а)

• Намираме PBC:
  • Прилагаме теорема за сбор на вътрешни ъгли за ΔABC:
    ACB + ABC + BAC = 180° ACB + 40° + 60° = 180° ACB = 80°.
  • Използваме кратката теорема за сбор на ъгли за правоъгълния ΔBB₁C (BB₁C = 90°):
    B₁BC = 90° – B₁CB = 90° – 80° = 10°.
  • Тогава PBC = B₁BC = 10°.
• Намираме CHP:
  • Използваме кратката теорема за сбор на ъгли за правоъгълния ΔAC₁C (AC₁C = 90°):
    ACC₁ = 90° – CAC₁ = 90° – 40° = 50°.
  • Използваме кратката теорема за сбор на ъгли за правоъгълния ΔCB₁H (CB₁H = 90°):
    CHB₁ = 90° – B₁CH = 90° – 50° = 40°.
  • Тогава CHP = CHB₁ = 40°.

б)

• Намираме PMN:
  • ABP = ABC – PBC = 60° – 10° = 50°.
  • Но ABP е вписан, тогава от формула (6) получаваме:
    = 2ABP = 2.50 = 100°.
  • ACN е вписан и от формула (6) получаваме:
    2ACN = 2.50 = 100°.
  • 100° + 100° = 200°.
  • PMN е вписан и от формула (6) получаваме:
    .200° = 100°.
• Намираме PNM:
  • От кратката теорема за сбор на ъгли за правоъгълния ΔAA₁C (AA₁C = 90°) следва, че A₁AC = 10°, т.е. MAC = 10°. Тогава MNC = MAC = 10°, защото са вписани и имат една и съща дъга (дъгата CM).
  • В подточка а) намерихме, че PBC = 10°. Получаваме, че PNC = PBC = 10°, защото са вписани и имат една и съща дъга (дъгата PC).
  • Изчисляваме:
    PNM = PNC + MNC = 10° + 10° = 20°.
• По подобен начин намираме MPN:
  • MAB = BAC – MAC = 40° – 10° = 30°, но MPB = MAB = 30°, защото са вписани и имат една и съща дъга (дъгата MB).
  • BCN = ACB – ACN = 80° – 50° = 30°, но NPB = BCN = 30°, защото са вписани и имат една и съща дъга (дъгата NB).
  • Тогава:
    MPN = MPB + NPB = 30° + 30° = 60°.

в)

• В подточка б) докачахме, че:
  100°.
• От Следствие 2 на централен ъгъл следва, че на равните дъги отговарят равни хорди, т.е. AP = AN.
• Така доказахме, че в ΔPAN е равнобедрен.

г)

• В подточка б) докачахме, че:
  • PNC = MNC = 10°, т.е. NC е ъглополовяща на PNM.
  • MPB = NPB = 30°, т.е. PB е ъглополовяща на MPN.
  • Лесно се доказва, че MA е ъглополовяща на PMN, защото PMA = NMA = 50°.
• Точка H е пресечната точка на ъглополовящите NC, PB и MA, и от теорема за вписана в триъгълник окръжност следва, че точката H е център на вписаната в ΔPNM окръжност.

а) Използвайте косинусова теорема за ΔABC.

б)

1. Използвайте формула (15), за да определите вида на ΔABC според ъглите.
2. Построете височините.
3. Използвайте основното тригонометрично равенство, за да намерите синуса на ъглите на ΔABC.
4. Използвайте подходяща тригонометрична функция за даден правоъгълен триъгълник и намерете съответната височина.

в) Използвайте синусова теорема за ΔABC.

г)

1. Използвайте Основна Зад. 5.1, за да намерите ъгъла между ъглополовящите.
2. Използвайте Таблица №2 и Тригонометрична формула (5.14), за да намерите косинус от гама върху две.
3. Приложете синусова теорема за ΔABL, за да намерите R.

а) Прилагаме косинусова теорема за ΔABC:

б)

• По условие имаме 15² > 13² + 4² c² > a² + b².
• Тогава от формула (15) следва, че γ > 90°, т.е ΔABC е тъпоъгълен с тъп ъгъл при върха C.
• Това означава, че височините АН и BD са извън триъгълника.
• Намираме височината AH:
  • От основното тригонометрично равенство следва, че:
    sin² β = 1 – cos² β = 1 – sin β = .
  • От Тригонометрична функция за ΔABH (H = 90°) получаваме:
    sin β AH = 12 cm.
• По подобен начин намираме височините BD и СР:

в) Прилагаме синусова теорема за ΔABC, за да намерим радиуса на описаната окръжност:

г)

• Нека AA₁ и BB₁ са ъглополовящи, тогава т. L е център на вписаната в ΔABC окръжност.
• От Основна Зад. 5.1 следва, че:
  ALB = x = 90° + .
• Използваме Таблица №2:
  sin x = sin (90° + ) = cos .
• В подточка б) доказахме, че ΔABC е тъпоъгълен с тъп ъгъл при върха C, т.е. γ (90°; 180°) (45°; 90°) и от Тригонометрична формула (5.14) получаваме:
• Нека радиусът на описаната около ΔABL окръжност да отбележим с R₁ и прилагаме синусова теорема за ΔABL:
  

1. От подходяща Тригонометрична формула намерете синуса на ъгъла между бедрата.
2. Намерете лицето, като използвате формула (42).

• Въвеждаме x:
  = cotg γ = 2, т.е. cos γ = 2x, sin γ = x.
• Използваме основното тригонометрично равенство, за да намерим x:
  sin² γ + cos² γ = 1 x² + 4x² = 1 x² = x = .
• Тогава sin γ = x = .
• Използваме подходяща формула за лице (формула 42):
  S_ΔABC = AC² sin γ = .