Показателни уравнения. Показателни неравенства

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Показателни уравнения и неравенства

ТеорияТест за ТУ и МатураТест за УНСС

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

Изследване на показателна функция

Зад. №1:

Да се намери най-голямата стойност на функцията y = .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте Свойство 3 на Показателната функция.

Показателни уравнения с равни основи (уравнения от вида (12)).

Зад. №2:

Да се реши уравнението .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

За да изравните основите от двете страни на равенството, използвайте формула (6).

Уравнение от вида (11).

Зад. №3:

Да се реши уравнението 3^{4x + 2} = 7.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Логаритмувайте двете страни на уравнението при подходяща основа.

Логаритмуваме двете страни на даденото уравнение при основа 3, т.е.
log₃3^{4x – 2} = log₃7 (4x–2)log₃3 = log₃7 4x – 2 = log₃7 x = (2 + log₃7).

Уравнения от вида:
Aa^x = Bb^x
Това уравнение се решава като разделим двете му страни с a^x или b^x.

Зад. №4:

Да се реши уравнението 2^2x + 2^2x–1 = 3^x+0,5 + 3^x–0,5.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Преобразувайте даденото уравнение до показателно уравнение с основа .

Използвамее подходящи формули, за да преобразуваме уравнението до уравнение с равни основи

Уравнения от вида:
Aa^2x + Ba^x + C = 0
Това уравнение е квадратно спрямо a^x. Полагаме a^x = y, където y > 0, и решаваме полученото квадратно уравнение спрямо y. След това разглеждаме само положителните корени на y.

Зад. №5:

Да се реши уравнението .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Направете полагането = y.

Хомогенни уравнения, т.е. уравнения от вида:
Aa^2x + Ba^xb^x + Cb^2x = 0.
Това уравнение се решава като разделим двете му страни на a^2x или b^2x.

Зад. №6:

Да се реши уравнението .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Преобразувайте даденото уравнение така, че да го разделете на .

Уравнение при което в основата и в степенния показател имаме неизвестно, т.е. от вида: f (x) ^g(x) = f (x) ^{q (x)}, където f (x), g (x) и q (x) са функции на x.
Такива уранения се решават като се разгледат четири случая:
1. Когато f(x) = – 1, т.е. заместваме основата с – 1, и решаваме полученото уравнение. Ако се получи вярно равенство, то получената стойност за x е решение на даденото уравнение;
2. Когато f(x) = 0, повтаряме по-горе описаната процедура;
3. Когато f(x) = 1, повтаряме по-горе описаната процедура;
4. Сега вече сме сигурни, че f(x) е различно от горните стойности, затова решаваме даденото показателно уравнение.
Обединяваме решенията получени от (1), (2), (3) и (4).

Зад. №7:

Да се реши уравнението = (x + 2)^x+1.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Разгледайте описаните по-горе случаи.
- Разглеждаме случаите:
  
  x + 2 = – 1 x = – 3. Заместваме в условието и получаваме: = (–1)^–3+1 (–1)⁹ ≠ (–1)^–2, т.е. x = – 3 не е решение.
  
  x + 2 = 0 x = – 2. Заместваме в условието и получаваме: = 0^–2+1 0⁴ ≠ 0^–1, т.е. x = – 2 не е решение.
  
  x + 2 = 1 x = – 1. Заместваме в условието и получаваме: = 1^–1+1 1 = 1⁰, т.е. x = –1 е решение.
  
  Във всички други случаи даденото уравнение е от вида (12), затова можем да запишем:
  x² = x + 1 x² – x – 1 = 0 x_1/2 = .
- От (1), (2), (3) и (4) x₁ = – 1 и x_2/3 = са всички решения.

Намерете стойностите на параметъра a, за които уравнението 9^x–1 – 4.3^x–1 – 1 + 2a = 0 има точно едно решение.

Зад. №8:

Намерете стойностите на параметъра a, за които уравнението 9^x–1 – 4.3^x–1 – 1 + 2a = 0 има точно едно решение.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Преобразувайте даденото показателно уравнение до квадратно и разгледайте случаите:
- Квадратното уравнение да има един корен;
- Квадратното уравнение да има два корена, но единия да е отрицателен
Преобразуваме даденото уравнение по следния начин: 3^2x – 12.3^x – 18a – 9. Полагаме
3^x = y, където ДМ_y: y > 0 и уравнението добива вида

(1): y² – 12y + 18a – 9 = 0

I начин:
- Решаваме уравнение (1) и от решенията определяме търсените стойности на параметъра. Затова разглеждаме случаите:
  A) D = 0 D = 36 - 18a + 9 = 45 - 18a = 0 a = . Тогава коренът на горното уравнение е y = 6 ДМ_y, т.е. при a = даденото уравнение има едни корен.
  B) При D > 0 корените са два:
  
  y₁ = 6 – . За да принадлежи на ДМ_y той трябва да е положителен, т.е.
  6 – > 0 < 6 .
  
  y₂ = 6 + . За да принадлежи на ДМ_y той трябва да е положителен, т.е.
  6 + > 0 > –6 a .
- От А) и В) следва, че:
  При a уравнението има един корен y₂.
  При a уравнението има два корена y₁ и y₂.
  При a = уравнението има един двоен корен y₁ = y₂.
  При a уравнението няма решение.
- От тук получаваме, че при a даденото уравнение има един корен.
II начин:

Не решаваме уравнение (1), а използваме формулите на Виет. Като отчетем полагането (ДМ_y: y > 0) и изискването даденото показателно уравнение да има едно решение, то следва, че уравнение (1) трябва да има само един положителен корен (а другият корен или не съществува или е отрицателен или нула).

Нека общия вид на квадратното уравнение е

(2): Ay² + By + C = 0
Затова разглеждаме случаите:
1. Уравнение (2) ще има един корен от вида y = – > 0, ако А = 0.
  За уравнение (1) тази стъпка не се изпълнява, защото А не зависи от параметъра.
2. При А ≠ 0 уравнение (2) има един положителен корен, ако
  
  Затова в нашия случай получаваме: a = .
3. При А ≠ 0 уравнение (2) един положителен корен, а другият е отрицателен или нула, ако y₁.y₂ ≤ 0.
  За нашия случай използвайки формулите на Виет можем да запишем 2a – 1 ≤ 0 a ≤ .
От (1), (2) и (3) следва, че при a даденото уравнение има един корен.

III начин:

Този начин е свързан с разпределение на корените на уравнение (1) върху числовата ос. От ДМ_y следва, че числото 0 се намира между корените на (1). Затова в него полагаме f (x) = y² – 12y + 18a – 9 и разглеждаме два случая:
1. Уравнение (1) ще има един положителен корен – За целта решаваме система (II.2) и получаваме a = .
2. Уравнение (1) има два корена, от които само единият е положителен, т.е единият корен да принадлежи на интервала (0;+∞), а другият да е извън него. Това е възможно, ако за уравнение (2) е изпълнено A.f(α) ≤ 0 (имаме и равно защото един от корените може и да е 0), т.е: 1.f(0) ≤ 0 18a – 9 ≤ 0 .
От (1) и (2) следва, че при a даденото уравнение има един корен.

Показателни неравенства.

Зад. №9:

Решете неравенството .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Решете неравенството с полагане.

Неравенство при което в основата и в степенния показател имаме неизвестно, т.е. от вида:
f(x)^g(x) = f(x)^q(x), където f(x), g(x) и q(x) са функции на x.

Зад. №10:

Решете неравенството > 1.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Разгледайте случайте:
1. Когато основата е между нула и единица.
2. Когато основата е по-голяма от единица.
- Неравенството се представя във вида > (x – 3)⁰.
- В зависимост от основата разглеждаме два случая:

Показателни неравенства от вида:
Aa^2x + Ba^x + C > 0
Това неравенство е квадратно спрямо a^x. Полагаме a^x = y, където y > 0, и решаваме полученото квадратно неравенство спрямо y. След това разглеждаме само положителните корени на y.

Зад. №11:

Решете неравенството 2.3^{2x + 4} ≤ 5 – 3.3^{x + 2}.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Преобразувайте даденото неравенство до неравенство от вида Aa^2x + Bb^x + C ≤ 0 и го решете чрез полагане.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура