Показателни уравнения. Показателни неравенства

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Показателни уравнения и неравенства

Съдържание на темата:

Показателна функция.
Графика на показателната функция.
Свойства на показателната функция.
Показателни уравнения.
Начини за решаване на показателни уравнения.
Показателни неравенства.
Начини за решаване на показателни неравенства.

ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНСС

Теория

I. Показателна функция

О – Функция от вида y = a^x, където a е положително число различно от 1, а x – променлива се нарича показателна функция.
ДМ:

II. Графика на показателната функция

При a > 1 показателната функция има графика показана на Фиг.1.
При 0 < a < 1 показателната функция има графика показана на Фиг.2.
При a = 1 показателната функция е равна на 1 (защото y = 1^x = 1 за всяко x). Затова при a = 1, графиката на показателната функция е права линия успоредна на абсцисната ос и минаваща през точка с координата a(0 ; 1).

III. Свойства на показателната функция

Свойство 1 – Графиката на функцията минава през точките с координати: (0; 1) и (1; a), т.е. a⁰ = 1 и a¹ = a;
Свойство 2 – Графиката е разположена в I и II квадрант ("над" оста Ох), т.е a^x > 0 за всяко x;
Свойство 3 – Ако a (0; 1), то функцията y = a^f(x) е намаляваща (Фиг. 2), като:
- При x < 0 стойностите на показателната функция са по-големи от 1, т.е. a^x > 1;
- При x > 0 – са по-малки от 1, т.е. 0 < a^x < 1;
- Най-голямата и най-малка стойност на функцията в даден интервал [p; q] се намира от
  (9):
Свойство 4 – Ако a (1; +∞), то функцията y = a^f(x) е растяща (Фиг. 1), като:
- При x < 0 стойностите на показателната функция са по-малки от 1, т.е. 0 < a^x < 1;
- При x > 0 – са по-големи от 1, т.е. a^x > 1;
- Най-голямата и най-малка стойност на функцията в даден интервал [p; q] се намира от
  (10):
Свойство 5 – Всяка права "над" оста Ох и успоредна на нея пресича графиката на функцията y = a^x само в една точка, а всяка права "под" оста Ох няма обща точка с графиката на функцията y = a^x.

Решена Зад.№1

IV. Показателни уравнения

О – Уравнение, в което неизвестното е в степенния показател, се нарича показателно уравнение.

V. Начини за решаване на показателни уравнения

(11): a^x = b x = log_ab, където a > 0, a ≠ 1, b > 0.
(12): a^f(x) = a^g(x) f(x) = g(x), където a > 0, a ≠ 1.

Бележка:

Други начини за решаване на показателни уравнения виж от Зад. №2 до Зад. №8.

VI. Показателни неравенства

О – Неравенство, при което неизвестното е в степенен показател, се нарича показателно неравенство.

VII. Показателни неравенства

(13): a^f(x) < b
(14): a^f(x) < a^g(x)

Бележка:

Други начини за решаване на показателни неравенства виж от Зад.№9, Зад.№10.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура