Решение:

• Правилото за делене на десетична дроб с 10, 100 и т.н. е „Десетичната запетая се премества толкова цифри наляво, колкото са нулите в делителя”.
• По условие делим на 10, т.е. преместваме десетичната запетая с една позиция наляво.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Изнасяме 5 пред скоба, за да извършим по-лесно действията:
  530.5 – 5.30 = 5.(530 – 30) = 5.500 = 2 500.
• Верен отговор В).

Решение:

• Разлагаме на множители като групираме първо с второ и трето с четвърто:
  n² – 4 – n – 2 = (n² – 4) – (n + 2) = (n + 2)(n – 2) – (n + 2) = (n + 2)(n – 2 – 1) = (n + 2)(n – 3).
• Верен отговор В).

Решение:

• Изнасяме общ множител пред скоба:
  2ab² – 4ab + 8a²b = 2ab(b – 2 + 4a).
• Верен отговор А).

Решение:

• От теорема за съседни ъгли намираме:
  ABC = 180° – 110° = 70°.
• От теорема за външен ъгъл на ΔABC намираме:
  BCM = A + ABC = 30° + 70° = 100°.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Намираме по-късата страна:
  b = a : 3 = 18 : 3 = 6 cm.
• Използваме формулата за периметър:
  P = 2(a + b) = 2(18 + 6) = 48 cm.
• Верен отговор А).

Решение:

• Решаваме линейното уравнение:
  2 = – 5(3 – x) 2 = – 15 + 5x 5x = 17 x = .
• Верен отговор В).

Решение:

• Решаваме всяко уравнение:
• Верен отговор А).

Решение:

• Решете линейното неравенство:
  – 5x > 15 | : (– 5) x < – 3.
• От дадените числа само – 3,5 е по-малко от – 3.
• Верен отговор Б).

Решение:

• От условието следва, че броят на дюлите е число кратно на 3, т.е. отговори А) и Б) НЕ са търсените решения.
• Броят на прасковите е число кратно на 4, т.е. и отговор В) Не е решение на задачата.
• Верен отговор Г).

Решение:

• От графиката намираме скоростта за движение във всеки участък:
  • В участъка AB:
    s = 12 km, t = 2 h = 6 km/h.
  • В участъка BC:
    s = 16 – 12 = 4 km, t = 3 – 2 = 1 h = 4 km/h.
  • В участъка CD:
    s = 20 – 16 = 4 km, t = 5 – 3 = 2 h = 2 km/h.
  • В участъка DE:
    s = 24 – 20 = 4 km, t = 8 – 5 = 3 h km/h.
• Верен отговор А).

Решение:

• Белите рози са 100% – 80% = 20%.
• Нека всички рози в магазина отбележим с x, тогава:
  20% от x = 30 0,20.x = 30 x = 150.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Помещението се запълва от 12 сандъка, но в момента има 4, затова те заемат част от цялото помещение.
• Помещението се запълва от 18 сандъка, но в момента има 9, затова те заемат част от цялото помещение.
• Общата запълнена част е .
• Верен отговор Б).

Решение:

• ΔMTP е тъпоъгълен с остър ъгъл при върха Р.
• Височината от връх Р е извън триъгълника и това е отсечката PQ.
• Верен отговор Б).

Решение:

• ΔMNP – равнобедрен NMP = MNP = 30°.
• RT – симетрала на MP MT = TP и MPT = TMP = 30°.
• От кратката теорема за сбор на ъгли в ΔMQP – правоъгълен получаваме:
  QMP + MPQ = 90° 30° + MPQ = 90° MPQ = 60°.
• TPQ = MPQ – MPT = 60° – 30° = 30°.
• Проверяваме твърденията:

  (I) ΔMRT ≅ ΔPQT по II признак, защото: 1) MT = TP – по д-во, 2) TMR = TPQ – по д-во, 3) MRT = TQP = 90°.

  (II) ΔMQP ≅ ΔNQP по III признак, защото: 1) MP = NP – по усл., 2) PQ – обща, 3) MQ = NQ – защото PQ е височина и медиана в равнобедрен триъгълник.

  (III) ΔPTR ≅ ΔMTR по III признак, защото: RT – симетрала на MP.

• Верен отговор Г).

Решение:

• В ΔMTR имаме:
  M = 30°, R = 90° MT = 2TR = 2.2 = 4 cm.
• От ΔMRT ≅ ΔPQT TQ = TR = 2 cm.
• MQ = MT + TQ = 4 + 2 = 6 cm.
• ΔMNP – равнобедрен и PQ – височина PQ е медиана, т.е. NQ = MQ = 6 cm.
• MN = MQ + NQ = 6 + 6 = 12 cm.
• Верен отговор В).

Решение:

1)

• т. D – среда на AB AD = DB AC + CD = DB x + 2x = x + 12 2x = 12 x = 6.
• Отговор: x = 6.

2)

• По условие имаме:
  P = AC + CD + DB < 48 x + 2x + x + 12 < 48 4x < 36 x < 9.
• Отново по условие имаме, че x е цяло число, по-голямо от 5, тогава x може да е числата 6, 7 или 8.
• Намираме отсечките:
  • При x = 6 AC = 6, CD = 2x = 2.6 = 12, DB = x + 12 = 6 + 12 = 18. Но 18 = 6 + 12, т.е. триъгълник със страни AC = 6, CD = 12 и DB = 18 няма, защото НЕ се изпълнява теорема 1 от неравенства на триъгълник.
  • При x = 7 AC = 7, CD = 2x = 2.7 = 14, DB = x + 12 = 7 + 12 = 19. Но 19 < 14 + 7 и 7 > 19 – 14, т.е. триъгълник със страни AC = 7, CD = 14 и DB = 19 съществува, защото се изпълняват теорема 1 и теорема 2 от неравенства на триъгълник.
  • При x = 8 AC = 8, CD = 2x = 2.8 = 16, DB = x + 12 = 8 + 12 = 20. Но 20 < 16 + 8 и 8 > 20 – 16, т.е. триъгълник със страни AC = 8, CD = 16 и DB = 20 съществува, защото се изпълняват теорема 1 и теорема 2 от неравенства на триъгълник.
• Отговор: x може да е 7 или 8.

1)

• 1 точка – за правилен отговор x = 6.
• 0 точки – при всички останали случаи.

2)

• 3 точки – за правилен отговор x може да е 7 или 8.
• 2 точки – за отговор 6 < x < 9 (8,25) или „всички стойности между 6 и 9”, т.е. не е взето предвид (не е написано), че числото е цяло или са написани числата 6, 7 и 8 или са написани числата 7, 8 и 9.
• 1 точка – за написано точно едно число, удовлетворяващо условията, но не са написани други числа или за отговор x < 9 (8,25) или за отговор х > 6 или са написани числата 7 и 8 и други две числа от интервала (6; 9).
• 0 точки – при всички останали случаи.

Общо за цялата задача 4 точки.

Решение:

• Изпълняваме указанието в условието (виж чертежа), като отбелязваме точките А, В и С, и начертаваме b || a.
• За начертаването на c a изпълняваме стъпките:
  1. Отбелязваме средата на АВ с т. О.
  2. Начертаваме окръжност k₁ с център C и радиус r = CO.
  3. Начертаваме окръжност k₂ с център A и радиус r = AO.
  4. k₁ ∩ k₂ = т. O₁.
  5. OO₁ a c a.

  

Компонентите в решението се оценяват както следва:

(1) Означаване върховете на триъгълника

• 2 точки – за правилно означение така, че АВ да е най-дълга (независимо от ориентацията на триъгълника).
• 1 точка – друго означаване на върховете с тези букви.
• 0 точки – при всички останали случаи.

(2) Начертаване на права а

• 2 точки – за начертаване на правата според условията.
• 1 точка – за начертаване на права а през точките С и В или на отсечката АС или на отсечката ВС.
• 0 точки – при всички останали случаи.

(3) Начертаване на права b

• 1 точка – за начертаване на правата според условията или на права, успоредна на правата (отсечката), построена в компонент (2), за която е получил 1 точка.
• 0 точки – при всички останали случаи.

(4) Означаване на средата на отсечката АВ

• 1 точка – правилно означена среда, независимо от това дали е нанесена буквата О.
• 0 точки – при всички останали случаи.

(5) Начертаване на права с

• 2 точки – за правилно начертана права с, перпендикулярна на а (b) през означената среда.
• 1 точка – за начертана права с, изпълняваща само едно от условията.
• 0 точки – при всички останали случаи.

(6) Означаване на правите

• 1 точка – за правилно означаване (правите а и b трябва да са успоредни и правата с да е перпендикулярна на тях).
• 0 точки – при всички останали случаи.

Общо за цялата задача 9 точки.

Забележка: Ако за компонент (1) е оценен с 1 точка, то компоненти (2), (3), (4) и (6) се оценяват, както е посочено по-горе, а компонент (5) – с 1 точка за правилно начертана права с, перпендикулярна на а (b) през означената среда е с 0 точки – в останалите случаи.

Решение:

• Изпълняваме условието и разкриваме скобите:
  (y – 1).y – (2y – 1)² = y² – y – (4y² – 4y + 1) = y² – y – 4y² + 4y – 1 = – 3y² + 3y – 1.
• Отговор: – 3y2 + 3y – 1.

• 4 точки – за правилен отговор.
• 3 точки – за многочлен, в който е сгрешен точно един от коефициентите.
• 2 точки – за многочлен в нормален вид, в който са сгрешени точно два от коефициентите или y² – y – 1 + 4y – 4y² (правилно разкрити скоби).
• 1 точка – за y(y – 1) – (2y – 1)² или за многочлен, съдържащ правилно разкрита втора скоба.
• 0 точки – при всички останали случаи.

Решение:

• Намираме каква част от всички превозни средства са леките коли:
  .
• Намираме броя на камионите:
  от 300 = .300 = 25.
• Намираме броя на автобусите:
  300 – (175 + 25) = 100.
• Намираме каква част са автобусите от всички превозни средства:
  .
• Начертаваме кръговата диаграма:
  • Ъгълът k, който отговаря на разстоянието между две съседни точки от окръжността е:
    k = 360° : 12 = 30°.
  • Секторът на „камионите” е с ъгъл: 1.30° = 30°, защото камионите са от общата част.
  • Секторът на „леките коли” е с ъгъл: 7.30° = 210°, защото те са от общата част.
  • Секторът на „автобусите” е с ъгъл: 4.30° = 120°, защото те са от общата част.
• Отговор:

Компонентите в решението се оценяват както следва:

(1) Определяне на броя.

• 2 точки – за правилно определен брой на автобуси и камиони.
• 1 точка – за правилно определено само едно от количествата.
• 0 точки – при всички останали случаи.

(2) Определяне на частта

• 3 точки – за правилно определени частите на леките коли и на автобусите чрез несъкратими дроби.
• 2 точки – за правилно определени части, но едната от тях или и двете са съкратими дроби.
• 1 точка – за правилно определена само една част, независимо дали е (не)съкратима дроб.
• 0 точки – при всички останали случаи.

(3) Начертаване на диаграмата

• 5 точки – за пълно и вярно решение, в това число:
• 3 точки – за правилно начертан, означен с „камиони” и с градусна мярка, сектор (по 1 точка за всеки елемент – чертане, именуване, мярка);
• 2 точки – за правилно начертан и означен със съответния текст сектор за „автобуси” и/или сектор „камиони” (по 1 точка за съответния елемент – чертане и именуване) – в този случай да се приема за пълно решение и когато е работено само върху един от секторите (приема се, че третият е еднозначно определен).
• 1 - 4 точки – за частични изпълнение на някои елементи, описани по-горе.
• 0 точки – при всички останали случаи.

Общо за цялата задача 10 точки.

Забележка: Ако при решаването на първите два компонента е(са) допусната(и) грешка(и), но диаграмата е съставена вярно спрямо тези данни, то компонент (3) се оценява с пълен брой точки.

Решение:

А)

• Салът се движи със скоростта на течението, т.е. v_ПО = x.
• Лодката се движи срещу течението, тогава от формула (1, 3) следва, че v_С/У = 7 – x.
• Попълваме таблицата като използваме формула (1. 1):

Б) Отговаряме на въпроса:

• Намираме x като използваме това, че целият път е 9 km:
  x + (7 – x) = 9 6x + 5(7 – x) = 36 6x + 35 – 5x = 36 x = 1.
• Скоростта на сала е x = 1 km/h.
• Скоростта на лодката е 7 – x = 7 – 1 = 6 km/h.
• Отговор: Скоростта на лодката е 6 пъти по-голяма от скоростта на сала.

Компонентите в решението се оценяват както следва:

А) 5 точки – по една точка за всяка правилно попълнена клетка в таблицата.

Б)

• 2 точки – за правилен отговор 6 пъти.
• 1 точка – ако правилно са написани само скоростите на лодката и на сала – съответно 6 km/h и 1 km/h.
• 0 точки – при всички останали случаи.

Общо 7 точки, като:

ЗАБЕЛЕЖКА: Приемат се отговори без мерни единици и вярно изразяване с десетични дроби.

Решение:

А)

• Заместваме в дадената формула с t = 130:
  S = 14,8 + 0,31(130 – 100) = 14,8 + 0,31.30 = 24,10.
• Отговор: 24,10 лв.

Б)

• Решаваме параметрично уравнение с неизвестно t и параметър S:
  S = 14,80 + 0,31(t – 100) = 14,80 + 0,31t – 31 = 0,31t – 16,20 0,31t = S + 16,20 .
• Отговор: .

В) Попълваме изреченията:

• Съставяме неравенството 14,80 + 0,31(t – 100) ≤ 20.
• Решаваме това неравенство:
  14,80 + 0,31(t – 100) ≤ 20 14,8 + 0,31t – 31 ≤ 20 0,31t ≤ 20 – 14,8 + 31 t ≤ 116,77.
• Най-голямото цяло число решение на това неравенство е 116, т.е. Слави, за да заплати месечна сметка от 20 лв. трябва да говори 116 минути.
• Безплатните му минути са 100, т.е. може да говори най-много 116 – 100 = 16 минути.
• Отговор: Попълваме изреченията:

  Неравенството с неизвестно t, което показва, че месечната му сметка не надвишава планираната, е 14,80 + 0,31(t – 100) ≤ 20.

  С точност до цяло число, Слави може да си позволи най-много 16 минути минути над безплатните.

  При изчисляването на месечната му сметка числото 0,31 е цената на всяка минута разговор над 100-ната минута.

А)

• 1 точка – за правилен отговор.
• 0 точки – за друг отговор.

Б)

• 1 точка – за правилен отговор.
• 0 точки – за друг отговор.

B)

Първо изречение:

• 1 точка – за правилно написано неравенство.
• 0 точки – за друг отговор.

Второ изречение:

• 2 точки – за правилен отговор.
• 1 точка – за отговор някое от числата 17; 116; 117; 16,8; 16,77; 116,8; 116,77.
• 0 точки – за друг отговор.

Трето изречение:

• 2 точки – за правилен отговор, който съдържа и двете ключови думи „всяка (минута)” и „над (100)”.
• 1 точка – за отговор, в който се казва, че е цената на всяка минута (от минутите) разговор без да се уточнява, че това е така само за разговорите над 100-тната минута или е цената на времето (разговорите) над 100-та минута (безплатните), без да се уточнява, че това е за една минута (мерната единица).
• 0 точки – за друг отговор.

Общо за цялата задача 7 точки.