Лого за уроци по математика
самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра


I. Лихви

Основни понятия – Обикновено лихвата се изчислява за даден период от време като процент от капитала вложен в банката. Този процент се нарича лихвен процент и се отбелязва с p, даденият период от време се нарича лихвен период и се отбелязва с n, а капитала вложен в банката се нарича начален (основен) капитал и се отбелязва с K0. Нарасналият капитал за n–тия лихвен период се отбелязва с Kn.
Лихвата бива два вида:
  • Проста лихва – Лихва, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период n се олихвява само внесения начален капитал K0. Нарасналият капитал Kn при проста лихва p% се изчислява по формулата:
    (1): Kn = K0.
    Бележка:
    Във формула (1) лихвеният процент p% е превърнат в числото .
  • Сложна лихва – Лихва, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период n се прибавя към внесения начален капитал K0 и в следващите периоди се олихвява заедно с него. Нарасналият капитал Kn в края на n–тия период при p% сложна лихва се изчислява по формулата:
    (2): Kn = K0.qn = K0.,

    където q = 1 + се нарича лихвен множител.

    Пример: Виж Зад.№1

II. Кредит (погасителни вноски)

Формула – Ако изтеглената сума от банка или друга кредитна институция е К лв. с лихвен процент (годишен или месечен) p%, то за определен период от време n сумата трябва да се изплати чрез равни погасителни вноски V. Тези вноски се намират от формулата:
(3): V = K.,

където q = 1 + се нарича лихвен множител.

III. Съединения

Определение – Съединение се нарича група от елементи на дадено крайно множество. В зависимост от това какви са елементите на съединението различаваме следните видове:
  • Съединение без повторение – съединение, което се състои от различни елементи.

    Например: Групата от числа 1, 2, 3 или 7, 8, 5 са две съединения с различни елементи. Нито едно от числата в двете групи не се повтаря.
  • Съединение с повторение – при този вид съединение някои елементи могат да се повтарят.

    Например: Групата от числа 1, 1, 3 или 2, 2, 1 са две съединения с повтарящи се елементи.
Бележка:
Ще разглеждаме само съединения с не повтарящи се елементи.

IV. Основни правила за действия със съединения

Правило за събиране – Ако елементът А може да бъде избран по N начина, а друг елемент В – по М начина, то кой да е елемент А или В от групата може да бъде избран по N + M начина.

Пример: Виж Зад.№3

Правило за умножение – Ако елементът А може да бъде избран по N начина и при всеки избор на А елементът В може да бъде избран по М начина, то изборът на наредената двойка (A, B) може да стане по N.M начина.

Пример: Виж Зад.№4

Практическо правило
В някои случаи е трудно да се определи кое правило трябва да се използва. Може да се ръководите от следното:
  • В условието на задачата, ако елементите А и В са свързани със съюза „или“, прилагаме правилото за събиране.
  • В условието на задачата, ако елементите А и В са свързани със съюза „и“, прилагаме правилото за умножение.

V. Основни видове съединения

  • О – Наредена група, която съдържа всички дадени елементи точно по един път, т.е. две пермутации могат да имат еднакви елементи и се различават само по подредбата им.

    Например: Числата 1 и 2 образуват следните две различни пермутации: (1,2) и (2,1).
  • Формула – Броят на всички пермутации от n елемента се означава с Pn и се намира по формулата:
    (4): Pn = n(n – 1)(n – 2) ... 3.2.1 = n!
    Пример: Виж Зад.№5.
  • О – Наредена група от k различни елемента (k-ти клас) избрани измежду дадените n елемента, като k ≤ n. Две вариации се различават една от друга или по един различен елемент или ако имат еднакви елементи, но подредени по различен начин.

    Например: С цифрите 1, 2 и 3 могат да се съставят следните различни двуцифрени числа: 12, 21, 13, 31, 23, 32. Виждаме, че първата и втората наредена двойка от числа имат еднакви елементи, но подредени по различен начин. Затова, тези двойки са вариации. Първата и последната двойка от числа се състои от различни елементи затова, те също са две различни вариации.
  • Формула – Броят на вариациите на n елемента от k-ти клас се означава Vnk и се намира по формулата:
    (5): Vnk = n(n – 1)(n – 2) ... (n – k + 1) = .
    Пример: Виж Зад.№7.
  • О – Наредена група от k различни елемента (k-ти клас) избрани измежду дадените n елемента, като редът на елементите в групата е без значение, т.е. две комбинации са различни, ако имат поне един различен елемент.

    Например: Нека да вземем числото 123. Ако разместим (пермутираме) елементите на това число, получаваме P3 = 3! = 3.2.1 = 6 съединения. Това са числата 123, 132, 213, 231, 312, 321. Тези 6 съединения са една и съща комбинация от числата 1, 2 и 3, защото не се различават по елементи, но разглеждани като вариации, те са различни вариации.
  • Формула – Броят на комбинациите на n елемента от k-ти клас се означава Cnk и се намира по формулата:
    (6): Cnk = .
    Пример: Виж Зад.№8.

VI. Класическа вероятност

Резултатът от проведен опит или наблюдение.
  • Достоверно събитие – Събитие, което винаги се случва.

    Например: Достоверно събитие е вероятността водата да се превърне в лед, ако я поставим във фризера.
  • Невъзможно събитие – Събитие, което никога няма да се случи.

    Например: Невъзможно събитие е при хвърлянето на един зар да се падне 7.
  • Несъвместими събития – Събитията A и B се наричат несъвместими, когато НЕ могат да се случат едновременно.

    Например: При хвърлянето на един зар НЕ могат да се случат едновременно двете събития: събитие А = „броят на точките да е 2“ и събитие В = „броят на точките да е нечетно число“.
  • Съвместими събития – Събитията A и B се наричан съвместими, когато могат да се случат едновременно.

    Например: При хвърлянето на един зар могат да се случат едновременно двете събития: събитие А = „броят на точките да е 2“ и събитие В = „броят на точките да е четно число“.
  • Противоположно събитие – Събитие, което се случва тогава и само тогава, когато НЕ се случва събитието А. Означава се с .
  • Обединение (сума) на събитията А и В – Събитие, което се случва винаги, когато се случва едно от двете събития А или В. Отбелязва се A B или A + B.
  • Сечение (произведение) на събитията А и В – Събитие, което се случва винаги, когато се случва едновременно и събитието А, и събитието В. Отбелязва се A ∩ B или A . B.
  • Разлика на събитията А и В – Събитие, чиито елементи принадлежат на събитието А и не принадлежат на събитието В. Отбелязва се A \ B.
  • Oпределение – Вероятност р за настъпване на едно събитие А наричаме отношението на броя m на благоприятните случаи на А към броя n на всички възможни случаи.
  • Формула:
    (7): p (A) = .
  • Вероятността на достоверното събитие е равна на 1 (или 100%).
  • Вероятността на невъзможното събитие е равна на 0 (или 0%).
  • Вероятността на кое да е събитие А е между 0 и 1, т.е. 0 ≤ p (A) ≤ 1 (или 0% ≤ p (A) ≤ 100%).
O – Вероятността на обединението на две несъвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития, т.е.
(7.1): p (A B) = p (A) + p (B).
O – Вероятността на обединението на две съвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития минус вероятността на сечението им, т.е.
(7.2): p (A B) = p (A) + p (B) – p (A ∩ B).
O – Вероятността на противоположното събитие е равна на единица минус вероятността на събитието А, т.е.
(7.3): p () = 1 – p (A).

VII. Средна стойност на статистически данни

(8): ,

където x1, x2, ..., xn са стойностите на данните, n – броят им, – средната стойност.

средна стойност

където a1, a2, …, an, x1, x2, …, xn са брой и съответните стойности на данните, n – общият им брой.

Бележка:
Удобно е формула (8) да се използва, когато имаме не повтарящи се данни, а формула (9) – когато част или всичките данни се повтарят.

VIII. Медиана

Данните се подреждат по големина, като най-често се започва от най-малката, т.е. при статистическият ред данните се подреждат по възходящ ред.
  • Нечетен брой данни – когато броят на данните е нечетен, то медианата е равна на числото намиращо се в средата на редицата.

    Пример: Медианата на множеството от данни 2, 2, 4, 7, 7 е числото 4, защото:
    1. Данните са подредени по възходящ ред;
    2. Броят на членовете е нечетен;
    3. Числото 4 е централен член (преди него и след него има еднакъв брой членове).
  • Четен брой данни – когато броят на данните е четен, то медианата е равна на средноаритметичното на двата централни члена в редицата.

    Пример: Медианата на множеството от данни 2, 2, 2, 4, 7, 7 е числото 3, защото:
    1. Данните са подредени по възходящ ред;
    2. Броят на членовете е четен;
    3. Числото 3 средноаритметично на двата централни члена 2 и 4.
    4. Данните са подредени по възходящ ред;

IX. Мода

O – Стойността, която се среща най–често в данните.

Пример:
  1. В редицата 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7 най-често срещаната стойност е 5, затова модата е равна на 5.
  2. В редицата 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 най-често се срещат числата 5 и 6, и то с еднаква честота, т.е. имаме две моди 5 и 6.
  3. В редицата 4, 4, 5, 5, 6, 6 всички числа се срещат еднакво често, тогава модата не е определена.
Бележки:
  • Средната стойност на множество от данни ни дава възможност да преценим какво е относителното положение на даден резултат в това множество. В някои случаи обаче (например, когато голяма част от числата участващи в множеството, се колебаят около 2, а най-голямото число е 10 000) средната стойност не дава достатъчно добра информация за характера на данните или дори може да бъде и подвеждаща. В подобни случаи е удобно да се използва медианата, като числена характеристика на данните.
  • В някои случаи и медианата не е най-добрата характеристика.

    Например: В един магазин продават 21 стоки, като 10 стоки по 15 лв., 4 – по 25 лв., 3 – по 30 лв., 2 – по 60 лв., 1 – по 125 лв. и 1 – по 150 лв. Тогава от формула (8) определяме, че средната стойност на цената на стоката е 35 лв., но както виждаме, 17 от 21 стоки имат по–ниска цена. Затова по–добрата характеристика на това множество е медианата, която в този случай е 25 лв. Но почти половината от стоките (8) са с по–ниска цена. В конкретната задача е удобно да се използва модата като характеристика на разпределението (която е 15 лв.), защото тя дава най–точна представа за цената на една стока.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама