Обобщителен тест за 7 клас

Самоподготовка по Математика за
7 клас

Обобщителен тест за 7 клас

Съдържание на темата:

Първа част
Втора част

Теория

Тест – 7 клас

ПЪРВА ЧАСТ

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Критерии за оценяване

Стойността на израза е равна на:
- А)
- Б)1
- В)299
- Г)150² + 149⁰
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приложете Формулите за съкрането умножение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Формула (5) от Формулите за съкратено умножение:
- Верен отговор В).

Най-малкото от всички дадени числа е:
- А)(–3)³.
- Б).3⁴
- В)3³.
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Всяко отрицателно число повдигнато на четна степен се превръща в положително число, т.е. ако a > 0 имаме (– a)² = a².
2. Всяко отрицателно число повдигнато на нечетна степен остава отрицателно число, т.е. ако a > 0 имаме (– a)³ = – a³.
3. Използвайте формулата .
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме всеки от отговорите:
- Но , т.е. Б) < Г) < А) < В).
- Верен отговор Б).

Изразът 125x³ – y³ е тъждествено равен на:
- А)(5x – y)[(5x)² + 5xy + y²]
- Б)(5x – y)(25x² – 5xy – y²)
- В)5x(25x² – y²)
- Г)(5x + y)(25x² – 5xy + y²)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Формулите за съкратено умножение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Формула (7):
  125x³ – y³=(5x)³ – y³ = (5x – y)(25x² + 5xy + y²) = (5x – y)[(5x)² + 5xy + y²].
- Верен отговор А).

На чертежа правите a и b са успоредни. Големината на ъгъл х е:
- А)30°
- Б)60°
- В)70°
- Г)80°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теоремите за успоредни прави.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- AGH = x + 40° (като връхни ъгли).
- a || b AGH + CHG = 180° (като прилежащи ъгли) x + 40° + x = 180°, т.е. x = 70°.
- Верен отговор B).

Лодка изминава определено разстояние по течението на река за 3 h, а срещу течението – за 5 h. Каква е скоростта на лодката в спокойна вода, ако скоростта на течението е 3,5 km/h?
- А)18,5 km/h
- Б)19 km/h
- В)14 km/h
- Г)никое от посочените
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Тази задача е текстова задача от движение. Използвайте Правилото за решаване на подобен вид задачи:
1. Начертайте елементарен чертеж.
2. Начертайте таблица и попълнете ясно дадените величини.
3. Отбележете с х скоростта на лодката в спокойна вода и изчислете v_по = v_c + v_т и v_с/у = v_c – v_т, където v_по – скоростта на лодката по течението, v_с/у – скоростта на лодката срещу течението, v_c – скоростта на лодката в спокойна вода (т.е. собствената скорост), v_т – скоростта на течението.
4. От формулата s = v.t изчислете пътищата s_по и s_с/у.
5. Съставете уравнение като изравните пътищата по течението и срещу течението.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Начертаваме елементарен чертеж (виж фигурата).
- Начертаваме таблица и попълваме:
  - Ясно дадените величини са: времето по течението е 3 h и времето срещу течението – 5 h.
  - Отбелязваме с х скоростта на лодката в спокойна вода.
  - Изчисляваме скоростите по течението и срещу течението, т.е.:
    v_ПО = v_C + v_T = x +3,5, v_С/У = v_C – v_T = x – 3,5.
  - С помощта на формулата s = v.t изчисляваме пътя s_по и s_с/у.
- Съставяме уравнението – Изравняваме пътищата (защото тях сме ги изчислили по формулата s = v.t):
  s_по = s_с/у 3(x + 3,5) = 5(x – 3,5) 3x + 10,5 = 5x – 17,5, т.е. x = 14 km/h.
- Верен отговор B).

Триъгълниците на чертежа са еднакви. Дадени са мерките на някои от ъглите и DF < EF. Мярката на EDF е:
- А)55°
- Б)60°
- В)65°
- Г)70°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Теорема за сбор на ъгли в ΔABC намерете ъгъл BAC.
2. Използвайте Свойствата на еднакви триъгълници и условието DF < EF.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме Теорема за сбор на ъгли в ΔABC:
  BAC + 55° + 65° = 180° BAC = 60°.
- От Неравенства в триъгълник (срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна) в ΔABC следва, че AC > BC.
- От ΔABC ≅ ΔEDF EDF = ABC = 65° (защото когато AC = EF и BC = DF, тогава от AC > BC следва EF > DF, т.е. условието се изпълнява).
- Верен отговор В).

На чертежа AL и BL са съответно ъглополовящи на A и B на ΔABC. Ако 1 = 2α, а 2 = α, то ΔABC е:
- А)равнобедрен
- Б)разностранен
- В)правоъгълен
- Г)не може да се определи
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теорема за външен ъгъл на триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- 1 – външен за ΔABL 1 = 2 + ABL 2α = α + ABL, т.е. ABL = α.
- AL и BL са ъглополовящи LAC = 2 = α и CBL = ABL = α, т.е. ABC = BAC = 2α ΔABC – равнобедрен.
- Верен отговор А).

Ако ΔABC ≅ ΔMBN, големината на ъгъл х е:
- А)112°
- Б)74 °
- В)106 °
- Г)134°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теорема за сбор на ъгли в триъгълник и от Еднаквите триъгълници преценете кои ъгли са равни.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔABC B + 76° + 30° = 180°, т.е. B = 74°.
- От ΔABC ≅ ΔMBN C = BNM = 76°.
- От Теорема за сбор на ъгли в четириъгълник NBCD B + C + D + N = 360° 74° + 76° + x + 76° = 360°, т.е. x = 134°.
- Верен отговор Г).

Решенията на неравенството x > 2x са числата:
- А)x (0; 2)
- Б)x (– ∞; 0)
- В)x [0; + ∞)
- Г)x (0; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Правилото за решаване на линейно неравенство с едно неизвестно.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Правилото за решаване на линейно неравенство с едно неизвестно:
  x > 2x 2x – x < 0 x < 0.
- Верен отговор Б).

В равнобедрения ΔABC (AC = BC) M е среда на AB. Правата CM е продължена до точка D така, че CM = MD. Полученият четириъгълник ADBC е:
- А)правоъгълник
- Б)ромб
- В)квадрат
- Г)трапец
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. По Теореми-признаци докажете, че четириъгълника ADBC е успоредник.
2. По Определение докажете, че успоредника ADBC е ромб.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Доказваме, че ADBC е ромб:
  - CM = MD – по условие и AM = MB – по условие ADBC – успоредник.
  - AC = BC и от Определението за ромб следва, че ADBC – ромб.
- Верен отговор Б).

Критерии за оценяване

Изразът a⁴ – ba³ – a + b съдържа в разлагането си множителя:
- А)a + b
- Б)a² + a + 1
- В)a³ + 1
- Г)друг отговор
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители чрез групиране.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Групираме 1-во с 2-ро и 3-то с 4-то:
  a⁴ – ba³ – a + b = a³(a – b) – (a – b) = (a – b)(a³ – 1) = (a – b)(a – 1)(a² + a + 1).
- Верен отговор Б).

Правата с е перпендикулярна на а при ъгъл х равен на:
- А)72°
- Б)70°
- В)82°
- Г)80°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвате Теоремите за успоредни прави, за да докажете, че a || b.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За да докажем, че с a трябва да докажем, че a || b. Това ще стане като използваме Теоремите за успоредни прави.
- Имаме a || b, ако 0,25x = x – 60° (като съответни ъгли) x – 0,25x = 60°, т.е. x = 80°.
- Верен отговор Г).

В ΔABC β е с 18° по-голям от α и мерките на двата ъгъла се отнасят както 2 : 3. Триъгълника е:
- А)правоъгълен
- Б)равностранен
- В)равнобедрен
- Г)разностранен
Вижте отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте дадените връзки, за да намерите α и β.
2. От Теорема за сбор на ъгли намерете третия ъгъл.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От отношението следва, че α = 2x, β = 3x.
- От дадената връзка съставяме уравнението:
  β = α + 18° 3x = 2x + 18°, т.е. x = 18°.
- α = 2x = 2.18 = 36°, β = 3x = 3.18 = 54°.
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔABC α + β + γ = 180° 36° + 54° + γ = 180°, т.е. γ = 90° или ΔАВС е правоъгълен.
- Верен отговор А).

На чертежа CD и BD са ъглополовящи, BDC = 110°, а β е с 60% по-малък от γ. ΔABC е:
- А)равностранен
- Б)равнобедрен тъпоъгълен
- В)равнобедрен остроъгълен
- Г)равностранен
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете α като използвате Основна задача №2.
2. От дадената връзка между β и γ и Теорема за сбор на ъгли намерете β и γ.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От Основна задача №2 110° = 90° + α, т.е. α = 40°.
- От дадената връзка следва, че β = γ – 0,6γ = 0,4γ.
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔАВС получаваме:
  α + β + γ = 180° 40° + 0,4γ + γ = 180°, т.е. γ = 100°.
- Тогава β = 0,4γ = 0,4.100 = 40°.
- В ΔАВС имаме α = 40°, β = 40° и γ = 100°, т.е. ΔАВС е равнобедрен тъпоъгълен.
- Верен отговор Б).

Един работник сам може да свърши дадена работа за 9 часа, а друг – за 6 часа. Първият работник започнал работа в 7 часа сутринта, а вторият – 45 минути след него. Намерете в колко часа двамата работника ще са извършили по равно количество работа?
- А)9 часа и 15 минути
- Б)10 часа и 10 минути
- В)11 часа
- Г)12 часа
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Тази задача е текстова задача от работа. Използвайте Правилото за решаване на подобен вид задачи:
1. Съставете таблица и попълнете ясно дадените величини.
2. Намерете: N₁ – производителността на 1 работник и N₂ – производителността на 2 работник.
3. Търсеното време отбележете с x и изразете чрез х времето на 2 работник.
4. Съставете уравнението от условието A₁ = A₂.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Съставяме таблица и попълваме ясно дадените величини, а това са:
  - Времето за което 1 и 2 работник могат да свършат цялата работа сами.
  - Щом не е уточнено колко е цялата работа приемаме, че тя е 1, т.е. А^* = 1.
- Изчисляваме производителността N₁ и N₂ на двамата работници, като разделим цялата работа A^* на времето за което всеки от тях свършва цялата работа и ги нанасяме в таблицата.
- Отбелязваме с х времето което е работил 1 работник и понеже вторият започва 45 минути по-късно, то t₂ = x – .
- От формулата A = N.t изчисляваме работата А₁ – свършена от 1 работник и А₂ – свършена от втори работник.
- Съставяме уравнението от условието:
  A₁ = A₂ 8x = 12x – 9, т.е. x = = 2 = 2h + .60 min = 2 h 15 min.
- 7h + 2h 15 min = 9h 15 min.
- Верен отговор A).

В правоъгълния ΔABC (ACB = 90°) симетралата s_AB на хипотенузата AB пресича AB, AC и BC съответно в точките M, N и P, както е показано на чертежа. Ако BAC = 30°, кое твърдение НЕ е вярно?
- А)ΔMCP е равнобедрен
- Б)MB = BP
- В)BN е ъглополовяща на ABP
- Г)AC = AB
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Отхвърлете верните отговори.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔABC ABC + A = 90° ABC + 30° = 90°, т.е. ABC = 60°.
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔMBP MBP + P = 90° 60° + P = 90°, т.е. P = 30°.
- Отхвърляме отговор А):
  - CM – медиана в правоъгълен ΔABC CM = BM = AM, но ABC = 60° CMB = 60°.
  - BMC + CMP = BMP 60° + CMP = 90°, т.е. CMP = 30°.
  - За ΔMCP доказахме, че P = 30° и CMP = 30° ΔMCP – равнобедрен, но това е отговор А), т.е. отговор А) не е търсеното решение.
- Отхвърляме отговор Б):
  - ΔMBC – равностранен (1): CM = BC.
  - ΔMCP – равнобедрен (2): CM = CP.
  - От (1) и (2) CM = CP = BC, т.е. MB = BP, но това е отговор Б), т.е. отговор Б) не е търсеното решение.
- Отхвърляме отговор В):
  - т. N s_AB AN = BN, т.е. (3): ABN = NAB = 30°.
  - NBC = MBC – MBN = 60° – 30° = 30°, т.е. (4): NBC = 30°.
  - От (3) и (4) BN – ъглополовяща, но това е отговор В), т.е. отговор В) не е търсеното решение.
- Не може да докажем, че AC = AB.
- Верен отговор Г).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачи 17. – 20. запишете на съответните места в листа с отговори.

Дадени са уравнения, отбелязани с главни латински букви и възможните им решения, отбелязани с арабски цифри. В таблицата с отговори в лявата колона запишете буквата на уравнението и срещу него в дясната колона запишете номер от (1) до (5) за броя на корените му.

(A) x + 5 = 5 + x	(1) няма корени. (2) 1 корен, равен на 0. (3) 1 корен различен от 0. (4) 2 корена. (5) безброй много корени.
(Б) \|2012x – 1\| = 0
(B) ax = 0, при a ≠ 0
(Г) (x + 1)(x – 2) = 0
(Д) ax – 1 = 0, при a = 0

Вижте упътване

Вижте решение

Критерии за оценяване

Върху страната CD на правоъгълника ABCD е избрана точка М така, че BM = CD. Намерете градусната мярка на AMD, ако BC = AB.

Вижте упътване
Упътване:
1. От даденото намерете ъгъл BMC.
2. Намерете ъгъл МАВ.
3. Като използвате Свойства на успоредни прави намерете ъгъл AMD.
Вижте решение
Решение:
- ABCD – правоъгълник CD = AB.
- В ΔBCM от условието BC = AB = CD = BM и C = 90° BMC = 30°.
- (AB || CD) ∩ BM MBA = BMC = 30° (като кръстни ъгли).
- BM = CD = AB ΔABM – равнобедрен, т.е. BMA = MAB = α₁. Тогава от Теорема за сбор на ъгли ABM + BAM + AMB = 180° 30° + α₁ + α₁ = 180°, т.е. α₁ = MAB = 75°.
- (AB || CD) ∩ AM DMA = MAB = 75° (като кръстни ъгли).
- Отговор: DMA = 75°.
Критерии за оценяване

За верен отговор 6 точки.

На диаграмата е представено разпределението на броя на работещите в една фирма по длъжности. Диаметърът на кръга е АВ, а BOC е със 108° по-малък от съседния си ъгъл.
а) Намерете каква част е всяка група работещи от всички длъжности.

б) Намерете отношението на броя на техническите изпълнители към броя на мениджърите към броя на управителите.

в) Намерете средната заплата във фирмата, ако техническите изпълнители получават по 500 лв. заплата, мениджърите – по 800 лв., а управителите – по 1200 лв.

Вижте упътване

Упътване:

а) Намерете централния ъгъл отговарящ на всяка група работещи и го разделете на дължината на окръжността.

б) Намерете отношението на централните ъгли съответстващи на групите работещи.

в) Използвайте начина за намиране на средноаритметично.

Вижте решение
Решение:

а)
- АВ – диаметър на окръжността AOB = 180°.
- Нека BOC = α, тогава AOC = α + 108°.
- Прилагаме Теорема за съседни ъгли:
  BOC + AOC = 180° α + α + 108° = 180° 2 α = 72° α = 36°.
- Тогава BOC = α = 36°, AOC = α + 108° = 36° + 108° = 144°.
- Нека отбележим И – изпълнители, М – мениджъри, У – управители.
- Дължината на цялата окръжност е 360°. Намираме частта от окръжността отговаряща на всяка група длъжности:
  - И = .
  - М = .
  - У = .
б) Намираме търсените отношения:

За да намерим отношенията привеждаме под общ знаменател получените в а) дроби:
.

Отговор: Изпълнители : Мениджъри : Управители = 4 : 5 : 1.

в) От намерените отношения следва, че броят на Изпълнителите е 4х, на Мениджърите е 5х и на Управителите е х. Намираме средната заплата:
= 720 лв.

Отговор: Средната заплата е 720 лв.
Критерии за оценяване

а) 6 точки. За всеки правилен – по 2 точки.

б) 3 точки. За всеки правилен отговор – по 1 точка.

в) За правилен отговор – 3 точки.

Общо 11 точки.

Да се реши неравенството (– 1 + x)² < (– x – 2)².

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте Правилото за решаване на линейно неравенство с едно неизвестно.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Правилото за решаване на линейно неравенство с едно неизвестно:
  (– 1 + x)² < (– x – 2)² (x – 1)² < (x + 2)² x² – 2x + 1 < x² + 4x + 4 – 2x – 4x < 4 – 1 x > – .
- Отговор: .
Критерии за оценяване

За правилен отговор – 5 точки.

ВТОРА ЧАСТ

Отговорите на задачи 21. и 22. запишете на съответните места в листа с отговори.

За кои стойности на параметъра а корените на уравнението са по-големи от – 1?

Вижте упътване
Упътване:
1. Решете уравнението по Правилото за решаване на линейно параметрично уравнение.
2. Решете неравенството x > – 1.
Вижте решение
Решение:
- Решаваме параметричното уравнение като използваме подходящи формули за съкратено умножение:
- Коефициентът пред най-високата степен на неизвестното e 7 и не зависи от параметъра. Решенията на уравнението са x = .
- По условие имаме x > – 1 > – 1 7 – 2a > – 7, т.е. a < 7.
- Отговор: При a < 7 условието се изпълнява.
Критерии за оценяване

За правилен отговор – 5 точки.

На чертежа CL е ъглополовяща на ACB, а BL е ъглополовяща на външния ъгъл при върха B. Ако големината на A = 70°, намерете големината на CLB в градуси.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте Основна задача 5.

Вижте решение
Решение:
- От Основна задача 5 CLB = BAC = . 70° = 35°.
- Отговор: CLB = 35°.
Критерии за оценяване

За правилен отговор – 5 точки.

На задача 23. запишете пълното решение с необходимите обосновки.

Моторист е трябвало да измине разстоянието между град А и град В за определено време. 120 минути след тръгването си той забелязал, че е изминал 80 km и, ако продължи да се движи със същата скорост, ще пристигне в град В със закъснение от 15 минути, затова той увеличил скоростта си с 10 km/h и пристигнал в град В 36 минути преди определеното време. Намерете разстоянието между двата града и определеното време, за което мотористът е трябвало да измине това разстояние.

Вижте упътване
Упътване:

Тази задача е текстова задача от движение. Използвайте Правилото за решаване на подобен вид задачи:
1. Начертайте елементарен чертеж като с точка С отбележете мястото където моториста променя скоростта си.
2. Начертайте таблица състояща се от три реда, участъците АС, СВ и цялото разстояние АВ, и попълнете ясно дадените величини.
3. Отбележете с х разстоянието между градовете А и В и изразете s_BC чрез х.
4. От формулата s = v.t изчислете времената t_BC и t_AB.
5. Съставете уравнение в което изравнявате времената, т.е. от лявата страна и от дясната страна на равенството запишете времето по разписание (определеното време).
Вижте решение
Решение:
- Начертаваме елементарен чертеж – На чертежа т. С е точката в която мотористът променя скоростта си.
- Начертаваме таблица и попълваме ясно дадените величини:
  s_AC = 80 km, t_AC = 120 min = 2 h.
- По формулата намираме v_AC = 40 km/h. Такава е и скоростта v_AB. Намираме v_BC = v_AC + 10 = 50 km/h.
- Отбелязваме с х = s_AB търсеното разстояние между двата града и получаваме s_BC = x – 80.
- С помощта на формулата изчисляваме времената t_BC и t_AB и ги записваме в определената колонка на таблицата.
- Съставяме уравнението като изравним времената, т.е. от лявата страна и от дясната страна на равенството записваме времето по разписание (определеното време):
  - 15 min = h; 36 min = h.
  - t_AC + t_BC + = t_AB – 2.200 + 4(x – 80) + 3.40 = 5x – 50 400 + 4x – 320 + 120 = 5x – 50, т.е. x = 250.
- Намираме търсените величини:
  - s_AB = x = 250 km.
  - Времето по разписание (определеното време)
    t = = 6 h.
Критерии за оценяване
- За вярно попълнена таблица – 5 точки.
- За вярно съставено и решено уравнение – 3 точки.
- За всеки вярно получени отговори – по 1 точка.
- Общо 10 точки.

Върни се нагоре Начало Предходен

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура