Четириъгълници

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия

Четириъгълници

Съдържание на темата:

Четириъгълник вписан в окръжност.
Четириъгълник описан около окръжност.
Лице на произволен четириъгълник.
Успоредник.
Ромб.
Правоъгълник.
Трапец.

ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНСС

Теория

I. Четириъгълник вписан в окръжност

Център на окръжността – Центърът на описаната около четириъгълник окръжност лежи на пресечната точка на симетралите му.
Теореми
- Един четириъгълник е вписан в окръжност, когато сборът на два негови срещуположни ъгъла е равен на 180°, т.е. (Фиг. I.1)
  (1): A + C = 180° и B + D = 180°.
- Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност, ако е изпълнено равенството (Фиг. I.1):
  (1.1): OA.OC = OB.OD.
- Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност (Фиг. I.2), ако е изпълнено равенството:
  (1.2): MC.MB = MD.MA.
- Нека точките С и D лежат в една и съща полуравнина относно правата АВ (Фиг. I.2) и ”виждат” отсечката АВ под един и същи ъгъл, т.е. ACB = ADB = φ. Тогава точките А, В, С и D лежат на една окръжност, т.е. четириъгълникът ABCD е вписан в тази окръжност.

II. Четириъгълник описан около окръжност

Център на окръжността – Центърът на вписаната в четириъгълник окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.
Теорема – Един четириъгълник е описан около окръжност, когато сборът на две негови срещуположни страни е равен на сбора от другите му две страни, т.е. (Фиг. I.1)
(2): a + b = c + d.

III. Лице на произволен четириъгълник

Лице чрез диагоналите d₁ и d₂ (Фиг. I.1):
(3): S = d₁.d₂ sin φ,
Лице на описан четириъгълник:
(4): S = p.r, където r – радиус на вписаната окръжност и p = .
Херонова формула за вписан четириъгълник:
(5): , където p = .
Четириъгълник едновременно вписан и описан за окръжност:
(6): S = .

IV. Успоредник

Бележки:

Произволен успоредник не може да се впише в окръжност. Ако успоредник е вписан в окръжност, то той е правоъгълник.
Произволен успоредник не може да се опише около окръжност. Ако успоредник е описан около окръжност, то той е ромб.
Успоредникът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани за четириъгълник важат и за успоредник.

Връзка между диагонали и страни – Сборът от квадратите на страните a и b на всеки успоредник е равен на полусбора от квадратите на диагоналите му d₁ и d₂ т.е.
(7): d₁² + d₂² = 2(a² + b²).
Лице на произволен успоредник:
(8): S = a.h_a = b.h_b = a.b.sin α = tg α = d₁.d₂.sin φ,

където d₁, d₂ – диагонали, α = BAD, φ – остър ъгъл между диагоналите му.

Бележка:

От всички успоредници с едни и същи страни a и b най-голямо лице има правоъгълникът (защото α = 90°).

V. Ромб

Диагонали
- За диагоналите на ромб е в сила равенството (преобразувана формула (7)):
  (9): d₁² + d₂² = 4a².
- Диагоналите на ромба са перпендикулярни и ъглополовящи на прилежащите му ъгли, затова центъра O₁ на вписаната окръжност съвпада с пресечната им точка и освен това:
  (10): h_a = h_b = 2r.
Окръжност, описана около ромб – Ако около ромб се опише окръжност, то той е квадрат (това следва от условие (1) за четириъгълник вписан в окръжност), т.е. около ромб НЕ може да се опише окръжност.
Лице на ромб:
(11): S = a.h = a² sin α = d₁.d₂ = a. 2r,
където d₁, d₂ – диагонали, α = BAD, r – радиус на вписаната окръжност.

VI. Правоъгълник

Диагонали
- За диагоналите на правоъгълникът е в сила равенството (преобразувана формула (7)):
  (12): d₁ = d₂ = .
- Пресечната точка на диагоналите на правоъгълника съвпада с центъра на описаната около правоъгълника окръжност.
Окръжност, вписана в правоъгълник – Ако в правоъгълник се впише окръжност, то той е квадрат (това следва от условие (2)), т.е. в правоъгълник НЕ може да се впише окръжност.
Лице на правоъгълник:
(13): S = a.b = d²sin α, където d е диагонал, φ – остър ъгъл между диагоналите му.
Бележка:
От всички правоъгълници с равен периметър, то най-голямо лице ще има този правоъгълник, който има равни съседни страни, т.е. квадратът.

VII. Трапец

Бележка:

Трапецът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани за четириъгълник важат и за трапец.

Средна основа (или средна отсечка)
- Oпределение - Отсечка, съединяваща средите на бедрата на трапец.
- Свойства – Нека точките M и N са среди съответно на бедрата AD и BC на трапеца ABCD (Фиг. 2), то средната основа MN притежава следните свойства:
  (14): MN || AB || CD и MN = .
- Среди на диагоналите на трапец.
  Основна задача
  
  Зад. №1:
  
  Даден е трапец ABCD (Фиг. 2) с голяма основа AB = a и малка основа CD = b. Средната основа MN пресича диагоналите АС и BD съответно в т. Р и т. Q. Да се докаже, че:
  а) точките P и Q са среди на диагоналите AC и BD.
  
  б) PQ = .
  
  а) Т. М е среда на AD и MP || CD MP – средна отсечка в ΔACD, т.е. т. Р е среда на АС. По подобен начин доказваме, че т. Q е среда на BD.
  
  б)
  
  Бележка:
  Отбележете, че средната основа на произволен трапец се дели от диагоналите му на три отсечки, две от които са равни, т.е. MP = QN (Фиг. 2).
Равнобедрен трапец – Нека за равнобедрен трапец ABCD (фиг. 2) да имаме означенията: AB = a – голяма основа, CD = b – малка основа, AD = BC – бедра, DH – височина, тогава
(15): AH = (a – b); BH = (a + b).
Формула за сбора от квадратите на диагоналите:
- Произволен трапец:
  (16): d₁² + d₂² = c² + d² + 2ab.
- Равнобедрен трапец:
  (17): d₁² + d₂² = c² + ab.
Трапец, който е описан около окръжност
T₁ Ъгълът между ъглополовящите на два прилежащи ъгъла е равен на 90°.

T₂ Центъра на вписаната в трапец окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.

T₃ Един трапец е описан около окръжност, когато сборът на две негови срещуположни страни е равен на сбора от другите му две страни, т.е. изпълнено е условие (2).

T₄ Височината h на трапец описан около окръжност с радиус r е равна на диаметъра на окръжността, т.е.:

(18): h = 2r.

T₅ При произволен трапец центърът на вписаната окръжност лежи на средната му основа.

Доказателство:

Нека т. О – център на вписаната в трапеца ABCD окръжност, а т. Е и т. F – допирните точки на тази окръжност до основите АВ и CD (Фиг. 3). Тогава т. O EF и OE = OF = r.

През т. О построяваме права PQ || AB.

В трапеца AEFD имаме: OE = OF, PO || AE PO – средна основа, т.е. т. Р – среда на AD.

По аналогичен начин от трапеца EBCF следва, че т. Q – среда на BC.

Тогава PQ – средна основа в трапеца ABCD като т. О PQ.

T₆ При равнобедрен трапец центърът на вписаната окръжност разполовява средната основа.

T₇ При равнобедрен трапец симетралите на голямата и малката основа съвпадат, като центърът на вписаната в трапеца окръжност лежи върху тях.

Доказателство:

Нека т. О – център на вписаната в равнобедрения трапец ABCD окръжност, а т. Е и т. F – допирните точки на тази окръжност до основите АВ и CD (Фиг. 4). Тогава AO и BO – ъглополовящи, т.е. ΔABO – равнобедрен.

OE = r – височина в ΔABO OE – медиана, т.е. ОЕ – симетрала на АВ.

По аналогичен начин доказваме, че ΔDCO – равнобедрен и OF – симетрала на CD.
Трапец, който е вписан в окръжност

T₁ Центъра на описаната около трапец окръжност лежи на пресечната точка на симетралите (симетралите на голямата и малка основа съвпадат).

T₂ Един трапец е вписан в окръжност, когато сборът на два негови срещуположни ъгъла е равен на 180°, т.е изпълнено е условие (1).

T₃ Ако един трапец е вписан в окръжност, то той е равнобедрен, т.е. около всеки равнобедрен трапец може да се опише окръжност.
Лице на трапец (Фиг. 2)
(19): S = MN . h = .h.
Основни построения при трапец:

Зад. №2:

В трапец едната основа е три пъти по-голяма от другата основа. Дължините на бедрата му са 2 cm и 3 cm, а ъгълът между тях е 60°. Намерете лицето на трапеца.

Зад. №3:

Даден е трапец с диагонали cm и 4 cm и ъгъл между диагоналите 45°. Намерете лицето на трапеца.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура