Лихва. Комбинаторика. Статистика

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Лихва. Комбинаторика. Статистика

ТеорияТест за ТУ и МатураТест за УНСС

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

Зад. №1:: В банка била вложена сума пари, при годишна сложна лихва 3%. След три години сумата нараснала на 21 854 лева и 54 стотинки. Каква сума в лева е била вложена първоначално?

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формула 2.

Нека K = 21 854,54; p = 3%; n = 3, тогава от формулата K = K₀(1 + p%)ⁿ следва
21 854, 54 = K₀. K₀ = 20 000 лв.

Зад. №2:: С колко ще нарасне влог от 2000 лв. за три месеца при 12% годишна лихва, която се капитализира всеки месец?

Използвайте формула 2.

Намираме лихвеният процент за 1 месец: p% = 12 : 12 = 1%. Имаме следните означения K₀ = 2 000; n = 3 месеца;
От формулата K = K₀(1 + p%)ⁿ следва, че
K = 2 000. = 2 060, 60.
ΔK = K – K₀ = 2 060,60 – 2 000 = 60,60 лв.

Зад. №3:: От 10 певици и 8 певци се избира един изпълнител за солист. По колко различни начина може да стане това?

Използвайте правилото за събиране на съединения.

Певец може да бъде избран по 8 различни начина (защото са 8 мъже), а певица – по 10 начина (защото са 10 жени). Използваме правилото за събиране на съединения и затова солист (певец или певица) се избира по 8 + 10 = 18 начина.

Зад. №4:: В ресторант предлагат 4 вида супи, 6 основни ястия и 3 десерта. Колко различни обяда могат да се поръчат?

Използвайте правилото за умножение на съединения.

Използваме правилото за умножение, защото при всеки избор на супа избираме още основно ястие и десерт. Супата се избира по 4 различни начина. При всеки избор на супа основното ястие се избира по 6 начина, тогава групата (супа, ястие) се избира по 4.6=24 начина. Комбинираме всяка от тези двойки с възможните десерти, т.е. имаме 24.3=72 различни обяда.

Зад. №5:: Колко са петцифрените числа съдържащи цифрите 1, 2, 3, 4 и 5 точно по веднъж?

Използват се всички дадени елементи, като се сменят само местата им, т.е. имаме пермутации и затова прилагаме формула (4)

Броят на всички елементи е 5 като всеки елемент участва точно по един път, затова трябва да намерим броя на пермутациите. От 5 цифри могат да бъдат съставени P₅ = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 петцифрени числа.

Зад. №6:: Колко са четирицифрените числа, които съдържащи цифрите 0, 1, 2 и 3 точно по веднъж?

Отново използвайте формулата за пермутации, но трябва да отчетете, че няма число започващо с нула.

От 4 цифри могат да бъдат съставени P₄ = 4! = 4.3.2.1 = 24 четирицифрени числа.
От този брой трябва да извадим броя на пермутациите, при които първата цифра е 0 (защото няма число започващо с нула), т.е. P₃ = 3.2.1 = 6.
Следователно броят на четирицифрените числа, съставени от дадените четири цифри, е P₄ – P₃ = 24 – 6 = 18.

Зад. №7:: Телефонен номер се състои от 6 различни цифри. Човек запомнил само три от тях. Колко опита най-много трябва да направи, за да улучи номера?

Не се използват всички дадени елементи, като редът им има значение. Затова използвайте формула (5) за вариации.

Всички цифри са 10 (включително и нулата), но се знаят само три. За да се улучи номера трябва да се изберат 3 от останалите 7. Тъй като редът на цифрите е от значение, то броят на всички опита е равен на броя на вариациите на 7 елемента от 3 клас или V₇³ = 7.6.5 = 210, т.е. човекът трябва да направи най-много 210 опита.

Зад. №8:: По колко различни начина може да се състави отбор от 3 души, ако изборът се прави измежду 6 човека?

Не се използват всички дадени елементи, като редът им няма значение. Затова използвайте формула (6) за комбинации..

Нека участниците да означим с числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Важно кои участници влизат в отбора, но редът им в списъка няма значение, защото тройките (1, 2, 3) и (3, 2, 1) представляват един и същи отбор, затова намираме броя на комбинациите на 6 елемента (n = 6) от 3 клас (k = 3):

V₆ = 6.5.4 = 120.
P₃ = 3.2.1 = 6.
C₆³ = , т.е. при даденото условие могат да се съставят 20 отбора.

Зад. №9:: В цветарски магазин има 15 червени и 20 бели рози. За съставяне на букет от 5 рози се използват 2 червени и 3 бели рози. Колко букета могат да бъдат съставени?

В букета е важно не подредбата на розите, а елементите от които е изграден, затова търсим комбинации без повторение и затова използвайте формула (6) за комбинации.

От 15 червени рози могат да бъдат избрани 2 по C₁₅² = = 105 начина.
От 20 бели рози могат да бъдат избрани 3 по C₂₀³ = = 1 140 начина.
По правилото за умножение, букет от 5 рози може да бъде избран по C₁₅².C₂₀³ = 105.1140 = 119 700 начина.

Зад. №10:: В състав имало 10 певци и 12 певици. За концерт по случаен начин се избира група от трима човека. Каква е вероятността в групата да има:
а) 2 певици и 1 певец;
б) 3 певици.

Използвайте формула (7) за класическа вероятност.

В състава има 22 човека и се избират трима от тях, затова броят на всички възможни групи е
n = C₂₂³ = = 1 540.

а) Търсената вероятност намираме по следният начин:

Две певици могат да бъдат избрани по C₁₂² = = 66 различни начина.
Един певец може да бъде избран по C₁₀¹ = различни начина.
От правилото за умножение следва, че броят на благоприятните изходи m (броят на всички групи, в които има точно 2 певици и 1 певец) e C₁₂².C₁₀¹ = 66.10 = 660.
Вероятността в състава да има 2 певици и 1 певец е p(A) = .

б) Намираме отговора:

Три певици могат да бъдат избрани по C₁₂³ = = 220 различни начина. Това е и броят на благоприятните изходи m.
Вероятността в състава да има 3 певици е p(A) = .

Зад. №11:: В един магазин има 10 хладилника, като 20% от тях са със скрит дефект. Каква е вероятността:
а) да се закупят 3 здрави хладилника?
б) всички закупени 3 хладилника да са дефектни?

Използвайте формула (7) за класическа вероятност.

Броят на дефектните хладилници е 20% от 10 = 2. Произволният избор на 3 хладилника от 10 е комбинации на 10 елемента (n = 10) от 3 клас (k = 3). Тогава броят на всевъзможните начини n (брой на възможните случаи), по които могат да се изберат 3 хладилника от 10, е n = C₁₀³ = = 120.

а) Щом 2 хладилника от 10 са дефектни, то 8 са здрави.

Избирането на 3 здрави хладилника (това е броят на благоприятните случай m) е равен на броя на комбинациите на 8 елемента (n = 8) от 3 клас (k = 3), т.е. m = C₈³ = = 56.
Вероятността да купим 3 здрави хладилника е p(A) = .

б) Щом дефектните хладилници са само 2 от всички 10, то закупуването на 3 дефектни хладилника е невъзможно събитие, т.е. вероятността е 0.

Зад. №12:: Ако медианата на извадката {2; 7; 12; 12; 8; x} е равна на 9, да се намери средноаритметичното на тази извадка.

Като използвате определението за медиана намерете х, а след това от формула (8) намерете средната стойност на извадката.

Намираме х:
- Подреждаме данните по възходящ ред. Очевидно имаме подредбата {2; 7; 8; x; 12; 12}, защото при никоя друга подредба нямаме медиана равна на 9.
- Броят на членовете на извадката е четен, следователно медианата е равна на средноаритметичното на двата централни члена в редицата, т.е. = 9 x = 10.
За намирането на средната стойност на извадката прилагаме формула (8), т.е.
= 8,5.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура