Правилен многоъгълник

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия

Правилен многоъгълник

Съдържание на темата:

Определение.
Видове правилни многоъгълници.
Елементи на правилен многоъгълник.
Твърдения за правилен n-ъгълник.
Основни задачи за правилен n-ъгълник.

Теория

I. Определение

O – Многоъгълник, на който всички страни са равни и всички ъгли са равни.

II. Видове правилни многоъгълници

Равностранен триъгълник – Правилен многоъгълник с три страни.
Квадрат – Правилен многоъгълник с четири страни.
Правилен шестоъгълник – Правилен многоъгълник с шест страни.
Правилен n-ъгълник – Правилен многоъгълник с n на брой страни.

III. Елементи на правилен многоъгълник (виж чертежа):

Върхове – Точките A₁, A₂, …, A_n.
Страни b – Отсечките, които свързват върховете. От определението следва, че всички страни на правилен многоъгълник са равни и е прието да се отбелязват с b, т.е. A₁A₂ = A₂A₃ = … = A_nA₁ = b.
Диагонали – Отсечката свързваща два от върховете му и НЕ е негова страна. Например (те не са начертани на чертежа) A₁A₃, A₁A₄ и така нататък.
Център т. О – Общият център на вписаната и описаната окръжност, т.е. т. О.
Радиус R – Радиусът на описаната окръжност, т.е. OA₁ = OA₂ = … = OA_n = R.
Апотема a – Височината на триъгълник свързващ центъра с два от върховете. Например височината на ΔA₁OA₂. Прието е да се отбелязва с буквата a. Апотемата е и радиус на вписаната окръжност, т.е. OA₁ = … = a = r.
Централен ъгъл – Ъгълът между два съседни радиуса, т.е. A₁OA₂= … .

IV. Твърдения за правилен n-ъгълник:

Във всеки правилен многоъгълник може да се впише окръжност или около него да се опише окръжност.
Правилният n-ъгълник има n централни ъгли с общ сбор равен на 360°, т.е. всеки централен ъгъл е равен на .
Радиусите разделят правилния многоъгълник на n еднакви равнобедрени триъгълници, т.е. ΔA₁A₂O ≅ ΔA₂A₃O ≅ … ≅ ΔA_nA₁0. Всеки от тези равнобедрени триъгълници има бедро R, височина към основата a = r и ъгъл при върха .
Всеки радиус е ъглополовяща на съответния ъгъл α, т.е. R = OA₁ = OA₂ = … = OA_n – ъглополовяща на α OA₁A₂ = OA₂A₁ = … = OA_nA₁ = .
Всеки ъгъл α е равен на . Това означава, че сборът от ъглите на правилен многоъгълник е равен на (n – 2).180°.
Броят на диагоналите е равен на .
Върховете на правилия n-ъгълник делят окръжността на равни дъги (части).

V. Основни задачи за правилен n-ъгълник:

Нека b е страната, R – радиус на описаната окръжност, r – радиус на вписаната окръжност, то:

Таблица с разписана основна задачи (1) за някои видове правилни многоъгълници при:
- n = 3 – равностранен триъгълник;
- n = 4 – квадрат;
- n = 6 – правилен шестоъгълник;
Таблица 1:
Периметърът P_n е равен на:
P_n = nb.
Лицето S_n, изразено чрез лицето на равнобедрения триъгълник ΔA₁OA₂:
Лицето S_n, изразено чрез: страната му b, апотемата a, радиуса r на вписаната окръжност:
S_n = .
Лицето S_n, изразено чрез: страна b, радиус R на описаната окръжност или радиуса r на вписаната окръжност:

Таблица с разписана основна задачи (5) за някои видове правилни многоъгълници при:
- n = 3 – равностранен триъгълник;
- n = 4 – квадрат;
- n = 6 – правилен шестоъгълник;
Таблица 2:

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура