а) Разгледайте отсечките свързващи средите на четириъгълника като средни отсечки в подходящи триъгълници.

б) Използвайте свойствата на средна отсечка в триъгълник и формула (7) за успоредник.

в) Разгледайте два случая: 1 случай: При AC BD докажете, че MP = QN. 2 случай: При MP = QN докажете, че AC BD.

г) Използвайте подточка а) и формула (8).

а)

• Нека точките M, N, P и Q са средите на страните AB, BC, CD и AD на четириъгълника ABCD.
• PQ е средна отсечка в ΔACD, т.е. PQ || AC и PQ = AC.
• Аналогично от ΔABC получаваме MN || AC и MN = AC.
• Това означава, че PQ || MN и PQ = MN, т.е. MNPQ – успоредник.

б)

• В подточка а) доказахме, че MNPQ е успоредник, в който МР и QN се явяват диагонали. Това са ѝ отсечките съединяващи средите на срещуположните му страни.
• MN е средна отсечка в ΔABC, т.е. MN = AC.
• Аналогично от ΔDBC получаваме PN = BD.
• Използваме формула (7):
  MP² + QN² = 2(MN² + PN²) = 2[(AC)² + (BD)²] = (AC² + BD²) AC² + BD² = 2(MP² + QN²).

в)

• В подточка а) доказахме, че MNPQ е успоредник.
• Нека диагоналите AC и BD на ABCD са взаимно перпендикулярни, т.е. φ = 90° и трябва да докажем, че MP = QN.
  • φ = 90°, EN || BD и FN || AC OEN = OFN = φ = 90°.
  • От теорема-признак 2 следва, че OFNE – правоъгълник, т.е. α = 90°.
  • Аналогично доказваме, че NPQ = NMQ = 90°, т.е. MNPQ – правоъгълник.
  • Следователно диагоналите му MP и QN са равни.
• Нека MP = QN и трябва да докажем, че AC BD.
  • ABCD – успоредник и MP и QN са негови диагонали.
  • От теорема-признак 1 следва, че MNPQ – правоъгълник.
  • По аналогични разсъждения както по-горе, стигаме до извода, че φ = 90°.

г)

• В подточка а) доказахме, че MNPQ е успоредник и MN = AC.
• По аналогичен начин доказваме, че PN = BD.
• MNPQ – успоредник COF = MNP = α.
• Използваме теорема за съседни ъгли:
  α + φ = 180° α = 180° – φ.
• Използваме формула (8) за успоредника MNPQ и таблица 2 за тригонометричната функция:
  S_MNPQ = MN.PN.sin α = AC.BD.sin (180° – φ) = . .BD.AC.sin φ = S_ABCD S_ABCD = 2 S_MNPQ.