Правоъгълната диаграма (в някои случаи се нарича хистограма) се явява стъпаловидна диаграма, показваща данни (обикновено нанесени върху ординатната ос) разпределени в равни интервали (обикновено тези равни интервали се нанасят върху абсцисната ос като равни единични отсечки).

• Сектор – Ако един кръг го разделим на части с помощта на радиусите му, то тези части се наричат сектори. Например, на Фиг. 1 имаме три сектора, които са оцветени с различни цветове.
• Централен ъгъл – Ъгъл, чиито връх е в центъра на окръжността, а раменете му са радиуси на окръжността. Например, на Фиг. 1 централните ъгли са α, β, γ.

  Ако имаме едно цяло нещо N, което на Фиг. 1 е разделено на части N₁ (отговарящо на жълтия сектор от окръжността), N₂ (отговарящо на синия сектор) и N₃ (отговарящо на кафявия сектор) и отношението им е N₁ : N₂ : N₃, то централните им ъгли са в същото отношение

  (1): α : β : γ = N₁ : N₂ : N₃,

  а големината на централните ъгли се намира по формулата:

  Ако частите N₁, N₂ и N₃ са зададени в проценти p₁%, p₂% и p₃%, то формула (2) се записва:
  α = p₁% . 360°;
  β = p₂% . 360°;
  γ = p₃% . 360°.

• Кръгова диаграма – Кръговата диаграма се състои от кръг, разделен посредством негови радиуси на области (наречени сектори), пропорционални на данните, които представляват (Фиг. 1).

Решена Зад.№21 от изпита през 2017 г.

• Определение за множество – Съвкупност от обекти, обединени по някакъв общ признак.

  Например: Буквите на азбуката съставят множеството на тази азбука, учениците от 6-ти клас съставят множеството на шестокласниците, всички цели положителни числа съставят множеството на естествените числа, и т.н.
• Елементи на множеството – Тези елементи, които принадлежат на даденото множество.

  Например: Буквата М е елемент от азбуката на кирилицата, но тя е елемент и от латинската азбука.
• Крайно множество – Множество, което има краен брой елементи.

  Например: Множеството от буквите на кирилицата е ограничен брой, т.е. кирилицата е крайно множество.
• Безкрайно множество – Множество, което има безброй много елементи.

  Например: Множеството на естествените числа е безкрайно множество.
• Празно множество – Множество, което няма елементи.

  Например: Празно множество е множеството на всички четни едноцифрени числа, кратни на 5.
  Бележка:

  Ако множеството А е празно, то записваме A = ∅.
• Начини за задаване на множество:
  • Записваме елементите и ги поставяме в големи скоби.

    Например: А = {11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99}.
  • Заграждаме елементите на множеството със затворена линия.

    Например:
  Бележка:
  Тези два начина е удобно да се използват за крайни множества.
  • Посочваме свойството, което характеризира елементите.

    Например: А = {Множеството на числата, които се делят на 11}.
    Бележка:

    Този начин е удобен за задаване на безкрайни множества.
• Равни множества – Две множества А и В, които се състоят от едни и същи елементи независимо от подредбата им. Записваме A = B.

  Например: Множеството А = {1, 5, 9} е равно на множеството B = {9, 1, 5}, като записваме А = В.
Подмножество – Едно множество А се нарича подмножество на множество В, ако всички елементи на множество А са елементи и на множество В (Фиг. 2). Записваме A B.
Например: Множеството А = {1, 5, 9} е подмножество на множеството B = {1, 5, 6; 8; 9}, като записваме A B.
• Сечение на две множества – Ако две множества А и В имат общи елементи, то те се наричат пресичащи се. Общите елементи на двете множества разглеждаме като отделно множество С, което се нарича сечение на множествата А и В (Фиг. 3). Записваме C = A ∩ B.
• Обединение на две множества – Множеството С, в което са включени всички елементи на множеството A и всички елементи на множеството B, се нарича тяхно обединение (Фиг. 4). Записваме C = A B.
  Бележка:

  Ако множествата А и В имат общи елементи, в обединението общите елементи участват само веднъж.
  

• Събитие – Събитие наричаме резултата, който се получава при извършване на определена дейност (извършване на опит).

  Например: В час учителят изпитва ученик и този ученик получава оценка Отличен. Събитието е изпитване, а резултатът от събитието е получената оценка.
• Случайно събитие – Събитие, което при дадени условия може да се сбъдне, но може и да не се сбъдне.

  Например: В горния пример получаването на оценка Отличен е случайно събитие, защото може да се случи, но може и да не се случи.
• Достоверно събитие (истина) – Събитие, което винаги настъпва при наличието на дадени условия.

  Например: Събитието „Слънцето изгрява от изток“ е достоверно събитие, защото винаги се случва.
• Невъзможно събитие (лъжа) – Събитие, което никога не се случва.

  Например: Събитието „Желязото при температура 10° С е в течно състояние“ е невъзможно събитие, защото никога не се случва.
• Класическа вероятност

  От определението на понятието „случайно събитие“ следва, че при провеждане на един опит не е възможно да се предскаже настъпването на това събитие. Оказва се обаче, че ако се извършат достатъчно голям брой опити, започват да се проявяват някои закономерности на случайното събитие.

  Например при многократно хвърляне на една монета се забелязва, че броят на падналите се „лица“ се доближава до броя на падналите се „гербове“. Тази математическа наука, която изучава закономерностите на случайните събития, се нарича теория на вероятностите. Основна задача в теорията на вероятностите е на всяко случайно събитие да се съпостави число, с което да се оценява степента на възможност то да настъпи. Такова число ще наричаме вероятност на случайно събитие.

  Oпределение: Вероятността p на едно събитие се нарича числото, равно на отношението на благоприятните изходи m (случаи, при които събитието настъпва) и броя на всички възможни изходи n (случаи), т.е.:

  
• Свойства на класическата вероятност:
  • Вероятността на достоверното събитие е единица, т.е. p = 1, защото m = n.
  • Вероятността на невъзможното събитие е нула, т.е. p = 0, защото m = 0.
  • За вероятността на кое да е събитие А е в сила: 0 ≤ p (A) ≤ 1, защото m ≤ n.

Зад. №5:

От множеството A = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2;1} е избрано произволно число. Каква е вероятността избраното число да е четното.

Решение:

• Даденото множество има 9 елемента, т.е. броят на всички възможни случаи е 9 или n = 9.
• Четните числа (числата, които се делят на 2) са 4 на брой (това са числата: 2, 4, 6, 8, общо 4), т.е. благоприятните случаи са 4 или m = 4.
• Намираме вероятността, като използваме формула (3):
  .

Зад. №6:

На диаграмата е представено разпределение по класове на учениците, отишли на екскурзия.

а) Намерете вероятността произволно избран ученик да е от 6 клас.

б) Намерете вероятността произволно избран ученик да е или от 5 клас или от 7 клас.

Решение:

• От диаграмата намираме общия брой на учениците участващи в екскурзията:
  • 5 клас – 50 ученика.
  • 6 клас – 40 ученика.
  • 7 клас – 25 ученика.
  • Общо – 115 ученика.
• Това означава, че всички възможни случаи за избор на ученици (броят на възможните случаи) е 115, т.е. n = 115.

а)

• Броят на учениците от 6 клас (броят на благоприятните случаи) е 40, т.е. m = 40.
• Използваме формула (3), за да намерим търсената вероятност:
  .

б)

• Намираме благоприятните случаи:
  • Броят на учениците от 5 клас е 50.
  • Броят на учениците от 7 клас е 25.
  • Броят на благоприятните случаи е m = 50 + 25 = 75, защото по условие вариантите (учениците от 5 клас или 7 клас) са свързани със съюза „или“.
• Използваме формула (3), за да намерим търсената вероятност:
  .

Бележка:

• Ако по условие вариантите са свързани със съюза „или“, то благоприятните случаи са равни на сбора от вариантите.
• Ако по условие вариантите са свързани със съюза „и“, то благоприятните случаи са равни на произведението от вариантите.

Зад. №7:

На кръговата диаграма с диаметър АВ е представено разпределението на служителите в една фирма по възраст, като във фирмата има 8 човека на възраст от 41 до 50 години, 16 човека на възраст от 30 до 40 години, а централният ъгъл на служителите под 30 години е равен на 75°.

а) Намерете броя на служителите над 50 години и общия брой на служителите във фирмата.

б) Каква е вероятността случайно избран служител да е на възраст под 30 години?

в) Как ще се измени вероятността за събитието от подточка б), ако:
– във фирмата е назначен още един служител на 27 години;
– от фирмата напусне един служител на 27 години?

Решение:

а)

• Нека с α да отбележим централния ъгъл отговарящ на служителите над 50 години (оцветения в червено сектор на кръговата диаграма).
• АВ – диаметър α + 75° = 180° α = 105°.
• Съставяме отношението , т.е служителите над 50 години са 7х, а служителите под 30 години са 5х.
• От диаграмата се вижда, че щом АВ е диаметър, то половината от служителите са 24 човека.
• Тогава за другата половина може да запишем, че 7x + 5x = 24 x = 2.
• Служителите над 50 години са 7x = 7.2 = 14 човека, а служителите под 30 години са 5x = 5.2 = 10 човека.
• Всички служители са 14 + 10 + 8 + 16 = 48 човека.
• Отговор: Служителите над 50 години са 14 човека, а всички служители във фирмата са 48 човека.

б)

• Всички служители във фирмата са 48 човека, т.е. броят на всички възможни случаи е 48 или n = 48.
• Служителите под 30 години са 10 човека, т.е. благоприятните случаи са 10 или m = 10.
• Намираме вероятността, като използваме формула (3):
  .

в)

• Ако във фирмата се назначи още един служител на 27 години, то броят на служителите под 30 години ще стане 11 човека, а общият брой на служителите ще стане 49 човека. Тогава n = 49, m = 11, а вероятността в този случай ще е
  .
• Ако от фирмата напусне един служител на 27 години, то броят на служителите под 30 години ще стане 9 човека, а общият брой на служителите ще стане 47 човека. Тогава n = 47, m = 9, а вероятността в този случай ще е
  .
• Сравняваме дробите по правилото за сравняване на дроби с различни знаменатели и стигаме до извода, че , т.е ако от фирмата напусне един служител на 27 години, то вероятността случайно избран служител да е на възраст под 30 години се намалява, а ако постъпи един служител на 27 години, то вероятността случайно избран служител да е на възраст под 30 години се увеличава.

Oпределение – Средна стойност (средноаритметично) на еднотипни числа е сборът на числата, разделен на техния брой. Например, ако са дадени n числа: a₁, a₂, …, a_n, то средноаритметичното им се намира по формулата:

Ако между числата има повтарящи се е удобно да се използва следната формула:

(5): ,

където: m₁ е брой на повторенията (срещанията) на числото a₁, m₂ – брой на повторенията на числото a₂, m_n – брой на повторенията на числото a_n.