Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра
Рационални дроби. Системи уравнения с две неизвестни. Дробни уравнения и неравенства
Съдържание на темата:
Теория
I. Рационални дроби
O – Числа записани с букви или цифри, свързани с основните математически действия (събиране, изваждане, умножение и делене).
O – Ако в рационален израз има деление с променлива, т.е. дроб от вида , където P и Q са многочлени, и Q ≠ 0.
Например: .
Ако в Q не се съдържа променлива, то изразът се нарича цял рационален израз.
Рационалната дроб има смисъл, когато знаменателят ѝ е различен от 0, т.е.
(1): Изразът има ДМ: Q ≠ 0.
Всяка стойност на променливата, за която изразът има смисъл, се нарича допустима стойност (ДС) на израза. Множеството от всички допустими стойности образуват дефиниционното множество (ДМ) на израза, т.е. множеството от ДС и дефиниционното множество ДМ на даден израз е едно и също нещо.
Знаем, че ако умножим числителя и знаменателя на обикновена дроб с число, различно от 0, то стойността на дробта не се променя (основно свойство на дробите). Подобно свойство имаме и при рационалните дроби. Ако P, Q и N са многочлени, а Q и N са различни от 0, то:
Прилагането на основното свойство на дробите (формула 2) се нарича разширяване на рационалната дроб.
Например: При x ≠ 1 може да разширим дробта с x – 1 и получаваме:
- Правило – Преобразование, при което от дробта се получава дробта , ако Q и N са различни от 0.
- Условия за съкращаване на дроб:
- Числителят и знаменателят трябва да имат общ множител.
- Преди да се съкрати дроб, е необходимо числителят и знаменателят ѝ да се разложат на множители и да имат общ множител.
Oпределение – Преобразуваме всяка от дробите така, че знаменателите на всички дроби да са равни.
- Разлагаме знаменателите на дадените дроби на множители.
- Намираме най-малкото общо кратно (НОК) на числовите множители.
- Избира се най-високата степен, с която се среща всеки буквен множител в знаменателите.
- Намираме най-малкия общ знаменател (НОЗ), като съставим произведението от всички множители, взети с най високите им степени, с които се срещат.
- Привеждаме под общ знаменател и представяме числителите на дробите в нормален вид.
- С еднакви знаменатели:
(3): , където Q ≠ 0. - С различни знаменатели:
Правило за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели
- Привеждаме дробите към общ знаменател.
- Събираме (изваждаме) получените дроби с еднакви знаменатели.
(4): , където Q ≠ 0, S ≠ 0.
(5): , където Q ≠ 0, R ≠ 0, S ≠ 0.
(6): , където Q ≠ 0.
(12): P.S = Q.R, където Q ≠ 0, S ≠ 0.
II. Системи уравнения с две неизвестни
Начини за решаване:
- Чрез заместване.
Правило:
- От едното уравнение изразяваме едното неизвестно.
- Заместваме в другото уравнение и го решаваме.
- Така намерената стойност на едното неизвестно се замества в израза от стъпка 1 и намираме другото неизвестно.
- Чрез събиране.
Правило:
- Чрез умножение с подходящи числа получаваме противоположни коефициенти пред едно от неизвестните (най-често това са коефициентите пред неизвестното, което искаме да съкратим, но с обратен знак).
- Събираме двете уравнения и решаваме полученото уравнение с едно неизвестно.
- Полученото неизвестно се замества в едно от уравненията на системата и се намира другото неизвестно.
Универсален начин за решаване на системи от този вид не са познати. Възможно е да се използват подходящи методи за решаване на определени групи системи.
- Решаване на системи, в които едно от уравненията е линейно – Системи от този вид се решават чрез заместване, като от линейното уравнение изразим едното неизвестно и го заместим в другото уравнение.
- Решаване на системи, при които едното уравнение може да се реши или да се разпадне на две уравнеия.
- Решаване на системи от втора степен чрез събиране.
- Решаване на системи от втора степен чрез полагане.
- Решаване на системи, при които неизвестните участващи в уравненията са само от втора степен – Чрез подходящи преобразувания от двете уравнения получаваме уравнение от първа степен, което заедно с едното уравнение на дадената система образуват еквивалентна система.
III. Дробни (рационални) уравнения
O – Уравнение, при което неизвестното е в знаменател.
Например: .
Множеството от допустимите стойности на неизвестното, при които знаменателите са различни от 0.
- Разлагаме всички знаменатели на множители, ако е възможно.
- Определяме дефиниционното множество (ДМ).
- Привеждаме към общ знаменател двете страни на уравнението.
- Решаваме полученото цяло уравнение.
- Проверяваме дали получените корени принадлежат на ДМ.
- Записваме резултата, като корените на дробното уравнения са тези корени на цялото уравнение, които принадлежат на ДМ.
Понякога е по-удобна да не се определя ДМ, а само непосредствено да се провери, при кои от получените корени на решеното уравнение знаменателите имат смисъл.
IV. Дробни (рационални) неравенства
O – Неравенства, при което неизвестното е в знаменател, т.е. от вида:
(13): ≥ 0, където P и Q са многочлени, а Q съдържа неизвестно.
Дробните неравенства (13) могат да имат всеки други знак за неравенство.
Множеството от допустимите стойности на неизвестното, при които знаменателят е различен от 0, т.е. ДМ на (13) е Q ≠ 0.
- Определяме ДМ.
Бележка:
Може да не търсим ДМ, ако при накъсването на числовата ос на интервали отчетем, че знаменателят на дробта неможе да е 0.
- Преобразуваме до основното неравенство (13) (без да привеждаме двете му страни под общ знаменател).
Бележка:
Ако в (13) имаме, че Q > 0 за x, то може да се освободим от знаменателя, като приведем под общ знаменател двете страни на неравенството.
Освобождаването от знаменател е действие, при което умножаваме двете страни на уравнение или неравенство с израз, който не е 0. Ако умножим двете страни на уравнение с положително или отрицателно число, то уравнението няма да се промени. При неравенство НЕ е така, защото, ако умножим двете страни на неравенство с отрицателно число, посоката на неравенството се променя.
Затова в стъпка 2 казахме, че НЕ се привеждат двата страни на неравенството под общ знаменател.
- Разлагаме P и Q на множители.
Бележка:
Неравенство (13) може да се запише във вида
(14): P.Q ≥ 0, ако Q ≠ 0.
Затова неравенства (13) и (14) са напълно еквивалентни, само когато Q ≠ 0.
- Прилагаме метода на интервалите.
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година: