а) Точки М и N са среди на AC и BC, т.е.:

• ΔMNC ~ ΔABC (по ІІ признак, защото: 1. C – общ, 2. ).
• По подобен начин се доказва, че ΔAPM ~ ΔBPN ~ ΔABC.
• Доказваме, че ΔPNM ~ ΔABC:
  • Точки М и N са среди на AC и BC, т.е. MN – средна отсечка в ΔABC и от определението записваме:
    MN = AB .
  • Точки P и N са среди на AB и BC, т.е PN – средна отсечка в ΔABC PN = AC .
  • Точки P и M са среди на AB и AC, т.е PM – средна отсечка в в ΔABC PM = BC .
  • ΔPNM ~ ΔABC (по ІІI признак, защото – по д-во).

б) От свойство на подобни триъгълници (формула 9) и а) получаваме:

в)

• По подобен начин се доказва, че S_ΔMPA = S_ΔNPB = S.
• Намираме търсеното лице:
  S_ΔMNP = S_ΔABC – (S_ΔMPA + S_ΔNPB + S_ΔMNC) = S – .

г) В б) доказахме, че S_ΔMNC = S. Заместваме с даденото лице:
S_ΔMNC . 80 = 20 cm².

1. Като използвате Основна задача 4.2 докажете, че лицето на ΔMCB₁ е два пъти по-голямо от лицето на ΔC₁MB₁.
2. Представете лицето на ΔC₁CB₁ като сбор от лицата на ΔC₁MB₁ и ΔMCB₁.

• CC₁ – медиана в ΔABC и от Основна задача 4.2
• C₁B₁ – медиана в ΔAC₁C, тогава от (A) и от Основна задача 4.2
• т. M – медицентър в ΔABC C₁M = x, MC = 2x.
• Тогава:
• Намираме отговора:

• За ъглополовящата BB₁ използваме подходящо свойство (формула 33):
  , т.е. AB₁ = cx, B₁C = ax.
• B₁C + AB₁ = AC ax + cx = b (a + c)x = b x = .
• Тогава:
  AB₁ = cx = ; B₁C = ax = .
• Използваме друго свойство на ъглополовяща (формула 34), за да намерим търсената формула:
  BB₁² = AB.BC – AB₁.B₁C = AB.BC – BB₁² = AB.BC – .

а) Докажете, че BHC₁ = α и след това използвайте Теорема за съседни ъгли.

б)

1. Докажете че, ΔB₁C₁A и ΔABC са подобни по II признак с коефициент на подобие cos α.
2. Докажете че, ΔA₁C₁B и ΔABC са подобни по II признак с коефициент на подобие cos β.
3. Докажете че, ΔA₁B₁C и ΔABC са подобни по II признак с коефициент на подобие cos γ.
4. Докажете че, ΔA₁B₁C₁ и ΔABC са подобни по III признак.

в) Докажете, че: B₁A₁C = C₁A₁B = BAC = α, A₁B₁C = C₁B₁A = ABC = β, A₁C₁B = B₁C₁A = ACB = γ и след това използвайте Теорема за съседни ъгли.

а)

• Прилагаме кратката Теорема за сбор на ъгли в ΔABB₁ (BB₁A = 90°) и получаваме, че ABB₁ = 90° – α.
• Отново използваме същата теорема, но сега за ΔBHC₁ (BC₁H = 90°) и получаваме, че BHC₁ = 90° – C₁BH = 90° – (90° – α) = α.
• Използваме Теорема за съседни ъгли:
  BHC = 180° – BHC₁ = 180° – α
• По аналогичен начин доказваме, че AHB=180° – γ, AHC = 180° – β.

б)

• ΔAA₁C е правоъгълен с прав ъгъл при върха A₁. Използваме тригонометрична функция косинус и получаваме, че:
  cos γ = .
• За ΔBCB₁ (BB₁C = 90°) отново използваме тригонометрична функция косинус и получаваме, че: cos γ .
• От горните две равенства получаваме:
  (A): = cos γ.
• ΔA₁B₁C ~ ΔABC (по ІІ признак, защото: 1. (A) е изпълнено, 2. γ – общ ъгъл) с коефициент на подобие cos γ (следва от (A)).
• По подобен начин се доказва, че ΔB₁C₁A ~ ΔABC с коефициент на подобие cos α и ΔA₁C₁B ~ ΔABC с коефициент на подобие cos β.
• Остана да докажем, че ΔA₁B₁C₁ е подобен на ΔABC:
  От ΔA₁B₁C ~ ΔB₁C₁A ~ ΔA₁C₁B ~ ΔABC , т.е. ΔA₁B₁C₁ ~ ΔABC (по III признак).

в) Използваме доказаното в б):

• От ΔA₁B₁C ~ ΔABC B₁A₁C = BAC = α и A₁B₁C = ABC = β.
• От ΔA₁C₁B ~ ΔACB C₁A₁B = BAC = α и A₁C₁B = ACB = γ.
• От ΔC₁B₁A ~ ΔCBA C₁B₁A = ABC = β и B₁C₁A = ACB = γ.
• Доказваме равенствата, като използваме Теорема за съседни ъгли:
  • C₁A₁B₁ = 180° – (B₁A₁C + C₁A₁B) = 180° – (α + α) C₁A₁B₁ = 180° – 2α.
  • A₁B₁C₁ = 180° – (A₁B₁C + C₁B₁A) = 180° – (β + β) A₁B₁C₁ = 180° – 2β.
  • A₁C₁B₁ = 180° – (A₁C₁B + B₁C₁A) = 180° – (γ + γ) A₁C₁B₁ = 180° – 2γ.