 = (x + 3)².
Съкращаваме дадената дроб, ако x ≠ – 3:
.

б)

Разлагаме на множители числителя 3x² – 8x – 3:
- Намираме дискриминантата по кратката формула (6):
  D₁ = (– 4)² – 3.(– 3) = 16 + 9 = 25 > 0.
- Решаваме квадратно уравнение с кратката формула (8):
  3x² – 8x – 3 = 0, = 5, x₁ = 3, x₂ = – .
- От формула (11) получаваме:
  3x² – 8x – 3 = 3(x + )(x – 3) = (3x + 1)(x – 3).
Разлагаме на множители знаменателя x² – 4x + 3x:
- Намираме дискриминантата по кратката формула (6):
  D₁ = (– 2)² – 1.3 = 4 – 3 = 1 > 0.
- Решаваме квадратно уравнение:
  x² – 4x + 3 = 0, = 1, x₁ = 1, x₂ = 3.
- От формула (11) получаваме:
  x² – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1).
Съкращаваме дадената дроб, ако x ≠ 3:
.

в)

Разлагаме на множители числителя x² + x – 12:
- Намираме дискриминантата
  D = 1² – 4.(– 12) = 1 + 48 = 49 > 0.
- Решаваме квадратно уравнение:
  x² + x – 12 = 0, = 7, x₁ = 3, x₂ = – 4.
- От формула (11) получаваме:
  x² + x – 12 = (x – 3)(x + 4).
Разлагаме на множители знаменателя – x² – 3x + 4:
- Намираме дискриминантата:
  D = (– 3)² – 4.( – 1).4 = 9 + 16 = 25 > 0.
- Решаваме квадратно уравнение:
  x² – x² – 3x + 4 = 0 |.(– 1) x² + 3x = 4 = 0, = 5, x₁ = 1, x₂ = – 4.
- От формула (11) получаваме:
  – x² – 3x + 4 = – (x – 1)(x + 4).
Съкращаваме дадената дроб, ако x ≠ – 4:
.

Върни се в теорията

II. Биквадратни уравнения

Теория

Решени задачи

Зад. №1:: Решете уравненията:

а) x⁴ – 9x² + 8 = 0;

б) 3 + 2x² – x⁴ = 0;

в) x⁴ + 5x² = – 7.

Използвайте правилото за решаване на биквадратно уравнение.

а) Уравнението е биквадратно в основен вид (16) и прилагаме правилото за решаването му:

Полагаме x² = y ≥ 0.
Получаваме квадратното уравнение y² – 9y + 8 = 0 и го решаваме:
- Намираме дискриминантата:
  D = (– 9)² – 4.8 = 49 =7.
- Намираме корените:
  y₁ = = 8 > 0; y₂ = = 1 > 0.
И двата корена са положителни числа, т.е. и с двата корена заместваме в полагането:
- При y₁ = 8 имаме:
  x² = 8 x_1/2 = ± 2.
- При y₂ = 1 имаме:
  x² = 1 x_3/4 = ± 1.

б) Уравнението е биквадратно, но не е в основен вид (16). Първо го преобразуваме и след това прилагаме правилото за решаването му:

Подреждаме уравнението по степени:
3 + 2x² – x⁴ = 0 – x⁴ + 2x² + 3 = 0.
Променяме знака пред най-високата степен:
– x⁴ + 2x² + 3 = 0 |.(– 1) x⁴ – 2x² – 3 = 0.
Полагаме x² = y ≥ 0.
Получаваме квадратното уравнение y² – 2y – 3 = 0 и го решаваме:
- Намираме дискриминантата:
  D = (– 2)² – 4.(– 3) = 16 = 4.
- Намираме корените:
  y₁ = = 3 > 0; y₂ = = – 1 < 0.
Само y₁ е положително число и само с него заместваме в полагането:
x² = 3 x_1/2 = ± .

в) Уравнението е биквадратно, но не е в основен вид (16). Първо го преобразуваме и след това прилагаме правилото за решаването му:

Привеждаме уравнението в основен вид:
x⁴ + 5x² = – 7 x⁴ + 5x² + 7 = 0.
Полагаме x² = y ≥ 0.
Получаваме квадратното уравнениеy² + 5y + 7 = 0 и го решаваме:
- Намираме дискриминантата:
  D = 5² – 4.7 = – 3 < 0.
- Т.е. квадратното уравнение няма решение.
Това означава, че и биквадратното уравнение няма решение.

Върни се в теорията

III. Приложение на формулите на Виет

Теория

Решени задачи

При даден един корен на квадратно уравнение, да се намери другия

Зад. №1:

Даденото число е корен на уравнението. Намерете чрез формулите на Виет, другия корен на това уравнение:

а) x² – 6x – 7 = 0, x₁ = – 1;

б) x² – 3 x + 10 = 0, x₁ = 2;

в) 7x² + 53x – 24 = 0, x₁ = ;

г) – x² – x +2 = 0, x₁ = – .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте Теоремата на Виет.

Решение:

а) Използваме която и да е от формулите на Виет (18). Например, ако x₂ е вторият корен, то имаме:
x₁ x₂ = – 1.x₂ = – 7 x₂ = 7.

б) Отново използваме втората формула от Теоремата на Виет (18) и ако x₂ е вторият корен, то имаме:

в) Отново използваме втората формула от Теоремата на Виет (18) и ако x₂ е вторият корен, то имаме:

x₁ x₂ = x₂ = 4.

г) Отново използваме втората формула отТеоремата на Виет (18) и ако x₂ е вторият корен, то имаме:
Върни се в теорията
Проверка на посочени числа дали са корени на уравнението

Зад. №2:

Като се използват формулите на Виет, да се провери дали посочените числа n и m са корени на уравнението:
а) x² + 3x – 4 = 0, n = – 4, m = 1;

б) x² – 4x + 1 = 0, n = 2 + , m = 2 – ;

в) 8x² + 26x + 15 = 0, n = , m = ;

г) 2x² + 6x + 1 = 0, n = , m = .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте Теоремата на Виет.
Решение:

а)
- Намираме произведението и сбора на дадените числа:
  n.m = – 4.1 = – 4, n + m = – 4 + 1 = – 3.
- За даденото уравнени прилагаме Теоремата на Виет (формула 18):
  x₁ x₂ = = – 4, x₁ + x₂ = – = – 3.
- Правим извода – Щом n.m = x₁ x₂ и n + m = x₁ + x₂, то дадените числа n и m са корени на уравнението.
б)
- Намираме произведението и сбора от дадените числа:
  n.m = (2 + )( 2 – ) = 2² – ()² = 1,
  n + m = 2 + + 2 – = 4.
- За даденото уравнени прилагаме Теоремата на Виет (формула 18):
  x₁ x₂ = = 1, x₁ + x₂ = – = 4.
- Правим извода – Щом n.m = x₁ x₂ и n + m = x₁ + x₂, то дадените числа n и m са корени на уравнението.
в)
- Намираме произведението и сбора от дадените числа:
- За даденото уравнени прилагаме Теоремата на Виет (формула 18):
- Правим извода – Щом n.m = x₁ x₂ и n + m ≠ x₁ + x₂, то дадените числа n и m НЕ са корени на уравнението.
г)
- Намираме произведението и сбора от дадените числа:
- За даденото уравнени прилагаме Теоремата на Виет (формула 18):
- Правим извода – Щом n.m = x₁ x₂ и n + m ≠ x₁ + x₂, то дадените числа n и m НЕ са корени на уравнението.
Върни се в теорията
Определяне знаците на корените на квадратно уравнение

Зад. №3:

Определете броя на реалните корени на уравнението и ако има корени, определете техните знаци:

а) x² – 10x + 7 = 0;

б) x² + 3 x + 10 = 0;

в) 4x² – 3x + 1 = 0;

г) x² – 6x – 160 = 0;

д) x² – 2 x + 2 = 0.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходяща формула от Приложение на формулите на Виет.
Решение:

а)
- Определяме знака на дискриминантата:
  D = (– 10)² – 4.7 = 100 + 28 = 128 > 0,
  т.е. уравнението има два реални корена.
- От Приложение на формулите на Виет използваме формули от (19) до (21) и формулите на Виет, за да определим знаците на корените:
  
  x₁ x₂ = = 7 > 0.
  
  x₁ + x₂ = – = 10 > 0.
  
  От формула (19) следва, че двата корена са положителни.
б)
- Определяме знака на дискриминантата:
  D = (3)² – 4.10 = 45 – 40 = 5 > 0,
  т.е. уравнението има два реални корена.
- От Приложение на формулите на Виет използваме формули от (19) до (21) и формулите на Виет, за да определим знаците на корените:
  
  x₁ x₂ = = 10 > 0.
  
  x₁ + x₂ = – = – 3 < 0.
  
  От формула (20) следва, че двата корена са отрицателни.
в)
- Определяме знака на дискриминантата:
  D = (– 3)² – 4.4.1 = 9 – 16 = – 7 < 0,
  т.е. уравнението няма реални корени.
г)
- Определяме знака на дискриминантата:
  D = (– 6)² – 4.(– 160) = 36 + 640 = 676 > 0,
  т.е. уравнението има два реални корена.
- От Приложение на формулите на Виет използваме формули от (19) до (21) и формулите на Виет, за да определим знаците на корените:
  
  x₁ x₂ = = – 160 < 0.
  
  От формула (21) следва, че двата корена имат различни знаци.
д)
- Определяме знака на дискриминантата:
  D = (–2)² – 4. . 2 = 40 – 40 = 0,
  т.е. уравнението има два равни реални корена.
- От Приложение на формулите на Виет използваме формули от (19) до (21) и формулите на Виет, за да определим знаците на корените:
  
  x₁ x₂ = = 2 > 0.
  
  x₁ + x₂ = – = 2 > 0.
  
  От формула (19) следва, че коренът е положителен.
Върни се в теорията
Съставяне на квадратно уравнение, чиито корени са зададени предварително

Зад. №4:

Съставете квадратно уравнение, чиито корени са:

а) – 8 и 6;

б) и – ;

в) 2 + и 2 – .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте Обратната Теорема на Виет.
Решение:

За всички подточки търсим уравнение от вида x² – px + q = 0.

а)
- С дадените числа намираме коефициентите:
  
  p = – 8 + 6 = – 2,
  
  q = – 8 . 6 = – 48.
- Използваме обратната Теорема на Виет и съставяме уравнението:
  x² – px + q = 0 x² – (– 2)x + (– 48) = 0 x² + 2x – 48 = 0.
б)
- С дадените числа намираме коефициентите:
  
  ;
  
  .
- Съставяме уравнението:
  x² – px + q = 0 x² – = 0 35x² – 18x – 8 = 0.
в)
- С дадените числа намираме коефициентите:
  
  p = 2 + + 2 – = 4,
  
  q = (2 + )(2 – ) = 1.
- Съставяме уравнението:
  x² – px + q = 0 x² – 4x + 1 = 0 x² – 4x + 1 = 0.
Върни се в теорията
Пресмятане на израз, в който участват корените на квадратно уравнение.

Зад. №5:

Без да намирате корените x₁ и x₂ на уравнението x² +2x – 7 = 0, пресметнете стойността на израза:

а) x₁²x₂ + x₁x₂²;

б) ;

в) (x₁ – x₂)²;

г) x₁ – x₂, ако x₁ > x₂;

д) x₁³ + x₂³.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте Теоремата на Виет.
Решение:

Използваме Теоремата на Виет:
x₁x₂ = – 7; x₁ + x₂ = – 2.

а) Изнасяме пред скоба и заместваме:
x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁ + x₂) = – 7.(– 2) = 14.

б)
- Привеждаме под общ знаменател:
  .
- За числител използваме допълнителната формула (14) от формулите за съкратено умножение:
  .
- Заместваме от формулите на Виет:
  .
в) От формулите за съкратено умножение използваме формули (2) и (14), и след това заместваме с формулите на Виет:
(x₁ – x₂)² = x₁² – 2x₁x₂ + x₂² = x₁² + x₂² – 2x₁x₂ = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ – 2x₁x₂ = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = (– 2)² – 4.( – 7) = 4 + 28 = 32.

г) В Теоремата на Виет нямаме разлика от двата корена, затова с помощта на формула (9), внасяме израза под корен и използваме резултата от подточка в):

д) От формулите за съкратено умножение използваме формули (6) и (14):
x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² – 2x₁x₂ + x₂²) = (x₁ + x₂)(x₁² + x₂² – 2x₁x₂) = (x₁ + x₂) [((x₁ + x₂)² – 4x₁x₂] = (– 2)² [(– 2)² – 4.( – 7)] = 4 . 32 = 128.
Върни се в теорията

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА

Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

Тестове от изпити по ФИЗИКА

Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

Реклама

Самоподготовка по Математиказа 10 клас Алгебра

Съдържание на темата:

I. Квадратни уравнения

Решени задачи

II. Биквадратни уравнения

Решени задачи

III. Приложение на формулите на Виет

Решени задачи

Вижте още

Самоподготовка

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА

Тестове от изпити по ФИЗИКА

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра