а) Тъй като 1 – 3x = 0 за x = , то ДМ: x ≠ .

б) Намираме ДМ на всяка от дробите и накрая записваме ДМ на дадения израз:

• За първата дроб имаме x² – x = 0 x(x – 1) = 0 x₁ = 0, x₂ = 1, тогава ДМ: x ≠ 0, x ≠ 1.
• За втората дроб имаме x – 1 = 0 x = 1, тогава ДМ: x ≠ 1.
• Даденият израз има ДМ: x ≠ 0, x ≠ 1.

в) Тъй като квадратното уравнение x² + x + 2 = 0 няма реални корени, защото дискриминантата му D е отрицателна, то знаменателят е x² + x + 2 ≠ 0 за всяко x. Следователно ДМ: x (x R).

г) В знаменателят на дробта нямаме неизвестно, т.е. ДМ: x.

а) В числителят и знаменателят намерете общ множител и го съкратете.

В останалите подточки първо разложете на множители и след това намерете множител, който се повтаря.

а) В числител и знаменател имаме общ множител (това е a²) и затова може да го съкратим:
.

б)

• Използваме подходяща формула за съкратено умножение, за да разложим числителя на множители:
  x² – 9 = (x – 3)(x + 3).
• Изнасяме пред скоба общ множител, за да разложим знаменателя на множители:
  2x – 6 = 2(x – 3).
• Съкращаваме общия множител в числител и знаменател:
  

в)

• Използваме подходяща формула за съкратено умножение, за да разложим числителя на множители:
  x² – 4 = (x – 2)(x + 2).
• Разлагаме на множители квадратния тричлен, който се намира в знаменател:
  D = 16 – 16 = 0, x₁ = x₂ = 2 x² – 4x + 4 = (x – 2)².
• Съкращаваме общия множител в числител и знаменател:
  .

г)

• Изнасяме пред скоба общ множител, за да разложим знаменателя на множители:
  4a – 12 = 4(a – 3).
• Разлагаме на множители квадратния тричлен, който се намира в знаменател:
  D = 25 – 24 = 1, a₁ = 2, a₂ = 3 a² – 5a + 6 = (a – 2)(a – 3).
• Съкращаваме общия множител в числител и знаменател:
  .

а)

• Знаменателите на дадените дроби не се разлагат на множители.
• Намираме най-малкото общо кратно (НОК) на числовите множители 4 и 8, като това е числото 8, т.е.:
  НОК (4;8) = 8.
• Двете букви (a и x) се срещат във всяка от дробите, като най-високите им степени са 2 степен. Така от буквите имаме x²a².
• Намираме най-малкия общ знаменател:
  НОЗ = 8x²a².
• Привеждаме под общ знаменател и представяме числителите на дробите в нормален вид:
  

б)

• Разлагаме знаменателите на дадените дроби на множители:
  • x² – x = x(x – 1).
  • 1 – x² = – (x² – 1) = – (x – 1)(x + 1).
  Бележка:

  При разлагането на втория знаменател изнесохме знака „–“ пред скоби, защото множителят 1 – x се различава само по знак от множителя x – 1 на първия знаменател. Обикновено този минус се записва пред дробната черта на съответната дроб.

• Нямаме повтарящи се числови множители, а степента на израза, който се повтаря, е еднаква.
• Намираме най-малкия общ знаменател, като умножим всички множители, които не се повтарят:
  НОЗ = x(x – 1)(x + 1).
• Привеждаме под общ знаменател и представяме числителите на дробите в нормален вид:
  

в)

• Разлагаме знаменателите на дадените дроби на множители:
  • D = 1 + 8 = 9, x₁ = 2, x₂ = – 1 x² – x – 2 = (x – 2)(x + 1).
  • 4 – 2x = – 2(x – 2).
  • 6 + 6x = 6(x + 1).
• Намираме най-малкото общо кратно (НОК) на числовите множители:
  НОК (2,6) = 6.
• Степента на изразите, който се повтарят е еднаква.
• Намираме най-малкия общ знаменател, като умножим всички неповтарящи се множители с най-високите им степени:
  НОЗ = 6(x – 2)(x + 1).
• Привеждаме под общ знаменател и представяме числителите на дробите в нормален вид:
  

а)

• Разлагаме на множители знаменателите на втората и третата дроб:
  • 3 – x = – (x – 3).
  • x² – 9 = (x – 3)(x + 3).
• Общият знаменател на трите дроби е (x – 3)(x + 3).
• Определяме дефиниционното множество:
  (x – 3)(x + 3) ≠ 0 ДМ: x ≠ 3, x ≠ – 3.
• Привеждаме под общ знаменател двете страни на уравнението и решаваме полученото квадратно уравнение:
• Проверяваме кои от тези корени принадлежат на ДМ – И двата корена са различни от 3 и – 3.
• Записваме крайните решения – Корените на дробното уравнения са x₁ = 2 + 2 и x₂ = 2 – 2.

б)

• Разлагаме на множители само знаменателя на третата дроб:
  D = 9,x₁ = – 1, x₂ = 2 x² – x – 2 = (x + 1)(x – 2).
• Общият знаменател на трите дроби е (x + 1)(x – 2).
• Определяме дефиниционното множество:
  (x + 1)(x – 2) ≠ 0 ДМ: x ≠ – 1, x ≠ 2.
• Привеждаме под общ знаменател двете страни на уравнението и решаваме полученото квадратно уравнение:
• Проверяваме кои от тези корени принадлежат на дефиниционното множество – Тъй като x₁ = 2 ∉ ДМ, x₂ = – 3 ДМ, то корен на даденото уравнение е само x = – 3.

а)

• Привеждаме даденото неравенство до основен вид (13):
• Прилагаме метода на интервалите и затова нулираме числител и знаменател:
  • x² – 2x + 1 = 0, x₁ = x₂ = 1.
  • x(x + 1) = 0, x₃ = 0, x₄ = – 1.
• Коренът x = 1 се повтаря, защото числителят има двоен корен. Това означава, че имаме частен случай на метода на интервалите, т.е. коренът x = 1 се нанася на числовата ос, но не се включва в интервалите:
  
• Крайните решения на даденото неравенство са x (– ∞;– 1) (0; 1) (1; + ∞).

б)

• Както в подточка а) преобразуваме даденото неравенство до вида:
  .
• Тогава решенията на даденото неравенство са x (– ∞; – 1) (0; + ∞).
  Бележка:

  Независимо от това, че числото 1 идва от частния случай, то се включва в решенията на даденото неравенство, защото по условие имаме по-голямо или равно и частният случай е в числител.

в)

• Както в подточка а) преобразуваме даденото неравенство до вида:
  .
• Тогава решенията на даденото неравенство са x (– 1; 0) {1}.
  Бележка:

  Тук отново частният случай се включва в решенията.