Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия
Намиране на елементи на триъгълник
Съдържание на темата:
ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНСС
Теория
I. Средна отсечка в триъгълник
О – Отсечка, която съединява средите на две от страните на триъгълник.
На Фиг. 1 точките M, N и P са среди съответно на страните AC, BC и AB, то MN, PM и PN са средни отсечки в ΔABC.
T1 – Права, минаваща през средата на една от страните на триъгълник и е успоредна на втора страна, то тя минава през средата на третата страна (Фиг. 1), т.е.
От т. M – среда на АС и MN || AB следва, че т. N е среда на ВС.
T2 – Всяка средна отсечка в триъгълник е успоредна на една от страните му и е равна на половината от нея (Фиг. 1), т.е.
От MN – средна отсечка следва, че MN = AB.
- ОЗ 1:
- На чертежа от Фиг.1 е даден ΔABC със страни BC = a, AC = b и AB = c. Да се намери периметъра на триъгълник с върхове средите на тези страни.
Решение:
- Точките M, N и P са среди съответно на страните AC, BC и AB, т.е. MN, PM и PN са средни отсечки в ΔABC.
- Тогава от Теорема 2 следва, че MN = AB; PM = BC и PN = AC.
- PΔMNP = MN + PM + PN = AB + BC + AC = (AB + BC + AC) = PΔABC.
II. Връзка между страни и ъгли в триъгълник
- Косинусова теорема (Фиг. 2):
(1): a2 = b2 + c2 – 2b.c.cos α;
b2 = a2 + c2 – 2a.c.cos β;
c2 = a2 + b2 – 2a.b.cos γ.
- Синусова теорема (Фиг. 2):
(2): .
- Неравенства между страни и ъгли в триъгълник – В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл и обратно, срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.
- Неравенства на триъгълника:
- В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две, т.е.:
(3): a < b + c, b < a + c, c < a + b.
- В триъгълник всяка страна е по-голяма от разликата на другите две.
(4): a > c – b, b > c – a, c > b – a.
- В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две, т.е.:
III. Допирателни до окръжност
- Определение – Права АС е допирателна до окръжност тогава и само тогава, когато е перпендикулярна на радиуса r в общата точка N на правата и окръжността (Фиг. 3), т.е.
Ако АС – допирателна до к AC r = ON.
- Теорема: Ако АС – допирателна до к AC r = ON.
- Външно допирателни – Допирателните от външна точка към окръжността са равни (Фиг. 3), т.е.
Ако АK и АN – допирателни AK = AN.
IV. Окръжност, вписана в триъгълник (или триъгълник, описан около окръжност)
- Център на вписана в триъгълник окръжност – Ъглополовящите на вътрешните ъгли в триъгълник се пресичат в една точка – центъра О на вписаната в триъгълника окръжност (Фиг. 3).
- Формула – Нека произволен ΔABC има стани AB = c, BC = a и AC = b, и вписаната в него окръжност допира тези страни съответно в точките K, P, N (Фиг. 3). Ако означим с AK = AN = x, BK = BP = y, CP = CN = z и р – полупериметъра на ΔABC, то
(5): x = p – a = .
y = p – b = .z = p – c = .
V. Окръжност, описана около триъгълник (или триъгълник, вписан в окръжност)
Център на описана около триъгълник окръжност – Симетралите на трите страни на триъгълник се пресичат в една точка – центъра О на описаната около триъгълника окръжност.
В зависимост от вида на триъгълника центърът на описаната около триъгълника окръжност (т. О) е на различно место:
- Ако ΔABC е остроъгълен, т. О е вътрешна за триъгълника (Фиг. 4).
- Ако ΔABC е правоъгълен, т. О е среда на хипотенузата АВ (Фиг. 5).
- Ако ΔABC е тъпоъгълен, т. О е външна за триъгълника (Фиг. 6).
- Права на Ойлер – За всеки произволен триъгълник, ортоцентърът Н, медицентърът М и центърът О на описаната окръжност (пресечната точка на симетралите на страните) лежат на една права, като НМ = 2МО.
- Формула на Ойлер (за намиране на разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжност на триъгълник) – Ако с d отбележим разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжност на триъгълник, с R – радиуса на описаната окръжност, а с r – радиуса на вписаната окръжност, то
(6): d = ≥ 0,като равенството се получава при равностранен триъгълник (защото тогава центровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат).
- Основна задача
- Зад. №1:
- Нека за ΔABC е дадено, че ACB = γ и т. Н е ортоцентър. Да се докаже, че радиусите на описаните окръжности около ΔAHB и ΔABC са равни.
Разглеждаме различни случаи в зависимост от вида на ΔABC според страните си.
I случай: Триъгълникът ABC е остроъгълен.
- Нека височините му са AE = ha, BF = hb, CD = hc, а т. H е ортоцентър (Фиг. I).
- Щом ΔABC е остроъгълен, то т. Н е вътре в триъгълника.
- Прилагаме кратката теорема за сбор на вътрешни ъгли на ΔAEC (AEC = 90°):
EAC + ACE = 90° EAC + γ = 90° EAC = 90° – γ. - Прилагаме кратката теорема за сбор на вътрешни ъгли на ΔAHF (AFH = 90°):
AHF + HAF = 90° AHF + 90° – γ = 90° AHF = γ.Бележка:Отбележете, че AHF = BHE и ACB са равни. - Прилагаме теорема за съседни ъгли:
AHB + AHF = 180° AHB + γ = 180° AHB = 180° – γ. - От Таблица №2 – формули за приведения следва, че:
sin AHB = sin (180° – γ) = sin γ. - Нека с R1 да отбележим радиуса на описаната около ΔAHB окръжност и прилагаме синусова теорема за ΔAHB: <
- Нека с R да отбележим радиуса на описаната около ΔABC окръжност и прилагаме синусова теорема за ΔABC:
- Така доказахме, че R1 = R.
II случай: Триъгълникът ABC е правоъгълен.
- При правоъгълен триъгълник катетите изпълняват ролята на височини, т.е. AC = ha, BC = hb.
- Построяваме височината към хипотенузата, т.е. CD = hc, тогава ортоцентърът (т. H) съвпада с т. С (Фиг. II).
- Очевидно е, че ΔAHB и ΔABC съвпадат.
III случай: Триъгълникът ABC е тъпоъгълен.
- Нека височините му са AE = ha, BF = hb, CD = hc, а т. H е ортоцентър (Фиг. III).
- Щом ΔABC е тъпоъгълен, то т. Н е извън в триъгълника.
- Прилагаме теорема за връхни ъгли:
ECF = ACB = γ. - Прилагаме теорема за сбор на ъгли за четириъгълника CEHF:
ECF + CFH + FHE + HEC = 360° γ + 90° + FHE + 90° = 360° FHE = 180° – γ. - От Таблица №2 – формули за приведения следва, че:
sin AHB = sin (180° – γ) = sin γ. - Нека с R1 да отбележим радиуса на описаната около ΔAHB окръжност и прилагаме синусова теорема за ΔAHB:<
- Нека с R да отбележим радиуса на описаната около ΔABC окръжност и прилагаме синусова теорема за ΔABC:
- Така доказахме, че R1 = R.
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година: