Квадратни уравнения - Тест Технически университет

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Квадратна функция. Квадратни и биквадратни уравнения

Вижте:

ТеорияОсновни задачиТест върху квадратна функцияТест за УНСС

Тест – Технически университет и матура

Колко общи точки имат графиките на функциите f (x) = x² – 3x + 2 и g (x) = x² + 5x – 6?
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)3
- Д)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решенията на уравнението f(x) = g(x) са х – координатите на общите точки от графиките на дадените функции.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Знаем, че решенията на уравнението f(x) = g(x) са х – координатите на пресечните точки на графиките на дадените функции:
  x² – 3x + 2 = x² + 5x – 6 8x = 8 x = 1.
- Уравнението f(x) = g(x) има само едно решение, т.е. имаме само една пресечна точка на графиките на дадените функции.
- Верен отговор Б).

В правоъгълна координатна система xOy е построена графиката на функцията y = x² – x + 2. Точките А и В са пресечните точки на графиката с абсцисната ос, а точката С е пресечната точка на графиката с ординатната ос. Ако AB = a и OC = b , то:
- А)a ≤ b
- Б)a < b
- В)a = b
- Г)a > b
- Д)a и b не могат да се сравнят.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете координатите на т. С, т. А и т.В.
2. Използвайте това, че AB = a и CO = b.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме координатите на точка С и дължината на отсечката b = OC:
  - x = 0.
  - y (0) = 0² – .0² + 2 = 2.
  - Координатите на т. С са (0; 2), тогава b = CO = 2.
- Намираме дължината на отсечката a = AB:
  - x – координатите на точките А и В са решенията на квадратното уравнение:
    x² – x + 2 = 0 3x² – 11x + 6 = 0, x₁ = , x₂ = 3.
  - Тогава A и B (3; 0).
  - a = AB = 3 – .
- Вижда се, че a > b.
- Верен отговор Г).

Функцията f(x) = x² + px + q има стойност 0 при x = 1, намалява в (–∞; –2) и расте в (–2; +∞). Функцията е:
- А)f(x) = x² – 2x
- Б)f(x) = x² – 4x + 3
- В)f(x) = x² + 4x – 5
- Г)f(x) = x² – 2x + 1
- Д)f(x) = x² + 4x
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете p като използвате Свойствата на квадратна функция.
2. Намерете q като използвате даденото, че f(x) има стойност 0 при x = 1.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме p:
  - От една страна по условие е дадено, че f (x) намалява в (–∞; –2) и расте в (–2; +∞), т.е.
    (1): x_V = –2.
  - От друга страна прилагаме Свойство 2 на дадената функция f (x):
    (2): x_V = = .
  - От (1) и (2) получаваме:
    = –2 p = 4.
- Намираме q:
  - f (1) = 1² + p.1 + q = 1 + p + q = 1 + 4 + q = 5 + q.
  - По условие имаме f (1) = 0 5 + q = 0 q = – 5.
- Заместваме в дадената функция:
  f (x) = x² + 4x – 5.
- Верен отговор В).

Ако най-голямата стойност на функцията f(x) = x² – 5x – a в затворения интервал [–2; 1] е равна на 5, то стойността на параметъра a е:
- А)6
- Б)7
- В)8
- Г)9
- Д)10
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Определете х-тата координата на върха на параболата.
2. Като използвате Свойство 2 определете каква е дадената функция f(x) в затворения интервал [–2; 1].
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Дадената функция е квадратна, т.е. графиката ѝ е парабола с връх надолу, защото коефициента пред най-високата степен на неизвестното е положително число.
- Намираме х-тата координата на върха на параболата:
  x_V = = = 2,5.
- Това число е извън дадения интервал [–2; 1], т.е. функцията f(x) е само намаляваща в [–2; 1].
- Най-голямата ѝ стойност е при x = –2.
- Намираме f(–2) = (–2)² – 5(–2) – a = 14 – a.
- По условие имаме f(–2) = 5 14 – a = 5 a = 9.
- Верен отговор Г).

