Лого за уроци по математика
самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
7 клас

Цели изрази

Съдържание на темата:

  1. Променливи и постоянни величини. Параметри. Рационален израз.
  2. Едночлени.
  3. Многочлени.
  4. Действия с многочлени.

Теория

I. Променливи и постоянни величини. Параметри. Рационален израз

  • Определение – Буква, която приема различни стойности.
  • Начин за отбелязване – Обикновено променливите величини се отбелязват с последните букви от латинската азбука. Например: х, y, z.
  • Константи
    • Определение – Величина означена с буква или число, която не променя стойността си.
    • Начин за отбелязване – Константи са и всички числа, записани с цифри. Има константи, които се използват много често и затова за тях се приемат постоянни означения. Такава е константата π.
  • Параметри
    • Определение – Величина, означена с буква, която в една задача, при дадено условие е с една постоянна стойност, а при друго условие приема друга постоянна стойност.
    • Начин за отбелязване – Прието е всички постоянни величини (константи и параметри) да се отбелязват с първите букви от латинската азбука. Например: a, b, c, … .
рационални изрази
  • Определение – Числа записани с букви или цифри, свързани с действията събиране, изваждане, умножение и делене.
  • Цял рационален израз или само израз – Рационален израз, в който няма делене с променлива (Фиг. 1).
  • Дробен рационален израз или само дробен израз – Ако в рационален израз има деление с променлива (Фиг. 2).
  • Числена стойност на израз – Когато буквите се заместят с дадени рационални числа.

    Например: A = 2x2 – a. За x = – 1, a = – 3, числената стойност на израза А е A = 2.(– 1)2 – (– 3) = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5.

  • Допустими стойности (ДС) – Стойностите, които могат да приемат означените с букви величини.

    Например: ДС на израза от Фиг. 1 е всяко х и всяко a ≠ ±1, а от Фиг. 2 е всяко х ≠ 0 и всяко a.

II. Едночлени

О – Цял рационален израз, който е произведение от числа, записани с букви и цифри.
Едночленът е представен така, че:
  • има само едно число, което е пред буквите;
  • произведението от еднаквите букви е записано като степен.

Например: Дадени са едночлените A = 2xy2 и B = − 5x.y2.32.y3.4x3.
Едночленът А е в нормален вид, защото има само едно число и всяка буква се среща само веднъж.
Едночленът В не е в нормален вид, защото не е извършено действието между числата, а еднаквите букви се срещат на повече от едно место.
Правило за привеждане на едночлен в нормален вид:
  1. Намираме произведението от всички числа и го записваме на първо место.
  2. Умножаваме всички степени с равни основи, като използваме формули (1) и (3)

Например: Привеждаме едночлена В в нормален вид:
B = − 5x.y2.32.y3.4x3 = − 5 . 9 . 4 . x1 + 3 . y2 + 3 = − 180x4y5.
Коефициент на едночлен

О – Числовият множител (може да съдържа числа и параметри) на всеки едночлен записан в нормален вид (Фиг. 3).

Коефициент на едночлен

О – Сборът от степените показатели на променливите, участващи в нормалния вид на едночлена (Фиг. 3).

О – Едночлени, които имат един и същ нормален вид,или се различават само по коефициентите си.

Например: – 2xy и 3xy.
Бележки:
  1. Равни едночлени – Едночлените 4ax и 4ax са равни, защото са подобни и имат равни коефициенти.
  2. Противоположни едночлени – Едночлените (– 3by2) и 3by2 са противоположни, защото са подобни и коефициентите им са противоположни числа.
Правило за събиране и изваждане на подобни едночлени:
  1. Събираме или изваждаме коефициентите на едночлените.
  2. Записваме променливите без промяна.

Например: Ако имаме подобните едночлени – 2xy и – 3xy и трябва да ги съберем, то:
– 2xy – 3xy = – 5xy.
Бележка:
Действието събиране или изваждане на подобни едночлени се нарича ПРИВЕДЕНИЕ.
Правило за приведене на подобни едночлени:
Даден е числов израз, който е сбор от подобни едночлени.
  1. Привеждаме всички едночлени в нормален вид, ако има такива.
  2. Ако има противоположни едночлени, ги съкращаваме (защото сборът им е нула).
  3. За удобство събираме всички едночлени с еднакви знаци на коефициентите им.
  4. Изваждаме едночлените с различни знаци на коефициентите им, ако има такива.
Зад. №1:
Направете приведение:

а) A = 7x3 – 3x3 + 2x3 – x3;

б) B = x2y – 3x2y – x2y + 2x2y;

в) C = 12x + 2x – 4x – 2x – 8x;

г) D = – 2x2 – (– 0,7x2) + 0,3x2.

Решение:

а) Изпълняваме описаното по-горе правило:

  • Изразът А съдържа едночлени в нормален вид и няма противоположни между тях, затова пропускаме първите две стъпки.
  • Събираме едночлените с еднакви знаци:
    A = 7x3 – 3x3 + 2x3 – x3 = 9x3 – 4x3.
  • Изваждаме едночлените с различни знаци:
    A = 9x3 – 4x3 = 5x3.
  • Отговор – A = 5x3.

б) За израза В пропускаме стъпка (1), защото участващите едночлени са в нормален вид:

  • Изпълняваме стъпка (2) за противоположните едночлени x2y и – x2y:
    B = x2y – 3x2y – x2y + 2x2y = – 3x2y + 2x2y.
  • Изпълняваме стъпка (4):
    B = – 3x2y + 2x2y = – x2y.
  • Отговор – B = – x2y.

в)

  • За израза С отново пропускаме стъпка (1) и последователно изпълняваме останалите стъпки:
    C = 12x + 2x – 4x – 2x – 8x = 12x – 4x – 8x = 12x – 12x = 0.
  • Отговор – C = 0.

г)

  • Изразът D не е в нормален вид и последователно изпълняваме всичките стъпки:
    D = – 2x2 – (– 0,7x2) + 0,3x2 = – 2x2 + 0,7x2 + 0,3x2 = – 2x2 + x2 = – x2.
  • Отговор – D = – x2.
Правило:
Записваме едночлените един след друг и получения едночлен привеждаме в нормален вид.

Например: – 2x2 y3 . (– 3xy) = + 2.3.x2.x.y3.y = 6x3y4.
Правило:
Степенуваме едночлен, като степенуваме (използваме формули (2) и (3)) всеки негов множител.

Например: (– 2x2 y3)4 = (– 2)4.(x2)4.(y3)4 = 16x8y12.
Правило:
  1. Делим коефициентите им и полученото число го записваме на първо место.
  2. Делим буквената част, както се делят степени с равни основи, като използваме формули (4) и (5).

Например: (– 2x2 y3)4 = (– 2)4.(x2)4.(y3)4 = 16x8y12.
Бележки:
  1. Действията събиране и изваждане прилагаме само върху подобни едночлени, а при останалите действия едночлените може ѝ да не са подобни.
  2. Деленето е възможно, само когато делителят не приема стойност нула.

III. Многочлени

О – Алгебричен сбор на едночлени се нарича многочлен или полином.
Многочленът е представен така, че:

Например: Дадени са многочлените A = 5x3 – 2x + 4 и B = −5y3 + y2 + 6y3 – 1.

Многочленът А е в нормален вид, защото всички членове са в нормален вид и няма подобни едночлени.

Многочленът В не е в нормален вид, защото два от членовете му (−5y3 и 6y3) са подобни едночлени.

Бележка:
Прието е многочлен, който има само една променлива и е в нормален вид, да се подрежда по намаляващи степени на променливата.
О – Коефициентите на членовете на многочлена в нормален вид.

Например: Многочленът C = 5x3 – 2x + 4 е в нормален вид и е сбор от едночлените 5x3 , – 2x, 4 и затова има коефициенти 5, – 2, 4.
О – Най-високата от степените на едночлените в нормалния вид на многочлена.

Например: Многочленът D = 2x3y2 – 2x + 4 е в нормален вид и е от пета степен, защото 2x3y2 е членът с най-висока степен (3 + 2 = 5).

IV. Действия с многочлени

Определение – Алгебричен сбор на едночлени се нарича многочлен или полином.
Правило:
Многочлени се събират или изваждат по правилото за събиране и изваждане на едночлени. Ако има скоби, ги разкриваме и извършваме приведение на подобните едночлени.
Зад. №2:
Извършете действията:

а) A = 7x3 – 3x + 2x3 + 5x;

б) B = x2y – 3x2y – (x2y – 2x).

Решение:

а) Извършваме действието с подобните едночлени:

A = 7x3 – 3x + 2x3 + 5x = 7x3 + 2x.

б)

Зад. №3:
Пресметнете числената стойност на израза:

A = 3x3 – y4 + 5x2y − (x3 − 2x2y) − (2x3 − 5x2y – y04),

ако x = − и y = − .

Решение:

  • Разкриваме скобите:
    A = 3x3 – y4 + 5x2y − (x3 − 2x2y) − (2x3 − 5x2y – y.4) = 3x3 – y4 + 5x2y − x3 + 2x2y − 2x3 + 5x2y + y4.
  • Съкращаваме противоположните едночлени и извършваме действията с подобните едночлени:
    A = 3x3 – y4 + 5x2y − x3 + 2x2y − 2x3 + 5x2y + y4 = 3x3 – 3x3 + 10x2y = 10x2y.
  • Намираме числената стойност:
    A = 10..
Правило:
  1. Умножаваме едночлена с всеки член на многочлена.
  2. Полученият сбор се привежда в нормален вид.

Например: Ако с а отбележим едночлена, а с b + c елементите на многочлена, то на Фиг. 4 е показано правилото за умножение на едночлен с многочлен.
Зад. №4:
Извършете действията:

а) − 3xy . (x3 + 3y2);

б) (x2y – 3xy) . (– 2x).

Решение:

а) Извършваме действието с подобните едночлени:

A = 7x3 – 3x + 2x3 + 5x = 7x3 + 2x.

б)

Правило:
  1. Всеки член на единия многочлен умножаваме с всеки член на другия многочлен.
  2. Полученият сбор се привежда в нормален вид.

Например: Ако с а + b отбележим елементите на единия многочлен, а с c + d елементите на другия многочлен, то на Фиг. 5 е показано правилото за умножение на многочлен с многочлен.
Зад. №5:
Извършете действията:

а) (2x + y) . (x + 3y);

б) (x + 2) . (x2 – 2x + 4).

Решение:

а) Прилагаме правилото за умножение на многочлен с многочлен:
(2x + y) . (x + 3y) = 2x . x + 2x . 3y + y . x + y . 3y = 2x2 + 6xy + xy + 3y2 = 2x2 + 7xy + 3y2.

б) Прилагаме правилото за умножение на многочлен с многочлен:
(x + 2) . (x2 – 2x + 4) = x . x2 – x . 2x + x . 4 + 2 . x2 – 2 . 2x + 2 . 4 = x3 + 8.

Върни се нагоре Начало Следващ

Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА

Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА

Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

Реклама

© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама