Лого за уроци по математика
самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
7 клас


Материал от 5 клас и 6 клас - Геометрични тела


Теория

I. Права призма. Правилна призма

О – Тяло (Фиг. 15), на което две от стените му са успоредни многоъгълника, а останалите стени са правоъгълници.

  • Основи – Двата успоредни многоъгълника. На Фиг. 15 – А) двете основи са ΔABC, ΔA1B1C1. Основите на правите призми могат да бъдат триъгълници (Фиг. 15 – А), четириъгълници (Фиг. 15 – Б), петоъгълници и т.н.
  • Околни стени – Останалите стени на призмата. При правата призма всички околни стени са правоъгълници.
  • Основни ръбове – Страните на двете основи. На Фиг. 15 – А) основните ръбове са: AB, BC, AC, A1B1, B1C1 и A1C1.
  • Околни ръбове – На Фиг. 15 – А) околните ръбове са: AA1, BB1 и CC1.
  • Върхове – На Фиг. 15 – А) това са точките A, B, C, A1, B1 и C1.
  • Образуваща – При правата призма всеки околен ръб е образуваща. На Фиг. 15 – А) образуващата е един от околните ръбове AA1 = BB1 = CC1 = l.
  • Височина – При правата призма височината h съвпада с образуващата l, т.е. h = l.

О – Права призма, на която основите са правилни многоъгълници

Примери:
  • Правоъгълният паралелепипед е права четириъгълна призма (Фиг. 15 – Б).
  • Кубът е правилна четириъгълна призма.
Бележка:
Освен права призма има и наклонена призма. Ние ще разглеждаме САМО права призма и затова в бъдеще, ако споменем призма, ще разбираме права призма.
  • на права призма – Сборът от лицата на околните стени, които са правоъгълници.
  • на правилна призма – Ако Р = n . b е периметърът на основата, n – броят на страните на основата, b – основен ръб, h – височина (образуващата) на призмата, то:

    (10): S = P.h или S = n.b.h.

  • на права призма – Сборът от лицата на всички стени на призмата (основи и околни).
  • на правилна призма – Ако с B отбележим лицето на основата, то:

    (11): S1 = S + 2B.

Обемът V на права призма е равен на произведението от лицето на основата B и дължината на височината h на призмата, т.е.:

(12): V = B.h.

Бележки:
  1. Ако имаме правоъгълен паралелепипед, който е права четириъгълна призма, то лицето на основата е B = a.b, защото имаме правоъгълник със страни a и b, а височината му е h = c, тогава за обема получаваме познатата формула:

    V = a.b.c.

  2. Ако имаме куб (правилна четириъгълна призма с основа квадрат), то лицето на основата (квадрат със страна a) е B = a.a, а височината му е h = a, тогава за обема получаваме познатата формула:

    V = a.a.a.

призма

II. Пирамида. Правилна пирамида

Бележка:
Ние ще разглеждаме САМО правилна пирамида.

Определение за пирамида – Тяло (Фиг. 16), образувано от многоъгълник и триъгълници с общ връх, нележащ в равнината на многоъгълника.

Определение за правилна пирамида – Пирамида с основа правилен многоъгълник и равни околни ръбове.

  • Основа – Правилният многоъгълник на пирамидата. На Фиг. 16 – А) основата е ΔABC. Основата на правилната пирамида може да бъде равностранен триъгълник (Фиг. 16 – А), квадрат (Фиг. 16 – Б), правилен петоъгълник и т.н.
  • Околни стени – Равнобедрените триъгълници с общ връх. На Фиг. 16 – А околните стени са равнобедрените ΔABM, ΔBCM и ΔACM.
  • Основни ръбове – Страните на основата. На Фиг. 16 – А) основните ръбове са: AB = BC = AC = b.
  • Околни ръбове – На Фиг. 15 – А) околните ръбове са: AA1, BB1 и CC1.
  • Център на основата О – центърът на правилния многоъгълник.
  • Върхове – Върховете на основата и общият връх на всички околни стени. На Фиг. 16 – А) това са точките A, B, C и M.
  • Апотема k на правилната пирамида – Височина на околна стена (понеже околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници, то височините им също са равни, т.е. няма значение коя височина на коя околна стена ще изберем за апотема на пирамидата). На Фиг. 16 – А) апотемата е MK = k.
  • Апотема a на основата – Височината на правилния многоъгълник. На Фиг. 16 – А) апотемата на основата е CK = a
  • Височина h на пирамидата – Отсечката свързваща върха М с центъра на основата О. На Фиг. 16 – А) височината на пирамидата е отсечката MO = h.

Ако Р = n . b е периметърът на основата, n – броят на страните на основата, b – основен ръб, k – апотема на пирамидата, SΔABM – лице на една околна стена, то:

(13): S = n.SΔABM или

Ако с B отбележим лицето на основата, то:

(14): S1 = S + B.

Ако с B отбележим лицето на основата, а с h височината на пирамидата, то:

(15): .

пирамида

III. Прав кръгов цилиндър

Бележка:
Ние ще разглеждаме само прав кръгов цилиндър и затова ще го наричаме просто цилиндър.

О – Тяло (Фиг. 17 – Г), повърхнината на което е съставена от два еднакви кръга и цилиндрична повърхни.

Прав кръгов цилиндър може да се получи при пълно завъртане на правоъгълник ABCD (Фиг. 17) около една от страните му, например около BC.

  • Основи – Двата еднакви кръга. На Фиг. 17 – Г) основите са кръговете с центрове B и C и радиус AB = DC = r.
  • Образуваща l – Отсечката AD (Фиг. 17) описваща цилиндрична повърхнина, се нарича образуваща l на правия кръгов цилиндър.
  • Радиус r – Отсечките AB и CD (Фиг. 17) описващи двата еднакви кръга и са радиусите на двете основи (AB = CD = r), се нарича радиус r на цилиндъра.
  • Ос на въртене – Отсечката BC (Фиг. 17) от въртящия се правоъгълник ABCD, която остава неподвижна.
  • Осно сечение – Правоъгълникът AA3D3D (Фиг. 17 – Г) се нарича осно сечение.
  • Височина h – Отсечката съединяваща центровете на двете основи и е перпендикулярна на двата радиуса AB и CD. На Фиг. 17 – Г) височината е h = BC = AD = A3D3 = l.
  • Бележка:
    В прав кръгов цилиндър височината h съвпада с образуващата l, защото те са успоредни страни на въртящия се правоъгълник ABCD.

Ако Р = 2πr е периметърът (обиколката) на основата, r – радиусът на цилиндъра, h – височината на цилиндъра, то:

(16): S = P.h или S = 2πrh.

Ако с B = πr2 отбележим лицето на основата, където r – радиус на цилиндъра, то:

(17): S1 = S + 2B или S1 = 2πr(h + r).

Ако с B = πr2 отбележим лицето на основата, където r – радиус на цилиндъра и h височината на цилиндъра, то:

(18): V = B.h или V = πr2h.

цилиндър

IV. Прав кръгов конус

Бележка:
Ние ще разглеждаме само прав кръгов конус и затова ще го наричаме просто конус.

О – Тяло (Фиг. 18 – Г), заградено от конична повърхнина и кръг.

Прав кръгов конус може да се получи при пълно завъртане на правоъгълен ΔABC (Фиг. 18) около един от катетите му, например около BC.

  • Основа – Кръг (Фиг. 18 – Г) с център C и радиус CA = CA1 = CA2 = CA3 = r.
  • Образуваща l – Хипотенузата AB (Фиг. 18) на ΔABC (C = 90°) описваща коничната повърхност, се нарича образуваща l на конуса.
  • Радиус r – Катетът AC (Фиг. 18) описващ кръга на основата, се нарича радиус r на конуса.
  • Ос на въртене – Катетът BC (Фиг. 18) от въртящия се ΔABC, който остава неподвижен.
  • Осно сечение – Равнобедреният ΔAA3B (Фиг. 18 – Г), се нарича осно сечение.
  • Височина h – Разстоянието от върха M на конуса до центъра на основата. Това разстояние е равно на катета, около който се върти правоъгълният триъгълник. На Фиг. 18 – Г) височината е h = BC.
  • Бележка:
    В прав кръгов конус височината h съвпада с оста на въртене.

Нека да имаме означенията: r – радиус на конуса, l – образуваща, то лицето S на околната повърхнина е:

(19): S = πrl.

Ако с B = πr2 отбележим лицето на основата, където r – радиус на конуса, то:

(20): S1 = S + B или S1 = πr(l + r).

Ако с B = πr2 отбележим лицето на основата, където r – радиус на конуса и h височината на конуса, то:

(21):

конус

V. Сфера. Кълбо

Определение – Повърхнината, която се състои от всички точки в пространството на разстояние r от дадена точка О.

Сфера може да се получи при пълно завъртане на окръжност с център O и радиус r около диаметъра си (Фиг. 19).

  • Център О на сферата.
  • Радиус r – Отсечката свързваща центъра с произволна точка от сферичната повърхност. На Фиг. 19 радиусът е AO = BO = r.
  • Диаметър d – На Фиг. 19 диаметърът е d = 2r = AB.
  • Голяма окръжност – Окръжност с център O и диаметър 2r. На Фиг. 19 са начертани три големи окръжности: k, k1 и k2.

(22): S = 4πr2 или S = πd2.

Бележка:
Сферата е повърхнина. Затова под „лице на сфера” разбираме лицето на повърхнината, която е сфера, т.е. лицето на сферичната повърхност.

О – Кълбото е част от пространството, заградена от сфера. Центърът O, радиусът r и диаметърът d на сферата се наричат съответно център O, радиус r и диаметър d на кълбото.

Бележка:
Сферата е повърхнината на кълбото, така както окръжността е контур (обиколка) на кръга.

(23): V = πr3.

Върни се в геометрични тела

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

Реклама


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама