Триъгълници - задачи

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Геометрия

Съдържание на темата:

Теорема на Талес. Подобни триъгълници – решени задачи
Правоъгълен триъгълник – решени задачи
Ъглополовящи в триъгълник – решени задачи
Окръжност, вписана в триъгълник – решени задачи

I. Теорема на Талес. Подобни триъгълници

Теория

Решени задачи

Зад. №1:

В ΔАВС точките М и N съответно от страните АВ и АС са такива, че MN || BC. Намерете:

а) AN : AC и AN : NC, ако AM : AB = 3 : 7;

б) NC, ако AM = 3 cm, AB = 9 cm и AN = 2 cm;

в) AN, ако AM : AB = 2 : 3 и AC = 15 cm;

г) AN, ако AM = 2 cm, NC = 8 cm и AN = MB.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте теоремата на Талес.

а) От AM : AB = 3 : 7 AM = 3x, AB = 7x.

Тогава BM = AB – AM = 4x.
MN || BC и от Теоремата на Талес (формула 1)
.
Отново използваме теоремата на Талес (формула 2):
.

б) От чертежа следва, че CN = AC – AN. Намираме СN:

MN || BC и от формула (1) получаваме:
AC = 6.
CN = AC – AN = 6 – 2 = 4.

в) От AM : AB = 2 : 3 AM = 2x, AB = 3x.

MN || BC и от (формула 1) получаваме:
AN = 10.

г) От AN = MB AN = MB = x. Тогава от формула (2) получаваме:
x² = 16 x = AN = 4.

Зад. №2:: Даден е равнобедрен ΔABC (AB = AC) точка М е среда на ВС и АМ пресича описаната окръжност в т. N. Ако AM = 8 cm и MN = 1 cm намерете бедрото на триъгълника.

Докажете, че ΔABN ~ ΔAMC и използвайте подходящо свойство за тези подобни триъгълници.

По условие имаме AB = AC = x.

ACB = ANB (защото са вписани и имат една и съща дъга АВ).

подобни триъгълници

Зад. №3:

От т. А, външна за окръжност k, са построени допирателна АВ и секуща AD (С е между А и D). Намерете:

а) CD, ако AB = 2 cm, AD = 4 cm;

б) AD, ако AC : CD = 4 : 5 и AB = 12 cm.

Докажете, че ΔADB ~ ΔABC и използвайте подходящо свойство за тези подобни триъгълници.

вписан и периферен ъгъл, и подобни триъгълници

Зад. №4:

През точка М външна за окръжност k е построена права n, която пресича окръжността в точки A и B така, че точката A е между M и B, и права m, която пресича окръжността в точки C и D така, че точката C е между M и D. Намерете:

а) MC, ако MA = 15 cm, AB = 20 cm, MD = 25 cm;

б) CD, ако MB = 24 cm, MD = 42 cm, AB = 10 cm.

Докажете, че ΔMAD ~ ΔMCB и използвайте подходящо свойство за тези подобни триъгълници.

DAB = BCD (като вписани ъгли имащи една и съща дъга).
От Теорема за съседни ъгли следва, че MAD = MCB.
ΔMAD ~ ΔMCB (по І признак, защото M – общ и MAD = MCB – по д-во) и от Теорема-свойство получаваме .
От първите две дроби получаваме Теорема 5 (формула 4), т.е.:
(В): MA.MB = MC.MD.

а) От чертежа получаваме, че: MB = MA + AB = 15 + 20 = 35 и заместваме в (В):

15.35 = MC.25 MC = 21 cm.

б) От чертежа получаваме, че: MA = MB – AB = 24 – 10 = 14.

Заместваме в (В):
14.24 = MC.42 MC = 8.
CD = MD – MC = 42 – 8 = 34 cm.

Върни се в теорията

II. Правоъгълен триъгълник

Теория

Решени задачи

Зад. №1:: Намерете ъглите на триъгълник, в който височината и медианата през един от върховете разделят ъгъла при този връх на три равни части.

Построете CM – медиана в ΔABC и MN – височина в ΔAMC.
Използвайте свойство на ъглополовяща в подходящ триъгълник.
Намерете ъгъл равен на 30° в ΔAMN.
Намерете ACB и B.

Нека CD – височина, CM – медиана, ACM = MCD = DCB = y.
В ΔMBC CD е ъглополовяща и височина и от Теорема-признак за равнобедрен триъгълник следва, че ΔMBC е равнобедрен, т.е. MD = DB = a.
Построяваме MN AC.
CM – ъглополовяща на NCD и т. M CM, и от подходящо свойство следва, че MN = MD = a.
Разглеждаме ΔAMN:
- ANM = 90°.
- AM = 2MA.
- От Теорема 2 следва, че NAM = 30°.
Това означава, че BAC = 30°.
Прилагаме кратката теорема за сбор на вътрешни ъгли за ΔADC (D = 90°):
ACD + DAB = 90° 2y + 30° = 90° y = 30°.
Тогава:
ACB = 3y = 3.30 = 90°.
Прилагаме кратката теорема за сбор на вътрешни ъгли за ΔACB (C = 90°), за да намерим B:
ABC + BAC = 90° ABC + 30° = 90° ABC = 60°.

Зад. №2:

В правоъгълен триъгълник (Фиг. 3) при дадени два от елементите a, b, c, a₁, b₁, h_c, R, r, намерете всички останали:

а) a₁ = , b₁ = 2;

б) a = 1, b₁ = ;

в) c = 2, h_c = , при a < b;

г) r = 2, R = 5.

Използвайте подходяща формула за правоъгълен триъгълник.

а)

От формула за височина към хипотенузата (формула 18) h_c² = a₁.b₁ = .2 = 4 h_c = 2.
Прилагаме Питагорова теорема за ΔADC (D = 90°):
b² = b₁² + h_c² = (2)² + 4 = 12 b = 2.
Прилагаме Питагорова теорема за ΔBDC (D = 90°):
a² = a₁² + h_c² = ()² + 4 = 6 a = .
Използваме чертежа: c = a₁ + b₁ = + 2 = 3.
Използваме формулата за радиус на описаната окръжност (формула 20):
.
Използваме формула за радиус на вписаната окръжност (формула 22):
r = .

б) Нека a₁ = x, тогава c = b₁ + a₁ = + x.

Използваме формула (16) и решаваме квадратното уравнение:
a² = c.a₁ = 1² = 2x² + 3x – 2 = 0; x₁ = , x₂ = – 2 < 0 ∉ ДМ_x a₁ = x₁ = .
c = b₁ + a₁ = = 2.
От формула (18) h_c² = a₁.b₁ = .
Прилагаме Питагорова теорема за ΔABC (C = 90°):
c² = a² + b² 2² = 1² + b² b = .
От формула (20) R = = 1.
От формула (22) r = .

правоъгълен триъгълник

г)

От формула (20) c = 2R = 2.5 = 10.
От формула (22) r = a + b = 14
(A): a = 14 – b.
От Питагорова теорема за ΔABC (C = 90°) c² = a² + b² a² + b² = 100 и от (A) (14 – b)² + b² = 100 b² – 14b + 48 = 0, D = 1, b₁ = 6, b₂ = 8.
Тогава от (A) a₁ = 14 – b₁ = 14 – 6 = 8 и a₂ = 14 – 8 = 6.
Страните са 6 cm, 8 cm и 10 cm.
Прилагаме формула (19), за да намерим височината:
h_c.c = a.b 10h_c = 6.8 h_c = 4,8 cm.
Ако a = 6 cm, b = 8 cm от Питагорова теорема за ΔADC b² = b₁² + h_c² 8² = b₁² + 4,8² b₁² = 40,96 b₁ = 6,4 cm.
От Питагорова теорема за ΔBDC a² = a₁² + h_c² 6² = a₁² + 4,8² a₁² = 12,96 a₁ = 3,6 cm.

Зад. №3:: Даден е правоъгълен триъгълник със стандартните означения. Попълнете таблицата:

Използвайте подходяща формула за правоъгълен триъгълник.

тригонометрични функции

Върни се в теорията

III. Ъглополовящи в триъгълник

Теория

Решени задачи

Зад. №1:

В ΔABC отсечката CP е ъглополовяща. Намерете:

а) AP, ако PB = 5 cm, BC = 1 dm, AC = 15 cm;

б) BC, AP и PB, ако AC = 7,5 cm, AB = 10 cm, AP : PB = 3 : 2;

в) AP, PB и CP, ако АВ = 36 cm, AC = 35 cm, BC = 10 cm;

г) CP, ако P_ΔABC = 18 cm, AP = 2 cm, BP = 4 cm.

д) (Матура, 2012): дължините на страните на триъгълника, ако P_ΔABC = 21 cm, CP = 6 cm, AP : PB = 4 : 3.

Използвайте подходящи свойства на ъглополовяща в триъгълник.

а)

Изравняваме всички мерни единици, като превърнем в сантиметри:
BC = 1 dm = 10 cm.
Използваме свойство на ъглополовящата CP (формула 33):

б)

Използваме свойство на ъглополовящата CP (формула 33):
Намираме отсечките AP и PB:
- От даденото отношение получаваме:
  AP = 3x, PB = 2x.
- Намираме x:
  AB = AP + PB = 3x + 2x 10 = 5x x = 2.
- AP = 3x = 3.2 = 6 cm.
- PB = 2x = 2.4 = 4 cm.

в)

Използваме свойство на ъглополовящата CP (формула 33):
AP + PB = AB 7x + 2x = 36 x = 4.
AP = 7x = 7.4 = 28 cm.
PB = 2x = 2.4 = 8 cm.
Използваме формула (34):CP² = AC.BC – AP.PB = 35.10 – 28.8 = 126 CP = 3.

Бележка:

Отсечката CP може да я намерим и по друг начин, като използваме формула (35).

г)

Използваме формула (33):
= 2 BC = 2AC.
От даденото имаме:
AB = AP + PB = 2 + 4 = 6.
Намираме страните AC и BC:
- P_ΔABC = AB + BC + AC 18 = 6 + 2AC + AC AC = 4 cm.
- BC = 2AC = 2.4 = 8 cm.
Използваме формула (34), за да намерим ъглополовящата CP:
CP² = AC.BC – AP.PB = 4.8 – 2.4 = 24 CP = 2.

д)

От даденото отношение получаваме:
AP = 4x, PB = 3x.
Тогава:
AB = AP + PB = 4x + 3x = 7x.
Използваме формула (33):
AC = 4y, BC = 3y.
Намираме неизвестните x и y:
- Използваме дадения периметър:
  P_ΔABC = AB + BC + AC 21 = 7x + 3y + 4y = 7x + 7y | : 7 x + y = 3.
- Използваме формула (34):
  CP² = AC.BC – AP.PB = 4y.3y – 4x.3x 6² = 12y² – 12x² y² – x² = 3.
- Съставяме системата и я решаваме чрез заместване:
Намираме страните на триъгълника:
- AB = 7x = 7.1 = 7 cm.
- BC = 3y = 3.2 = 6 cm.
- AC = 4y = 4.2 = 8 cm.

Зад. №2:: (УНСС, 2009): В равнобедрен ΔАBC (AC = BC) с периметър P = 14 радиусът на вписаната окръжност се отнася към височината от върха C , както 2 : 7. Да се намери дължината на основата AB.

Използвайте подходящо свойство на ъглополовяща, за да изразите бедрата и основата на равнобедрения триъгълник чрез една и съща буква.
От даденият периметър намерете тази буква.

От даденото отношение r : h = 2 : 7 r = 2z, h = 7z.
ΔABC – равнобедрен и CD – височина , и от Теорема-свойство следва, че CD – медиана и ъглополовяща, т.е. AD = BD = x и за центърът на вписаната в триъгълника окръжност имаме O₁ CD, т.е. O₁D = r = 2z, а CO₁ = CD – O₁D = h – r = 7z – 2z = 5z.
O₁ – център на вписаната окръжност AO₁ – ъглополовяща, но AO₁ е ъглополовяща и в ΔADC, и прилагаме формула (33) за ΔADC:
P_ΔABC = 2x + 2y = 2(x + y) = 2(2n + 5n) 14n = 14 n = 1.
AB = 2x = 2.2n = 4 AB = 4.

Върни се в теорията

IV. Окръжност, вписана в триъгълник

Теория

Решени задачи

Зад. №1:: В ΔABC с периметър 24 cm е вписана окръжност, която се допира до страните AC и BC съответно в точките M и N. Намерете страните на триъгълника, ако CN : NB : AM = 1 : 2 : 3.

Използвайте Основна Зад. 8.1 (формула 36).

Нека т. P е допирната точна на окръжността до страната AB.
От даденото отношение следва, че CN = x, NB = 2x, AM = 3x.
От Основна задача 8.1 може да запишем: CM = CN = x, PB = NB = 2x, AP = AM = 3x.
Тогава страните на триъгълника са:
- AB = AP + PB = 3x + 2x = 5x.
- BC = CN + NB = x + 2x = 3x.
- AC = AM + MC = 3x + x = 4x.
Използваме формулата за периметър на триъгълник, за да намерим x:
P_ΔABC = AB + BC + AC 24 = 5x + 3x + 4x x = 2.
Тогава:
- AB = 5x = 5.2 = 10 cm.
- BC = 3x = 3.2 = 6 cm.
- AC = 4x = 4.2 = 8 cm.

Върни се в теорията

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура