Квадратни уравнения. Квадратна функция. Биквадратни уравнения

ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНСС

---

Теория

I. Определение за квадратно уравнение

II. Брой на решенията на уравнение (1)

В зависимост от знака на дискриминантата разглеждаме случаите:

• Уравнение (1) ИМА реални различни корени
  • Условие:
    (2):
  • Формула за намиране на корените:
    (3):
  • Кратка (съкранета) формула – Ако b е четно число, означаваме k = и дискриминантата има вида D₁ = k² – ac. В този случай използваме формулата:
    .
• Уравнение (1) ИМА един двоен реален корен
  • Условие:
    (4):
  • Формула:
    x₁ = x₁ =
• Уравнение (1) НЯМА реални корени

  Условието е
  (5):

III. Разлагане на квадратния тричлен на множители

Нека x₁ и x₂ са корени на уравнение (1).

• Ако D > 0, то имаме ax² + bx + c = a (x – x₁)(x – x₂).
• Ако D = 0, то имаме ax² + bx + c = a (x – x₁)².
• Ако D < 0, то тричленът ax² + bx + c не се разлага на множители.

IV. Формули на Виет

Ако уравнение (1) има реални корени x₁ и x₂, то за тях са в сила формулите:
x₁ + x₂ = –; x₁.x₂ = .

V. Условия за определяне знаците на корените на уравнение (1)

• Уравнението ИМА положителни корени (може и да са еднакви) – ако x₁ и x₂ > 0, то
  (6):
• Уравнението ИМА два различни положителни корени – ако x₁ ≠ x₂ > 0, то
  (7):
• Уравнението ИМА отрицателни корени (може и да са еднакви) – ако x₁ и x₂ < 0, то
  (8):
• Уравнението ИМА два различни отрицателни корени – ако x₁ ≠ x₂ < 0, то
  (9):
• Уравнението ИМА един положителен и един отрицателен корен – ако x₁ < 0 и x₂ > 0 (или x₁ > 0 и x₂ < 0), то
  (10): x₁.x₂ < 0.
  Бележка:

  В горното уравнение условието D > 0 е излишно условие, защото от x₁.x₂ < 0 < 0 a.c < 0 D = b² – 4ac > 0.

VI. Решаване на квадратни уравнения:

• с помощта на формулите от (2) до (5).
• алгебричен начин – Уравнение (1) се разлага на множители до уравнение от вида
  (11): (x – a)(x – b) = 0.
  Уравнение (11) се разпада на две уравнения
  (12): x – a = 0 и x – b = 0,
  които се решават като линейни.
• графичен начин
  • Пресечните точки на графиката на функцията f(x) с абцизната ос (ако има такива), са решенията на уравнението f(x) = 0 (точките x₁ и x₂ на Фиг. 2).
  • Ако имаме две функции f(x) и g(x), то решенията на уравнението f(x) = g(x), са пресечните точки на графиките на двете функции. Ако графиките на двете функции не се пресичат, то даденото уравнение няма решение.

VII. Решаване на рационални уравнения свеждащи се до квадратни:

VIII. Квадратна функция

Ако в лявата страна на уравнение (1) положим y = f(x) = ax² +bx +c, то функцията y се нарича квадратна с аргумент (независима променлива) x. В общия случай квадратната функция има ДМ.: x (– ∞; + ∞).

IX. Свойства на квадратната функция

• Свойство 1
  • Графиката на квадратната функция е парабола.
  • Ако коефициентът a > 0, параболата е с върха надолу (Фиг. 2).
  • Ако коефициентът a < 0, параболата е с върха нагоре (Фиг. 3).
  • Ос на симетрия на параболата – права, успоредна на оста Oy и минаваща през върха на параболата.
  • x – тата координата на върха на параболата се намира по формулата
    x_v = .
• Свойство 2 – От фиг. 2 и фиг. 3 се вижда, че:
  • При a > 0 функцията f(x) е намаляваща в интервала и растяща в интервала .
  • При a < 0 функцията f(x) растяща в интервала и намаляваща в интервала .
• Свойство 3 – От фиг. 2 и фиг. 3 се вижда, че:
  • При a > 0 функцията f(x) има най-малка стойност (min f(x)), която приема при x = , но няма най-голяма стойност.
  • При a < 0 функцията f(x) има най-голяма стойност (max f(x)), която приема при x = , но няма най-малка стойност.
• Свойство 4 – Как се изменя знакът на квадратната функция f(x) в зависимост от D и a се вижда от

  Таблица №1

  

X. Биквадратно уравнени

• Oпределение – Биквадратните уравнения имат вида ax⁴ + bx² + c = 0, където a ≠ 0, b и c са реални коефициенти.
• Решаване – Биквадратните уравнения се решават чрез полагането x² = y, ДМ_y: y ≥ 0 и решаваме съответното квадратно уравнение ay² + by + c = 0. Ако това последно уравнение има неотрицателни корени y₁ и y₂, то решенията на биквадратното уравнение са:
• Броят на корените на биквадратното уравнение се определят от

  Таблица №2

  

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

---

Вижте още

---