Лого за уроци по математика
самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Геометрия


ОЗ 3.1:
На чертежа от Фиг. 6 е даден ΔABC със страни BC = a, AC = b и AB = c. Да се намери периметъра на триъгълник с върхове средите на тези страни.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте подходящи теорема за средна отсечка в триъгълник.
  • Точките M, N и P са среди съответно на страните AC, BC и AB, и от определението следва, че MN, MP и NP са средни отсечки в ΔABC.
  • Тогава от Теорема 2 (формула 29) MN = AB; MP = BC; NP = AC.
  • PΔMNP = MN + MP + NP = AB + BC + AC = (AB + BC + AC) = PΔABC.

ОЗ 3.2:
Нека т. М, т. N и т. Р са среди съответно на страните АС, ВС и AB на ΔABC (Фиг. 6) и триъгълник ABC има лице S. Да се:

а) докаже, че ΔAPM ~ ΔMNC ~ ΔBPN ~ ΔPNM ~ ΔABC;

б) намери лицето на ΔMNC;

в) намери лицето на ΔMNP;

г) намери лицето на ΔMNC, ако лицето на ΔABC е 80 cm2.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте подходящи признаци за подобие на триъгълници и теоремите за средна отсечка в триъгълник.

а) Точки М и N са среди на AC и BC, т.е.:

  • ΔMNC ~ ΔABC (по ІІ признак, защото: 1. C – общ, 2. ).
  • По подобен начин се доказва, че ΔAPM ~ ΔBPN ~ ΔABC.
  • Доказваме, че ΔPNM ~ ΔABC:
    • Точки М и N са среди на AC и BC, т.е. MN – средна отсечка в ΔABC и от определението записваме:
      MN = AB .
    • Точки P и N са среди на AB и BC, т.е PN – средна отсечка в ΔABC PN = AC .
    • Точки P и M са среди на AB и AC, т.е PM – средна отсечка в в ΔABC PM = BC .
    • ΔPNM ~ ΔABC (по ІІI признак, защото – по д-во).

б) От свойство на подобни триъгълници (формула 9) и а) получаваме:

свойство подобни триъгълници

в)

  • По подобен начин се доказва, че SΔMPA = SΔNPB = S.
  • Намираме търсеното лице:
    SΔMNP = SΔABC – (SΔMPA + SΔNPB + SΔMNC) = S – .

г) В б) доказахме, че SΔMNC = S. Заместваме с даденото лице:
SΔMNC . 80 = 20 cm2.

Бележка:

Основна задача 3.2 може да се изкаже и по друг начин: „Средните отсечки в триъгълник го разделят на четири подобни триъгълника с равни лица“.

Върни се в теорията


II. Медиани в триъгълник

Теория

Основни задачи

ОЗ 4.1:
Даден е ΔABC с медиани AA1 = m, BB1 = n, CC1 = p, които се пресичат в т. М. Да се намери:

а) дължините на отсечките MA1, MB1 и MC1;

б) разстоянието на т. М до върховете на триъгълника.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте Теоремата за медицентър (формула 30).

а)

  • Разглеждаме медианата AA1. Точка М – медицентър на ΔABC и от Теоремата за медицентър (формула 30) записваме:
    • AM : MA1 = 2 : 1 AM = 2x, MA1 = x.
    • Тогава:
      AA1 = AM + MA1 m = 2x + x = 3x x = m.
    • Т.е. MA1 = x = m.
  • По подобен начин за медианата BB1 получаваме:
    • BM : MB1 = 2 : 1 BM = 2y, MB1 = y.
    • Тогава:
      BB1 = BM + MB1 n = 2y + y = 3y y = n.
    • Т.е. MB1 = y = n.
  • По подобен начин доказваме, че за медианата CC1 имаме:
    CC1= p.

б) От казаното в подточка а) намираме отсечките AM, BM и CM.

  • AM = 2x = 2. m = m.
  • BM = 2y = 2. n = n.
  • CM = 2z = 2. p = p.

ОЗ 4.2:
Нека медианата от върха С на ΔABC пресича АВ в т. C1, а точка М е медицентърът на ΔABC с лице S. Да се докаже, че:

а) всяка медиана разделя триъгълника на два равнолицеви триъгълника;

б) триъгълниците АВМ, ВМС и АМС са равнолицеви, т.е. SΔABM = SΔBMC = SΔAMC = S.

в) трите медиани на ΔABC го разделят на 6 равнолицеви триъгълника

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Докажете, че ΔAC1C и ΔBC1C имат една и съща височина, и след това използвайте подходяща формула за лице на триъгълник.

б) Използвайте теорема за медицентър и подходяща формула за лице на триъгълник.

в) Докажете, че лицето на ΔAC1M е от лицето на ΔAC1C.

медицентър

медицентър и лице

ОЗ 4.3:
Нека точка М е медицентърът на ΔABC с лице S и CC1 и BB1 са медиани. Да се намери лицето на ΔC1MB1.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  1. Като използвате Основна задача 4.2 докажете, че лицето на ΔMCB1 е два пъти по-голямо от лицето на ΔC1MB1.
  2. Представете лицето на ΔC1CB1 като сбор от лицата на ΔC1MB1 и ΔMCB1.

Върни се в теорията


III. Ъглополовящи в триъгълник

Теория

Основни задачи

ОЗ 5.1:
Даден е ΔABC, при който ACB = γ. Ъглополовящите на върховете А и В се пресичат в т. L. Да се намери ALB.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте теорема за сбор на ъгли за ΔABC и ΔABL.

Нека ALB = x.

  • AL и BL са ъглополовящи BAL = LAC = α1, ABL = LBC = β1.
  • Прилагаме теорема за сбор на ъгли за ΔABC:
    1 + 2β1 + γ = 180° α1 + β1 = .
  • Прилагаме теорема за сбор на ъгли за ΔABL:
    α1 + β1 + x = 180° x = 180° – (α1 + β1) = 180° – (90° – ) = 90° + .
  • Отговор: ALB = x = 90° + .

ОЗ 5.2:
(Матура, 2010): Даден е ΔABC със страни AB = c и AC = b. Построена е ъглополовящата AL (L BC) и през точка L е построена права LP (P AB) и LP || AC. Намерете отношението SΔLPB : SΔABC.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  1. Използвайте подходящо свойство на ъглополовяща, за да изразите отсечките CL и BL чрез страните b и c на ΔABC.
  2. Докажете подобието на ΔABC и ΔPBL.
  3. Използвайте подходящо свойство на подобни триъгълници, за да намерите търсеното отношение.
ъглополовящи

ОЗ 5.3:
Даден е ΔABC със страни АВ = c, AC = b, BC = a и ъглополовящата BB1 (Фиг. 8). Да се изведе формула (35) за ъглополовящата BB1.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте подходящи свойства на ъглополовяща (формули 33 и 34).
  • За ъглополовящата BB1 използваме подходящо свойство (формула 33):
    , т.е. AB1 = cx, B1C = ax.
  • B1C + AB1 = AC ax + cx = b (a + c)x = b x = .
  • Тогава:
    AB1 = cx = ; B1C = ax = .
  • Използваме друго свойство на ъглополовяща (формула 34), за да намерим търсената формула:
    BB12 = AB.BC – AB1.B1C = AB.BC – BB12 = AB.BC – .
Бележка:

За други основни задачи виж от Зад. 1 до Зад. 3.

Върни се в теорията


IV. Височини и симетрали в триъгълник

Теория

Основни задачи

ОЗ 6.1:
Нека A1, B1, C1 са петите на височините, спуснати от върховете А, В, С на остроъгълния ΔABC и ABC = β, BAC = α, ACB = γ. Да се докаже, че:

а) ако т. Н е ортоцентър на ΔABC, то BHC =180° – α, AHB =180° – γ, AHC = 180° – β;

б) ΔAB1C1, ΔA1BC1, ΔA1B1C, ΔA1B1C1 са подобни на ΔABC и за първите три триъгълника да се намери коефициента на подобие;

в) C1A1B1 = 180° – 2α, A1B1C1 = 180° – 2β, A1C1B1 = 180° – 2γ.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Докажете, че BHC1 = α и след това използвайте Теорема за съседни ъгли.

б)

  1. Докажете че, ΔB1C1A и ΔABC са подобни по II признак с коефициент на подобие cos α.
  2. Докажете че, ΔA1C1B и ΔABC са подобни по II признак с коефициент на подобие cos β.
  3. Докажете че, ΔA1B1C и ΔABC са подобни по II признак с коефициент на подобие cos γ.
  4. Докажете че, ΔA1B1C1 и ΔABC са подобни по III признак.

в) Докажете, че: B1A1C = C1A1B = BAC = α, A1B1C = C1B1A = ABC = β, A1C1B = B1C1A = ACB = γ и след това използвайте Теорема за съседни ъгли.

а)

  • Прилагаме кратката Теорема за сбор на ъгли в ΔABB1 (BB1A = 90°) и получаваме, че ABB1 = 90° – α.
  • Отново използваме същата теорема, но сега за ΔBHC1 (BC1H = 90°) и получаваме, че BHC1 = 90° – C1BH = 90° – (90° – α) = α.
  • Използваме Теорема за съседни ъгли:
    BHC = 180° – BHC1 = 180° – α
  • По аналогичен начин доказваме, че AHB=180° – γ, AHC = 180° – β.

б)

  • ΔAA1C е правоъгълен с прав ъгъл при върха A1. Използваме тригонометрична функция косинус и получаваме, че:
    cos γ = .
  • За ΔBCB1 (BB1C = 90°) отново използваме тригонометрична функция косинус и получаваме, че: cos γ .
  • От горните две равенства получаваме:
    (A): = cos γ.
  • ΔA1B1C ~ ΔABC (по ІІ признак, защото: 1. (A) е изпълнено, 2. γ – общ ъгъл) с коефициент на подобие cos γ (следва от (A)).
  • По подобен начин се доказва, че ΔB1C1A ~ ΔABC с коефициент на подобие cos α и ΔA1C1B ~ ΔABC с коефициент на подобие cos β.
  • Остана да докажем, че ΔA1B1C1 е подобен на ΔABC:
    От ΔA1B1C ~ ΔB1C1A ~ ΔA1C1B ~ ΔABC , т.е. ΔA1B1C1 ~ ΔABC (по III признак).

в) Използваме доказаното в б):

  • От ΔA1B1C ~ ΔABC B1A1C = BAC = α и A1B1C = ABC = β.
  • От ΔA1C1B ~ ΔACB C1A1B = BAC = α и A1C1B = ACB = γ.
  • От ΔC1B1A ~ ΔCBA C1B1A = ABC = β и B1C1A = ACB = γ.
  • Доказваме равенствата, като използваме Теорема за съседни ъгли:
    • C1A1B1 = 180° – (B1A1C + C1A1B) = 180° – (α + α) C1A1B1 = 180° – 2α.
    • A1B1C1 = 180° – (A1B1C + C1B1A) = 180° – (β + β) A1B1C1 = 180° – 2β.
    • A1C1B1 = 180° – (A1C1B + B1C1A) = 180° – (γ + γ) A1C1B1 = 180° – 2γ.

Върни се в теорията


Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

Реклама


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама