Тест за 7 клас по математика (НВО), 2017 г

Тест от Национално външно оценяване (НВО)
по МАТЕМАТИКА
за 7 клас

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО – 7 клас, от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Май 2017 година

ПЪРВИ МОДУЛ

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачи от 1. до 16. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Коя е стойността на израза 2(3 – c) – c(c – 2) при c = – 3?
- А)– 15
- Б)– 3
- В)9
- Г)15
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приведете дадения израз в нормален вид и след това заместете c с неговото равно.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
І начин:
- Заместваме c с неговото равно:
  2[3 – (– 3)] – (– 3) [(– 3) – 2] = 2.6 + 3.(– 5) = – 3.
- Верен отговор Б).
II начин:
- Разкриваме скобите и правим приведение:
  2(3 – c) – c(c – 2) = 6 – 2c – c² + 2c = 6 – c².
- Заместваме c с неговото равно:
  6 – (– 3)² = 6 – 9 = – 3.
- Верен отговор Б).

Изразът mx – 2x – 2y + my е тъждествено равен на израза:
- А)(x + y)(m – 2)
- Б)(x + y)(m + 2)
- В)(x – y)(m + 2)
- Г)(x – y)(m – 2)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители чрез групиране:
  mx – 2x – 2y + my = x(m – 2) + y(m – 2) = (x + y)(m – 2).
- Верен отговор А).

Коренът на уравнението x(x + 4) – x(x + 3) = 5x + 1 е:
- А)– 4
- Б)–
- В)
- Г)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за решаване на уравнения свеждащи се до линейни.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме правилото за решаване на линейни уравнения:
  x(x + 4) – x(x + 3) = 5x + 1 x² + 4x – x² – 3x = 5x + 1 x² + 4x – x² – 3x – 5x = + 1 x = – .
- Верен отговор Б).

Решенията на неравенството 18 – 6x ≥ 0 са числата от интервала:
- А)(– ∞; 3]
- Б)(– 3; + ∞)
- В)(– ∞; – 3]
- Г)[3; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за решаване на линейни неравенства.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме правилото за решаване на линейни неравенства:
  18 – 6x ≥ 0 – 6x ≥ – 18 | . (– 1) 6x ≤ 18 x ≤ 3.
- Записваме решенията като интервал:
  x (– ∞; 3].
- Верен отговор А).

Произведението на корените на уравнението |x – 5| – 5 = 1 е:
- А)11
- Б)10
- В)– 10
- Г)– 11
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете модулното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме модулното уравнение до основен вид:
  |x – 5| – 5 = 1 |x – 5| = 1 + 5 |x – 5| = 6.
- Използваме правилото за решаване на модулно уравнение – Понеже числото c = 6 > 0 разписваме две уравнения:
  - x – 5 = 6 x = 6 + 5 x₁ = 11.
  - x – 5 = – 6 x = – 6 + 5 x₂ = –1.
- Намираме търсеното произведение:
  x₁ . x₂ = 11 . (– 1) = – 11.
- Верен отговор Г).

Една вафла струва х лева, а един шоколад е с 1,5 лева по-скъп от вафлата. Стойността на 2 вафли и 2 шоколада се пресмята с израза:
- А)4x + 3
- Б)4x + 1,5
- В)4x + 2
- Г)2x + 1,5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изпълнете условието и съставете израз.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека цената на една вафла е В = x.
- Тогава цената на един шоколад е Ш = x + 1,5.
- Съставяме търсения израз:
  2В + 2Ш = 2x + 2(x + 1,5) = 2x + 2x + 3 = 4x + 3.
- Верен отговор А).

Мария почиства сама жилището си за 6 чàса, а нейната майка почиства същото жилище за 4 чàса. За колко чàса ще почистят жилището, ако работят заедно?
- А)2 чàса
- Б)2,04 чàса
- В)2 чàса и 24 минути
- Г)1 час и 44 минути
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за решаване на задачи от работа.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Съставяме таблица и попълваме ясно дадените величини, а това са:
  - времето за което Мария (6 часа) и Майка ѝ (4 часа) могат да свършат цялата работа сами.
  - щом не е уточнено колко е цялата работа приемаме, че тя е 1, т.е. А^* = 1.
- Изчисляваме производителността N₁ на Мария и N₂ на Майка ѝ, като разделим цялата работа на времето за което всеки от тях свършва цялата работа, и ги нанасяме в таблицата.
- Отбелязваме с х времето за което Мария е работила (това време е едно и също за двете, защото работят заедно).
- От формулата A = N.t изчисляваме работата А₁ – свършена от Мария и А₂ – свършена от Майка ѝ.
- Съставяме уравнението, като използваме формула (3) и отчитаме, че общата работа е A = 1:
  A₁ + A₂ = A 2x + 3x = 12, т.е. = 2h 24 min.
- Верен отговор В).

Намерете сбора на целите отрицателни числа, които са решения на неравенството x(x – 1) < x² + 4,7.
- А)– 15
- Б)– 10
- В)– 5
- Г)0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за решаване на линейни неравенства.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решете линейното неравенство:
  x(x – 1) < x² + 4,7 x² – x < x² + 4,7 x² – x – x² < 4,7 – x < 4,7 | . (– 1) x > – 4,7.
- В този интервал има следните цели отрицателни числа: –4, –3, –2, –1.
- Сборът им е:
  – 4 + (– 3) + (– 2) + (– 1) = – 10.
- Верен отговор Б).

Върху правата AQ са построени ΔABC и ΔMQN, за които AC = QN, BC = MN, ACB = MNQ = 60° и BMN = 100°. Градусната мярка на CAB е:
- А)100°
- Б)80°
- В)60°
- Г)40°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте теорема за съседни ъгли, за да намерете QMN.
2. Докажете, че двата триъгълника са еднакви.
3. Намерете търсения ъгъл.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме теорема за съседни ъгли:
  QMN = 180° – AMN = 180° – 100° QMN = 80°.
- От теорема за сбор на ъгли в ΔMQN получаваме:
  MQN + QMN + MNQ = 180° MQN + 80° + 60° = 180° MQN = 40°.
- ΔABC ≅ ΔQMN (по I признак, защото: 1) AC = QN – по усл., 2) BC = MN – по усл., ACB = QNM = 60° – по усл.) CAB = MQN = 40°.
- Верен отговор Г).

На чертежа правата с пресича правите а и b и a || b. Градусната мярка на x е:
- А)10°
- Б)15°
- В)20°
- Г)25°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От успоредните прави намерете ACB.
2. От теорема за връхни ъгли изразете ABC чрез х.
3. Използвайте теорема за външен ъгъл на ΔABC, за да намерите ъгъл х.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От теорема за успоредни прави следва, че ACB = 90° – като кръстни ъгли на (a || b) ∩ CB.
- От теорема за връхни ъгли следва, че ABC = 2x.
- Прилагаме теорема за външни ъгли на ΔABC:
  ABC + ACB = 140° 2x + 90° = 140° x = 25°.
- Верен отговор Г).

Лъчите CM^→ и CL^→ са съответно ъглополовящите на външния и вътрешния ъгъл при върха С на ΔABC. Ако CL = 5 cm и ALC = 60°, то дължината на ML е:
- А)2,5 cm
- Б)5 cm
- В)7,5 cm
- Г)10 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте основа зад. 1, за да докажете, че ΔMLC е правоъгълен.
2. Използвайте теорема за катет лежащ срещу ъгъл 30° и намерете ML.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- По условие CM^→ и CL^→ са ъглополовящи на два съседни ъгъла и от основна зад. № 1 следва, че LCM = 90°.
- Прилагаме кратката теорема за сбор на ъгли в ΔMLC:
  CML + MLC = 90° CML + 60° = 90° CML = 30°.
- Прилагаме теорема 1 за ΔMLC (LCM = 90°, CML = 30°):
  ML = 2CL = 2.5 = 10 cm.
- Верен отговор Г).

В ΔABC страната AC = 5 cm и страната BC = 4 cm. Симетралата на страната AB пресича страната AC в точка M. Периметърът на ΔBCM е равен на:
- А)5 cm
- Б)8 cm
- В)9 cm
- Г)10 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Докажете, че CM + BM = AC и намерете P_ΔBCM.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- т. М s_AB AM = BM.
- P_ΔBMC = BM + MC + BC = AC + BC = 5 + 4 = 9 cm.
- Верен отговор В).

В ΔABC ъглополовящите AA₁ и BB₁ се пресичат в точка L. Ако BLA₁ = 80°, то градусната мярка на ACB е:
- А)15°
- Б)20°
- В)40°
- Г)80°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От теорема за съседни ъгли намерете ALB.
2. Използвайте основна зад. № 2 и намерете C.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме теорема за съседни ъгли:
  ALB + BLA₁ = 180° ALB + 80° = 180° ALB = 100°.
- AA₁ и BB₁ са ъглополовящи A₁AB = A₁AC = x, B₁BC = B₁BA = y.
- За ΔABL използваме теорема за сбор на ъгли:
  LAB + LBA + ALB = 180° x + y + 100° = 180° x + y = 80°.
- Използваме теорема за сбор на ъгли в ΔABC:
  CAB + ABC + ACB = 180° 2x + 2y + ACB = 180° ACB = 180° – 2(x + y) = 180° – 2.80° = 20°.
- Верен отговор Б).
Бележка:
Тази задача може да я решим и по други начин. След като сме намерили x + y използваме основна зад. № 2 и намираме ъгъл С.

На чертежа правите а и b се пресичат под ъгъл 30°, BD a и AC a. Ако AO = BD и AC = 3 cm, то дължината на отсечката АВ е:
- А)18 cm
- Б)12 cm
- В)9 cm
- Г)6 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. В ΔACO намерете ъгъл 30° и след това намерете АО.
2. В ΔBOD намерете хипотенузата ВО.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- AOC = BOD = 30° (като връхни ъгли).
- Използваме теорема 1 за ΔACO (ACO = 90°, AOC = 30°):
  AO = 2AC = 2.3 = 6 cm.
- По условие BD = AC = 3 cm.
- Използваме теорема 1 за ΔBOD (BDO = 90°, BOD = 30°):
  BO = 2BD = 2.3 = 6 cm.
- AB = AO + BO = 6 + 6 = 12 cm.
- Верен отговор Б).

В остроъгълния ΔABC с височини AN и BP (N BC, P AC) точката M е средата на АВ. Определете вида на ΔMNP, ако PN = AM.
- А)разностранен
- Б)равностранен
- В)равнобедрен, но не равностранен
- Г)правоъгълен
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящи правоъгълни триъгълници докажете, че PM = MN.
2. Използвайте даденото, за да докажете, че ΔMNP е равностранен.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- NM – медиана в правоъгълния ΔABN (1): NM = AM = BM.
- PM – медиана в правоъгълния ΔABP (2): PM = AM = BM.
- По условие (3): PN = AM.
- От (1), (2) и (3) следва, че ΔMNP – равностранен.
- Верен отговор Б).

В ромба АВСD DH BC и DP BC. Ако DC = 6 cm и HDP = 30°, то лицето на ромба е:
- А)9 cm²
- Б)18 cm²
- В)36 cm²
- Г)72 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте основна зад. № 2, за да докажете, че A = C = 30°.
2. Използвайте подходяща формула за лице на ромб.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме острите ъгли на ромба:
  - Използваме теорема за сбор на ъгли в четириъгълника HBPD:
    H + B + P + HDP = 360° 90° + B + 90° + 30° = 360° B = 150°.
  - От теорема-свойство 4 за успоредника ABCD следва, че:
    C + B = 180° C + 150° = 180° C = 30°.
- От ΔCDP (P = 90°, C = 30°) намираме:
  DP = CD = .6 = 3 cm.
- DH и DP са височини в ромб DH = DP = 3 cm.
- Намираме лицето на ромба:
  S_ABCD = AB . DH = 6 . 3 = 18 cm².
- Верен отговор Б).
Бележка:
Тази задача може да я решите и като използвате основна зад. №2, за да намерите ъгъл С.

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачи 17. – 20. запишете на съответните места в листа с отговори.

Иван има 3 лв., за да купи 2 хляба на една и съща цена. За остатъка от парите може да си купи сладолед, чиято цена за 1 брой е равна на стойността на израза A = .
А) Определете в лева цената на 1 сладолед.

Б) Намерете колко най–много сладоледа може да купи Иван, ако цената на 1 хляб е 80 ст.
Вижте упътване

Упътване:

А) Използвайте формула (5).

Б) Превърнете мерната единица в левове и направете пресмятанията.

Вижте решение
Решение:

А):
- В числител използваме формула (5) и преобразуваме:
- Отговор: Цената на един сладолед е 0, 67 лв.
Б):
- Цената на 1 хляб в левове е 80 ст. = 0, 80 лв.
- Цената на 2 хляба е 2.0,80 = 1,60 лв.
- Останалата сума е 3 – 1, 60 = 1, 40 лв.
- С тази сума може да се купят 2 сладоледа, защото 2. 0, 67 = 1, 34 < 1, 40.
- Отговор: 2 сладоледа.
Критерии за оценяване
А)
- 2 точки – за правилен отговор.
- 1 точка – за отговор 67 стотинки.
- 0 точки – при всеки друг отговор.
Б)
- 2 точки – за правилен отговор.
- 0 точки – при всеки друг отговор.
Общо за цялата задача 4 точки.

А) Изразете a² + b² чрез a – b и a.b.
Б) Намерете стойността на израза a² + b², ако a – b = – 3 и a.b = 10.
Вижте упътване

Упътване:

За А) използвайте формула (14), а за В) извършете означените действия.

Вижте решение
Решение:
- За А) използваме Формула (14):
  Отговор: a² + b² = (a – b)² + 2ab.
- Б): Заместваме в отговора от А) с дадените изрази:
  a² + b² = (a – b)² + 2ab = (– 3)² + 2.10 = 29.
  Отговор: a² + b² = 29.
Критерии за оценяване
А)
- 2 точки – за правилен отговор.
- 0 точки – при всеки друг отговор.
Б)
- 2 точки – за правилен отговор.
- 0 точки – при всеки друг отговор.
Общо за цялата задача 4 точки.

В правоъгълника ABCD, DM AC (M AC) и CAB = ACB = 2 : 3. Определете:
(1) градусната мярка на CAB;

(2) градусната мярка на CAD;

(3) двете двойки еднакви равнобедрени триъгълници;

(4) отношението ADM : BDM.
Вижте упътване
Упътване:
1. Използвайте теорема за сбор на ъгли в подходящ правоъгълен триъгълник.
2. По подобен начин както 1).
3. Използвайте теорема-свойство на правоъгълник и подходящ признак за еднаквост на триъгълници.
4. Намерете ъглите на ΔAMD и ΔOMD.
Вижте решение
Решение:

(1):
- От даденото отношение записваме CAB = 2x, ACB = 3x.
- Прилагаме кратката теорема за сбор на ъгли в ΔABC (ABC = 90°):
  CAB + ACB = 90° 2x + 3x = 90° x = 18°.
- Тогава CAB = 2x = 2.18° = 36°, ACB = 3x = 3.18° = 54°.
- Отговор: ∢CAB = 36°.
(2):
- От фигурата определяме:
  CAD + CAB = 90° CAD + 36° = 90° CAD = 54°.
- Отговор: Ъгъл CAD е равен на 54°.
(3):
- AC и BD са диагонали на правоъгълник и от теорема-свойство следва, че AC = BD.
- т. О – среда на двата диагонала AO = CO = BO = DO, т.е. ΔABO, ΔBCO, ΔCDO и ΔADO са равнобедрени.
- ΔABO ≅ ΔCDO по III признак, защото: 1) AB = CD – по усл.; 2) BO = DO – по д-во; 3) AO = CO – по д-во.
- ΔADO ≅ ΔBCO по I признак, защото: 1) AO = CO – по д-во; 2) BO = DO – по д-во; 3) AOD = COB – като връхни ъгли.
- Отговор: ΔABO и ΔCDO, ΔADO и ΔBCO.
(4):
- Прилагаме кратката теорема за сбор на ъгли в ΔAMD (AMD = 90°):
  ADM + MAD = 90° ADM + 54° = 90° ADM = 36°.
- Прилагаме теорема за сбор на ъгли в ΔBCO:
  BOC + OBC + OCB = 180° BOC + 54° + 54° = 180° BOC = 72°.
- AOD = BOC = 72° (като връхни ъгли).
- Прилагаме кратката теорема за сбор на ъгли в ΔMOD (OMD = 90°):
  MDO + MOD = 90° MDO + 72° = 90° MDO = 18°.
- Получаваме търсеното отношение:
  ADM : BDM = = 2 : 1.
- Отговор: ADM : BDM = 2 : 1.
Критерии за оценяване
(1)
- 2 точки – за правилен отговор.
- 1 точка – за отговор 32°.
- 0 точки – при всеки друг отговор.
(2)
- 1 точка – за правилен отговор. Ако в (1) е получено 32° и е определено, че ъгъла е 58° или 48°, също се оценява с 1 точка.
- 0 точки – при всеки друг отговор.
(3)
- Общо 2 точки – по 1 точка за всяка двойка еднакви равнобедрени триъгълници.
- 0 точки – при всеки друг отговор.
(4)
- 2 точки – за правилен отговор. При допусната техническа грешка в (1) , но с правилни изчисления в (2) и (4) също се оценява с 2 точки.
- 0 точки – при всеки друг отговор.
Общо за цялата задача 7 точки.

За всяко от уравненията А), Б) и В) запишете номера от (1) до (5), срещу който са дадени съответните му корени.
Вижте упътване

Упътване:

Уравнения А) и В) са от вида (ax + b)(cx + d) = 0, т.е. нелинейни уравнения, а уравнение Б) го решете като линейно.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме уравнение А):
  - Преобразуваме до уравнение от вида (ax + b)(cx + d) = 0 и го решаваме:
    x² – 3x = 0 x(x – 3) = 0 x₁ = 0, x₂ = 3.
  - Отговор: Уравнение А) има решения (3).
- Решаваме уравнение Б):
  - Решава се като линейно уравнение:
    3x – 1 = – 4 3x = – 3 x = – 1.
  - Отговор: Уравнение Б) има решения (1).
- Решаваме уравнение В):
  - x² + 5 = 0 x² = – 5.
  - Това уравнение няма решение, защото няма число на квадрат, което да е равно на отрицателно число.
  - Отговор: Уравнение В) има решения (4).
Критерии за оценяване
- Общо 6 точки – по 2 точки за всеки правилен отговор в уравнения А), Б) и В).
- 0 точки – при всеки друг отговор.

ВТОРИ МОДУЛ

В предоставения свитък за свободните отговори запишете отговорите и решенията съгласно дадените указания.

Указание: Отговорите на задачи 21.А), 21.Б), 22.А), 22.Б) и 22.B) запишете на съответното място в свитъка.

ФИЛМИ
На кръговата диаграма са изобразени предпочитанията към филми на част от седмокласниците от едно училище. Любителите на екшън филми са 6 пъти повече от любителите на анимации.

21.А) Какво е отношението на броя любители на екшън филми към броя любители на комедии? Представете отношението с несъкратима дроб.

21.Б) Колко са учениците от седми клас в това училище, ако 15 деца нямат предпочитан жанр филми, а любителите на анимация са 9?
Вижте упътване

Упътване:

А) От диаграмата намерете колко процента са любителите на екшън филми и на анимация.

Б) Използвайте процент – основна задача от 2 вид.

Вижте решение
Решение:

А):
- Намираме колко процента са любителите на екшън филмите и филмите за анимация:
  - От диаграмата се вижда, че любителите на екшън (Е) и анимация (А) са:
    E + A = 100% – (30% + 16% + 12%) = 42%.
  - По условие гледащите анимация са A = x, а гледащите екшън са E = 6x, тогава:
    E + A = 42% 6x + x = 42% x = 6%.
- Т.е. гледащите анимация са A = x = 6%, а гледащите екшън са E = 6x = 6.6 = 36%.
- Намираме търсеното отношение – нека гледащите комедия отбележим с К = 16%:
  .
- Отговор: E : K = 9 : 4.
Б): Нека с y да отбележим броя на всички ученици гледащи филми.
- Използваме процент – основна задача от 2 вид:
  6% от y = 9 0,06.y = 9 y = 150.
- Намираме всички ученици в 7 клас:
  УЧЕНИЦИ = y + 15 = 150 + 15 = 165.
- Отговор: Всички ученици в 7 клас са 165.
Критерии за оценяване
А)
- 4 точки – за правилен отговор.
- 3 точки – за отговор или 36 : 16 = 18 : 8.
- 0 точки – при всеки друг отговор.
Б)
- 3 точки – за правилен отговор.
- 2 точки – за отговор 150 ученици.
- 0 точки – при всеки друг отговор.
Общо за цялата задача 7 точки.

УЧЕНИЦИ

В понеделник от един клас в едно училище отсъстващите ученици били 5 пъти по- малко от присъстващите ученици. Във вторник отсъстващите ученици от класа се увеличили с 4, а присъстващите били 70 % от всички ученици в класа.

22.А) Пречертайте и попълнете следната таблица.

22.Б) Съставете уравнение за намиране на общия брой ученици от този клас.

22.В) Намерете общия брой на учениците от класа.

Вижте упътване

Вижте решение

Критерии за оценяване

Условията на задачи 23. и 24. включително и указание за решаването им може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2016 г. 2018 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура