Решение:

• Преобразуваме уравнението като приложим формула (7):
  = 25 2^{–(x + 2)} = 25.
• Логаритмуваме двете страни на горното уравнение при основа 2, т.е. използваме формула (11):
  –(x + 2) = log₂ 25 x = –2 – log₂ 25.
• Преценяваме, че 4 < log₂ 25 < 5.
• Намираме границите в които се променя x:
  1. При 4 < log₂ 25 x = –2 – 4 = –6, т.е. x < –6.
  2. При log₂ 25 < 5 x = –2 – 5 = –7, т.е. x > –7.
• От (1) и (2) следва, че –7 < x < –6.
• Верен отговор A).

Решение:

• От Свойствата на показателната функция знаем, че тя винаги e положителна,т.е. даденото уравнение няма решение.
• Верен отговор A).

Решение:

• Преобразуваме даденото уравнение с помощта на формулите (1) и (4):
  5^{x + 1} + 3.5^{x – 1} – 6.5^x + 10 = 0 5.5^x + = –10 5^x = 25 5^x = 5², т.е. x = 2.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Преобразуваме даденото уравнение с помощта на формулата (3):
  (2^x)² – 10.2^x + 16 = 0.
• Полагаме 2^x = y > 0:
  y² – 10y + 16 = 0 y₁ = 2, y₂ = 8.
• От полагането получаваме:
  • 2^x = 2 x = 1.
  • 2^x = 8 2^x = 2³ x = 3.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Преобразуваме даденото уравнение с помощта на формулите (1) и (4):
  2^{x + 2} – 2^{2 – x} = 15 2².2^x – = 15 4.2^2x – 15.2^x – 4 = 0.
• Полагаме 2^x = y > 0:
  4y² – 15y – 4 = 0 y₁ = –0,25 ∉ ДМ_y, y₂ = 4.
• От полагането получаваме:
  2^x = 4 2^x = 2² x = 2.
• Верен отговор В).

Решение:

• С помощта на формула (7) преобразуваме до неравенство от вида (14):
• Най-голямото цяло число принадлежащо на този интервал е 1.
• Верен отговор Г).

Решение:

• От Свойство 2 знаем, че показателната функция винаги е положително число.
• След като преобразуваме дадените неравенства виждаме, че това свойство се изпълнява за неравенства 2 и 3.
• Верен отговор Д).

Решение:

• С помощта на формула (1) преобразуваме даденото неравенство:
  5.2^x + 2^{x + 2} ≤ x².2^x 5.2^x + 2².2^x ≤ x².2^x 9.2^x ≤ x².2^x.
• Делим двете страни на горното неравенство с 2^x, защото 2^x > 0 за всяко x и получаваме:
  9 ≤ x² x² – 9 ≥ 0 (x – 3)(x + 3) ≥ 0 x (–∞; –3] [3; +∞).
• Верен отговор A).

Решение:

• С помощта на формули (1) и (3) преобразуваме до неравенство от вида (14):
  (3³)^2x – 3.(3³)^x ≤ 0 3^6x – 3^{1 + 3x} ≤ 0 3^6x ≤ 3^{1 + 3x} 6x ≤ 1 + 3x x ≤ .
• Най-голямото цяло число решение на това неравенство е 0.
• Верен отговор В).

Решение:

• Преобразуваме даденото неравенство с помощта на формулите (1) и (4):
  3.5^{2x – 1} – 2.5^{x – 1} ≥ 0,2 3.5^2x– 2.5^x – 1 ≥ 0.
• Полагаме 5^x = y > 0 и получаваме:
  3y² – 2y – 1 ≥ 0 y [1; +∞).
• Засичаме с ДМ_y и получаваме y [1; +∞).
• От полагането и горното решение получаваме:
  y [1; +∞) y ≥ 1 5^x ≥ 1 5^x ≥ 5⁰ x ≥ 0, т.е. x [0; +∞).
• От всички дадени числа само 0 принадлежи на този интервал.
• Верен отговор В).

Решение:

• Преобразуваме даденото уравнение с помощта на формула (7) до уравнение от вида (12):
  5^x = 5^x = 5 ^{– 3y} x = –3y = –.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Основата на дадената функция е 7 > 0, т.е. функцията е растяща.
• От Свойство 4 следва, че 7^x (0; 1), ако x < 0.
• Верен отговор В).

Решение:

• Преобразуваме даденото уравнение с помощта на формулите от (1) до (7) до уравнение от вида (12):
• Верен отговор Б).

Решение:

• Намираме ДМ:
  x – 3 ≥ 0 x ≥ 3.
• Преобразуваме даденото уравнение с помощта на формулите (7) и (3) до уравнение от вида (12):
• Уравнението е от вида (11) и затова използваме формула (12):
  • x₁ = 0.
  • x + 5 = 0 x₂ = –5.
  • = 0 ↑² x – 3 = 0 x₃ = 3.
• От тези корени само x₃ = 3 ДМ.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Преобразуваме даденото уравнение с помощта на формула (1):
  3.3^2x + 11.3^x – 4 = 0.
• Полагаме 3^x = y > 0:
  3y² + 11y – 4 = 0 y₁ = –4 ∉ ДМ_y, y₂ = .
• От полагането получаваме:
  3^x = 3^x = 3^–1 x = –1.
• Верен отговор В).

Решение:

• Преобразуваме даденото уравнение до Хомогенно:
  5.5^2x + 2.2^2x = 7.2^x.5^x 5.5^2x – 7.2^x.5^x + 2.2^2x = 0.
• Делим двете му страни на 2^2x:
  5. + 2 = 0.
• Полагаме = y > 0:
  5y² – 7y + 2 = 0, y₁ = 1, y₂ = .
• От полагането имаме:
  • При y₁ = 1 = 1 x = 0.
  • При y₂ = = = x = –1.
• Верен отговор Д).

Решение:

• Чрез формулите (5), (3) и (1) преобразуваме даденото неравенство до вида (14):
• Целите числа принадлежащи на този интервал са –1 и 0. Произведението им е (–1).0 = 0.
• Верен отговор A).

Решение:

Решение:

Решение:

• Заместваме функциите f(x) и g(x) с техните равни и решаваме полученото показателно неравенство:
  2^{2x + 1} – 1 < 2(2^x – 1) + 1 2^{2x + 1} – 1 < 2.2^x – 2 + 1 2^{2x + 1} < 2^{x + 1} 2x + 1 < x + 1 x < 0.
• Верен отговор A).