Правоъгълен триъгълник

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия

Правоъгълен триъгълник

Съдържание на темата:

Катет лежащ срещу ъгъл 30°.
Медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник.
Питагорова теорема.
Определяне вида на триъгълник.
Височина и проекции на катетите върху хипотенузата.
Окръжност описана около правоъгълен триъгълник.
Допирателни до окръжност.
Окръжност вписана в правоъгълен триъгълник.
Тригонометрични функции.
Лице на правоъгълен триъгълник.
Основни задачи.

ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНСС

Теория

Бележка:

Навсякъде в долните формули се използват следните означения: AB = c, AC = b, BC = a, A = α, B = β, C = γ, m_a, m_b, m_c – медиани към съответните страни; l_, l_b, l_c – ъглополовящи към съответните страни; h_a, h_b, h_c – височини към съответните страни; r – радиус на вписаната окръжност; R – радиус на описаната окръжност; Р – периметър, S – лице.

I. Катет лежащ срещу ъгъл 30°

T – Ако А = 30° (Фиг. 1), то

(1): a = c.

II. Медиана към хипотенузата

T – Ако m_c = СO е медиана към хипотенузата c = AB (Фиг.2), то

(2): m_c = CO = AB.

III. Питагорова теорема

T (Фиг. 1)

(3): a² + b² = c².

IV. Определяне вида на:

правоъгълен триъгълник – Ако a² + b² = c² γ = 90°.
тъпоъгълен триъгълник – Ако a² + b² < c² γ > 90°.
остроъгълен триъгълник – Ако a² + b² > c² γ < 90°.

V. Височина и проекции на катетите върху хипотенузата

T – Ако СС₁ = h_c е височина, а AC₁ = b₁ и BC₁ = a₁ са проекциите съответно на катетите b и a върху хипотенузата c (Фиг. 1), то

(4): a² = c.a₁.

(5): b² = c.b₁.

(6): h_c² = a₁.b₁.

(7): h_c.c = a.b.

VI. Окръжност, която е описана около правоъгълен триъгълник

T – В ΔABC (Фиг.2) хипотенузата АВ е диаметър на описаната окръжност, т.е.

(8): c = AB = 2R.

VII. Допирателни до окръжност

Права АС е допирателна до окръжност тогава и само тогава, когато е перпендикулярна на радиуса r в общата точка на правата и окръжността (Фиг.3), т.е. Ако АС – допирателна до к AC r, където r = OM.
Допирателните от външна точка към окръжността са равни (Фиг.3), т.е. Ако АM и АP – допирателни AM = AP.

VIII. Окръжност, която е вписана в правоъгълен триъгълник

Ако точките M и N са допирните точки на окръжността до правоъгълния ΔABC (Фиг.3), т. О – център на вписаната окръжност, а т. С – връх с прав ъгъл, то ONCM – квадрат, т.е. OM = ON = CM = CN = r.
За r имаме изпълнено (Фиг.3)
(9): r = p – c = .

IX. Тригонометрични функции

T (Фиг. 1)

(10): sin α = .

(11): cos α = .

(12): tg α = .

(13): cotg α = .

X. Лице на правоъгълен триъгълник

T (Фиг. 1).

(14): S = .

XI. Основни задачи

Зад. №1:: Да се докаже, че при правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при върха С и A < B, то
45° < B < 90°.

Нека BAC = α, ABC = β, ACB = γ = 90° (Фиг. 1).
От Теорема за сбор на ъгли в ΔABC α + β = 90°
(A): α = 90° – β.
По условие α < β и от (А) 90° – β < β β > 45°.
Но C = 90° β < 90°, т.е. 45° < β < 90°.

Зад. №2:: В неравнобедрен правоъгълен триъгълник дължините хипотенузата и ъглополовящата на правия ъгъл са съответно равни на c и l. Да се докаже неравенството 2l < c.

Нека в правоъгълния ΔABC с хипотенуза AB = c да построим CH = h – височина, CL = l – ъглополовяща и CM = m – медиана към хипотенузата.
От Основна зад. 6 следва, че ъглополовящата CL е разположена между медианата СМ и височината СН, както е показано на чертежа.
Нека BAC = α, а за катетите имаме изпълнено BC < AC α < ABC, т.е. α < 45°.
CM – медиана в правоъгълния ΔABC (C = 90°) BAC = ACM = α и CM = c.
BMC – външен за ΔAМC BMC = 2α, но α < 45° BMC е остър.
От ΔHLC (H = 90°) следва, че HLC е остър, т.е. MLC е тъп (като съседен на остър ъгъл).
И така доказахме, че в ΔMLC MLC – тъп, LMC – остър. Тогава от неравенства между страни и ъгли в ΔMLC следва, че CL < CM = c 2l < c.

Бележка:

Нека да отбележим, че при равнобедрен правоъгълен триъгълник ще имаме равенството 2l = c, защото при равнобедрен триъгълник h = l = m.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура