Решение:

• Заместваме x₁ в даденото уравнение и го решаваме спрямо а, т.е.:
  (1 – )² – 4(1 – ) + 2a = 0 1 - 2 + 3 – 4 + 4 + 2a = 0 2 + 2a = 0 a = –.
• Верен отговор А).

Решение:

• С дадените числа намираме сбора и произведението им:
  x₁ + x₂ = 1 + + 1 – = 2.
  x₁.x₂ = (1 + )(1 – ) = 1² – = 1 – 3 = –2.
• За всеки от отговорите прилагаме формулите на Виет и установяваме, че само при уравнението от отговор В) се получава x₁ + x₂ = 2 и x₁.x₁ = – 2.
• Верен отговор В).

Решение:

• Отхвърляме някои от отговорите:
  D = 22,52 – 4.(–0,5).(–2) = 506,25 – 4 > 0,
  т.е. уравнението има реални различни корени и отговори Д) и В) отпадат.
• Използваме формулите на Виет:
  x₁ + x₂ = = 45 > 0.
  x₁.x₂ = = 4 > 0.
• Верен отговор Г).

Решение:

• От даденото уравнение и формулите на Виет намираме:
  x₁ + x₂ = –6.
  x₁.x₂ = 4.
• Намираме стойността на израза
  3 – x₁ – x₂ = 3 – (x₁ + x₂) = 3 – (–6) = 3.2 + 6 = 12.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Намираме Дефиниционното множество (ДМ):
  2x + 1 ≠ 0 x ≠ –.
• Привеждаме под общ знаменател и решаваме полученото уравнение:
  2x² – 5x – 3 = 0, т.е. x₁ = 3, x₂ = – ∉ ДМ.
• Верен отговор Д).

Решение:

• Преобразуваме биквадратното уравнение:
  20 – x² – x⁴ = 0 |.(– 1) x⁴ + x² – 20 = 0.
• Полагаме x² = y ≥ 0 и получаваме:
  y² + y – 20 = 0 с корени y₁ = – 5 ∉ ДМ_y, y₂ = 4.
• От полагането при y₂ = 4 имаме x² = 4. Това уравнение има две решения (може да не намираме самите решения).
• Верен отговор В).

Решение:

• Квадратно уравнение има два реални различни корена, ако е изпълнено (2), т.е.:
  k ≠ 0.
• Верен отговор Д).

Решение:

• Намираме дискриминантата на даденото квадратно уравнение:
  D = (a + 1)² – 4(a + 4) = a² + 2a + 1 – 4a – 16 = a² – 2a – 15.
• Квадратно уравнение има два равни корена, ако е изпълнено (4), т.е.:
  D = 0, т.е. a² – 2a – 15 = 0, a₁ = – 3, a₂ = 5.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Намираме дискриминантата на даденото квадратно уравнение:
  D = (a + 2)² – 4(1 – a) = a² + 4a + 4 – 4 + 4a = a² + 8a.
• Квадратно уравнение няма реални корени, ако е изпълнено (5), т.е.:
  D < 0, т.е. a² + 8a < 0, a(a + 8) < 0, a (– 8, 0).
• Верен отговор Г).

Решение:

Даденото уравнение е биквадратно. Затова полагаме x² = y и получаваме квадратното уравнение
(1): y² + 3ay + a = 0.

• Намираме дискриминантата на уравнение (1):
  D = (3a)² – 4a = 9a² – 4a.
• От формулите на Виет намираме:
  y₁.y₂ = a; y₁ + y₂ = – 3a.
• Даденото биквадратно уравнение ще има четири различни реални корена, ако квадратно уравнение (1) има два положителни различни корена, т.е. ако е изпълнено (28):
• Верен отговор Д).

Решение:

• При x₁ = – 2 (– 2)² + m.(– 2) + 3(m – 3) = 0, т.е. m = 5.
• От формулите на Виет следва, че:
  x₁ + x₂ = – m – 2 + x₂ = – 5, т.е. x₂ = –3.
• Верен отговор В).

Решение:

• Ъглополовящата на втори и четвърти квадрант е графика на линейната функция y = – x.
• Х координатите на пресечните точки на графиката на функциите f(x) и y са решенията на уравнението f(x) = y, т.е.:
  f(x) = y x² + 12x + 36 = – x x² + 13x + 36 = 0; x₁ = – 4, x₂ = – 9.
• Намираме Y координатите на тези точки:
  f(– 4) = (– 4)² + 12.(– 4) + 36 = 16 – 48 + 36 = 4.
  f(– 9) = (– 9)² + 12.(– 9) + 36 = 81 – 108 + 36 = 9.
• Търсените точки са с координати (– 4; 4) и (– 9; 9).
• Верен отговор Д).
Бележка:

Забележете, че x и y координатите на търсените точки са противоположни числа, защото графиката на y лежи във втори и четвърти квадрант.

Ако разглеждаме ъглополовящата на първи и трети квадрант, то пресечните ѝ точки с функцията f(x) ще имат еднакви координати.

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

• Използваме формула (2): .
• Верен отговор Г).

Решение:

• Използваме формула (6) и формулите на Виет:
  .
• Верен отговор А).

Решение:

• Използваме формула (10) и формулите на Виет:
  x₁.x₂ = < 0 . < 0 k (– ∞; 0) (1; + ∞).
• Верен отговор Д).

Решение:

• В даденото биквадратно уравнение полагаме x² = y ≥ 0 и получаваме квадратното уравнение:
  (А): y² + 4y – a – 2 = 0 y² + 4y – (a + 2) = 0.
• За да е изпълнено условието при даденото биквадратно уравнение, то за квадратното уравнение (А) трябва да са в сила случаите:
  1. D < 0 D = 4 + a + 2 = a + 6 < 0 a < – 6.
  2. a [–6; –2).
• Обединяваме (1) и (2) a (– ∞; – 2).
• Верен отговор Д).

Решение:

• В даденото биквадратно уравнение полагаме x² = y ≥ 0 и получаваме квадратното уравнение:
  (А): (a – 1)y² – 4y + a + 2 = 0.
• За да е изпълнено условието при даденото биквадратно уравнение, то за квадратното уравнение (А) трябва да e в сила системата:
• В интервала [– 3; – 2) (1; 2] има две цели числа (това са числата – 3 и 2).
• Верен отговор В).