Сборът от най-голямата и най-малката стойност на функцията f(x) = 3 + 2x – x² в затворения интервал [–1; 0] е равен на:
- А)–1
- Б)3
- В)2
- Г)1
- Д)4
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Определете х-тата координата на върха на параболата.
2. Като използвате Свойство 2 определете каква е дадената функция f(x) в затворения интервал [–1; 0].
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Дадената функция е квадратна, т.е. графиката ѝ е парабола с връх нагоре, защото коефициента пред най-високата степен на неизвестното е отрицателно число.
- Намираме х-тата координата на върха на параболата:
  x_V = = = 2.
- Това число е от дясно на дадения интервал [–1; 0], т.е. функцията f(x) е само растяща в [–1; 0].
- Най-малката ѝ стойност е при x = –1, а най-голямата – при x = 0.
- Намираме f(–1) = 3 + 2.(–1) – (–1)² = 0; f(0) = 3 + 2.0 – 0² = 3.
- Тогава f(–1) + f(0) = 0 + 3 = 3.
- Верен отговор Б).

При x ≠ 1, x ≠ изразът е тъждествено равен на:
- А)–
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Числителя и знаменателя на дадената дроб разложете на множители и съкратете.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме числителя на множители:
  - 2x² + x – 1 = 0, D = 9 x₁ = , x₂ = –1.
  - Тогава 2x² + x – 1 = 2 (x + 1) = (2x – 1)(x + 1).
- Разлагаме знаменателя на множители:
  - –2x² + 5x – 2 = 0 | . (–1) 2x² – 5x + 2 = 0, D = 9 x₁ = , x₂ = 2.
  - Тогава –2x² + 5x – 2 = –2 (x – 2) = –(2x – 1)(x – 2).
- Заместваме в дадената дроб:
- Верен отговор Д).

Корените на уравнението са:
- А)–3
- Б)–3 и 2
- В)2 и 3
- Г)x Ø
- Д)x
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете дробното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ: x ≠ ±2.
- Привеждаме под общ знаменател и решаваме полученото квадратно уравнение:
- Верен отговор А).

Броят на реалните корени на уравнението = 0 са:
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)3
- Д)4
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Решете дробното уравнение.
2. Решете биквадратното уравнение.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ДМ: x ≠ 1.
- Решаваме биквадратното уравнение:
  - Привеждаме под общ знаменател:
    = 0 x⁴ + 3x² – 4 = 0.
  - Полагаме x² = y ≥ 0 и получаваме:
    y² + 3y – 4 = 0, D = 25, y₁ = –8 ∉ ДМ_y, y₂ = 1.
  - От полагането при y₂ = 1 x² = 1 x₁ = 1 ∉ ДМ_x, x₂ = –1.
- Верен отговор Б).

За корените x₁ и x₂ на уравнението –0,5x² + 22,5x – 2 = 0 е вярно, че:
- А)x₁ > 0 и x₂ < 0
- Б)x₁ < 0 и x₂ < 0
- В)x₁ > 0 и x₂ > 0
- Г)x₁ = –x₂
- Д)x₁ = x₂ > 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме дискриминантата, за да проверим даденото квадратно уравнение има ли реални корени:
  D = 22,5² – 4.(–0,5).(–2) = 506,25 + 4 > 0,
  т.е. уравнението има два различни корена или отговори Г) и Д) отпадат от възможните верни отговори.
- От формулите на Виет определяме знаците на корените:
  x₁.x₂ = = = 4 > 0;
  x₁ + x₂ = – = = 45 > 0.
- Верен отговор В).

Числата 1 + и 1 – са корените на уравнението:
- А)x² + 2x – = 0
- Б)x² – x – 1 = 0
- В)x² – 2x – 2 = 0
- Г)x² – 2x + 2 = 0
- Д)2x² – x + 1 = 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме произведението и сбора на дадените корени:
  x₁.x₂ = (1 + )(1 – ) = 1 – 3 = –2;
  x₁ + x₂ = 1 + + 1 – = 2.
- Прилагаме формулите на Виет за всяко уравнение в отговорите и установяваме, че в отговор В) имаме x₁.x₂ = –2 и x₁ + x₂ = 2.
- Верен отговор В).

Дадено е уравнението x² – 3x – 5 = 0 с корени x₁ и x₂. Стойността на израза x₁(x₂ – 2) + x₂(x₁ – 2) е равна на:
- А)–16
- Б)–8
- В)–2
- Г)4
- Д)16
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте израза така, че да използвате формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формулите на Виет следва, че:
  x₁.x₂ = = = –5;
  x₁ + x₂ = – = = 3.
- Преобразуваме дадения израз:
  x₁(x₂ – 2) + x₂(x₁ – 2) = x₁.x₂ – 2x₁ + x₁.x₂ – 2x₂ = 2x₁.x₂ – 2(x₁ + x₂) = 2.(–5) – 2.3 = –16.
- Верен отговор A).

Ако реалните корени на уравнението x² – 2x – 8 = 0 са x₁ и x₂, то стойността на израза е равна на:
- А)–8
- Б)8
- В)–2
- Г)–4
- Д)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте израза така, че да използвате формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формулите на Виет получаваме:
  x₁.x₂ = = –8;
  x₁ + x₂ = – = 2.
- Преобразуваме дадения израз:
- Верен отговор Г).

Ако x₁ и x₂ са корените на квадратното уравнение x² – 5x + 4 = 0, то изразът е равен на:
- А)
- Б)–
- В)
- Г)–
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формулите на Виет получаваме:
  x₁.x₂ = = 4;
  x₁ + x₂ = – = 5.
- Заместваме в дадения израз:
- Верен отговор Д).

Ако x₁ и x₂ са корените на квадратното уравнение x² – 4x + 1 = 0, то стойността на израза е равна на:
- А)2
- Б)6
- В)4
- Г)1
- Д)–1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте израза като използвате формулата (a + b)² и след това използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формулите на Виет получаваме:
  x₁.x₂ = = 1;
  x₁ + x₂ = – = 4.
- Преобразуваме дадения израз като използваме формулата (a + b)² = a² + 2ab + b²:
- Верен отговор Б).

Ако x₁ и x₂ са корени на уравнението 8x² – x – 3 = 0, то стойността на израза е:
- А)–
- Б)–
- В)–
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формулите на Виет получаваме:
  x₁.x₂ = = – ;
  x₁ + x₂ = – = .
- Заместваме в дадения израз:
  .
- Верен отговор Б).

Два от корените на уравнението ax⁴+bx²+c=0 са – и 2. Другите му корени са:
- А)– и 3
- Б)–
- В)–2
- Г)–2 и
- Д)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Вижте как се решават биквадратни уравнения.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Биквадратните уравнения се решават чрез полагането x² = y.
- При дадени два корена следва, че другите корени са техните противоположни.
- Верен отговор Г).

Най-малката цяла положителна стойност на параметъра a, за която квадратното уравнение x² – (a + 1)x + 1 = 0 има два различни реални корена, е равна на:
- А)1
- Б)2
- В)3
- Г)4
- Д)5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Формула (2).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме дискриминантата:
  D = (a + 1)² – 4 = a² + 2a + 1 – 4 = a² + 2a – 3.
- Квадратното уравнение има два различни реални корени, когато:
  D > 0 a² + 2a – 3 > 0, D^* = 4, a₁ = –3, a₂ = 1 a (–∞; –3) (1; +∞).
- Най-малката цяла положителна стойност на параметъра a e 2.
- Верен отговор Б).

Квадратното уравнение (a – 1)x² + 2x – a = 0 има реални корени за всяка стойност на реалния параметър a, принадлежаща на интервала:
- А)(– ∞; + ∞)
- Б)(– ∞; 1) (1; + ∞)
- В)(0; + ∞)
- Г)(1; + ∞)
- Д)[1; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формули (2) и (4).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме дискриминантата:
  D = 1² + a(a – 1) = a² – a + 1.
- Даденото квадратно уравнение има реални корени, ако:
  .
- Верен отговор Б).

Корените на квадратното уравнение ax² – 2ax + 1 – 2a = 0 са положителни числа за всяка стойност на реалния параметър a, принадлежаща на интервала:
- А)
- Б)(–∞; 0]
- В){0}
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (6).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме дискриминантата:
  D = a² – a(1 – 2a) = 3a² – a.
- Даденото квадратно уравнение има положителни реални корени, ако:
  .
- Верен отговор Г).

Корените на уравнението x² – 8x + 5 = 0 са дължини на страните на правоъгълник. Лицето на правоъгълника е:
- А)
- Б)2
- В)3
- Г)4
- Д)5
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Решете квадратното уравнение.
2. Намерете лицето на правоъгълника по формула (13).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Решаваме квадратното уравнение:
  D = 11, x₁ = 4 – , x₂ = 4 + .
- За страните на правоъгълника получаваме a = 4 – , b = 4 + .
- Лицето на правоъгълника намираме по формулата:
  S = a.b = (4 – )(4 + ) = 16 – 11 = 5.
- Верен отговор Д).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура